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Capitolo 13

Variabili casuali

Statistica: principi e metodi

L’espressione variabile casuale (v.c. per

brevità) indica una quantità il cui valore

dipende dall’esito di un esperimento casuale.

L'attributo "casuale" rinvia al fatto che essa è

generata da un esperimento casuale di cui non

siamo in grado di prevedere l'esito con

certezza.

Dizioni equivalenti a v.c. sono variabile

aleatoria e variabile stocastica.

Variabile casuale

Una variabile casuale discreta può assumere un insieme

discreto (finito o numerabile) di numeri reali.

Una variabile casuale continua può assumere tutti i valori

compresi in un intervallo reale.

Variabili casuali discrete o

continue

S discreto

v.c. discreta

S continuo

v.c. discreta o continua

Es.: lancio di una moneta bilanciata.

S={croce,testa};

v.c. : X({testa}) = 1 e X({croce}) = 0

X:S={croce,testa} → {0,1}

Es. durata di una lampadina fino alla rottura

S={e:e≥0} : continuo (infinità non numerabile di eventi).

La v.c. X " durata" è una v.c. continua.

Se consideriamo due eventi E 1 =durata≤10 ore

ed E 2 =durata>10 ore, possiamo definire una variabile

casuale X, che assume valore 1 in corrispondenza di E 1 e

valore 0 in corrispondenza di E 2. In tal caso otteniamo

una variabile casuale discreta.

X

S

TTT TTC TCT CTT CCT CTC TCC CCC

X

S

TTT TTC TCT CTT CCT CTC TCC CCC

Esempio di variabili casuali discrete

Esperimento: triplo lancio di

moneta.

X=numero di Teste

Esperimento: lancio di due dadi.

X=Somma delle facce dei due dadi

Una v.c. X si dice discreta se può assumere un numero

finito o un’infinità numerabile di valori

S

Esempio: Variabili casuali discrete - funzione

di probabilità

Esperimento: triplo lancio di

moneta.

X=numero di Teste

CCC

TCC CTC CCT

TTC TCT CTT

TTT

0 1 2 3

0

1

1/

3/

X

S f(x)

X: S→ℜ f(x): X∈ℜ→[0,1]

Lo schema con cui si associano ai valori di X i

rispettivi livelli di probabilità va sotto il nome

di distribuzione di probabilità

Valore di X x 1 x 2 … xi …

Probabilità p 1 p 2 … pi …

Variabili casuali discrete:

distribuzione di probabilità

Esempio: grafico a barre

di una variabile casuale discreta

Nella figura che segue è rappresentata graficamente la distribuzione di probabilità tramite un grafico a barre.

50 100 150 200 250 300 350 400

0,

0,

0,

0,

0,

vincita

probabilità

Valore di X Probabilità f ( x)

Totale 1.

Un modo alternativo di descrivere una v.c. discreta è

tramite la funzione di ripartizione che associa ad ogni

x la somma delle probabilità corrispondenti a x e

a tutti i valori inferiori

Funzione di ripartizione di una

variabile casuale discreta

∑^ ( ) ≤

= ≤ =

t x

F(x) P(X x) f t

La rappresentazione grafica della funzione di

ripartizione dà luogo a un grafico a gradini.

Esempio: funzione di ripartizione di una

variabile casuale discreta

Con riferimento all’Esempio sulla lotteria, la funzione di

ripartizione è riportata nella tabella che segue e rappresentata

dal grafico affiancato alla tabella.

Il grafico mostra i livelli di probabilità associati ai valori di X

come incrementi che subisce la funzione in corrispondenza di tali

valori.

50 100 150 200 250 300 350 400

0,

0,

0,

0,

0,

1,

vincita

F ( x )

x

Valore

di X

Probabilità

f ( x)

Probabilità

F( x)

Considerando la variabile Somma dei risultati nel lancio

di due dadi, la funzione di ripartizione è

Esempio: funzione di ripartizione di una

variabile casuale discreta

X^2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

P(x)

F(x) 1

Esempio: valore atteso e varianza

di una variabile casuale discreta

Calcoliamo la media , la varianza e la deviazione standard della distribuzione di probabilità dell’esempio sulla lotteria

Media:

Varianza:

Deviazione standard:

( )= (^) ∑ ( )= 50 × 0. 4 + 100 × 0. 3 + 200 × 0. 2 + 400 × 0. 1 = 130 x

E x xf x

= (^) ∑ ( − ) ( )=( 50 − 130 ) 0. 4 +( 100 − 130 ) 0. 3 +

2 2 2 2

x

σ x μ f x

( 200 130 ) 0. 2 ( 400 130 ) 0. 1 11100 2 2

• − + − =

σ = 11100 = 105. 36

Valore di X Probabilità

Totale 1.

Una v.c. si dice continua se può assumere tutti i valori di un

determinato intervallo di numeri reali.

ESEMPIO: Se siamo interessati alla durata di una lampadina questa è

una variabile casuale misurata in un intervallo continuo e quindi è una

v.c. continua.

Se la var. casuale è continua non è possibile elencare tutte le

singole realizzazioni (cioè tutti i valori) perché questi sono una infinità non numerabile e quindi non si può attribuire una probabilità ai singoli valori

ESEMPIO: la probabilità che la durata di una lampadina sia

esattamente 100 ore è 0. Si può pero determinare la probabilità per

intervalli di valori: si può definire la probabilità che la durata di una

lampadina sia tra i 99.5 e 100.5 ore

Variabili casuali continue

Consideriamo adesso classi di ampiezza uguale a 5 ore.

Dal discreto al continuo (2)

Durata Frequenza Frequenza relativa h

57.5-62.5 1 0.001 0. 62.5-67.5 0 0.000 0 67.5-72.5 2 0.002 0. 72.5-77.5 8 0.008 0. 77.5-82.5 32 0.032 0. 82.5-87.5 58 0.058 0. 87.5-92.5 111 0.111 0. 92.5-97.5 166 0.166 0. 97.5-102.5 223 0.223 0. 102.5-107.5 180 0.180 0. 107.5-112.5 118 0.118 0. 112.5-117.5 57 0.057 0. 117.5-122.5 33 0.033 0. 122.5-127.5 5 0.005 0. 127.5-132.5 5 0.005 0. 132.5-137.5 0 0.000 0 137.5-142.5 1 0.001 0.

(^055 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 110 115 120 125 130 135 140 )

1

2

3

4

5

6

7

8

9 x 10

Consideriamo adesso classi di ampiezza uguale a 1 ora.

Dal discreto al continuo (3)

Cap. 13-

L’istogramma sarà formato da rettangoli

di base uno e altezza pari alla frequenza relativa

(^050 60 70 80 90 100 110 120 130 140 )