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STATISTCA 2018/
Programma:
Nozioni introduttive (Parte 1)
Distribuzione statistiche e rappresentazione i grafiche (Parte 2)
Statistica univariata: (Parte 3, 4, 5,)
- Media
- Variabillità
- Altre caratteristiche di una distribuzione statistica
Numeri indici (Parte 6)
Statistica bivariata:
- Dipendenza
- Regressione
- Correlazione
Probabilità
Inferenza
_______________________________________________________________________________________
PARTE 1
Concetti introduttivi
Rilevazione dei fenomeni statistici:
- Rilevazione campionarie
- Questionario e tecniche di somministrazione
- Fonti statistiche
- Matrice dei dati
Statistica descrittiva e interferenza statistica
CONCETTI INTRODUTTIVI:
Definizione di statistica: è la disciplina che elabora i principi e le metodologie che presiedono:
- al processo di rilevazione dei dati
- Alla rappresentazione dei dati
- All’interpretazione dei risultati
- Alla generalizzazione delle evidenze osservate
Fasi dell’indagine statistica:
Formulazione del problema, eventualmente sotto forma d’ipotesi
Individuazione dei dati pertinenti
Programmazione della rivelazione dei dati
Analisi dei dati
Interpretazione dei risultati
Statistica nelle attività operative:
- Individuazione dello scopo dell’attività
- Analisi della situazione di partenza
- Esami degli strumenti da utilizzare
- Previsione dei risultati conseguibili
- Decisione finale
I quattro termini fondamentali della statistica :
Collettivo o Popolazione
Unità: caso individuale
UN COLLETTIVO È COMPOSTO DA N UNITÀ STATISTICHE
Carattere: aspetto rilevato sulle unità del collettivo
Modalità (di un carattere): uno dei diversi modi con cui il carattere si presente nelle unità del
collettivo.
Es.
Età Sesso Titolo di studio Attività Peso
Giorgio 37 M Laurea Occupato 70
Camilla 20 F Licenza media Disoccupato 53
Giordana 26 F Laurea Occupato 50
Nicolò 23 M Diploma Studente 67
Giorgio, Camilla, Giordana e Nicolò sono le unità statistiche
{Giorgio, Camilla, Giordana, Nicolò} = collettivo (popolazione)
Età, sesso, titolo di studio, attività, peso sono i caratteri
37, 20, 26, 23 sono le modalità assunte dalle unità del collettivo per il carattere età
Tipi di caratteri:
Caratteri qualitativi (variabili qualitative, mutabili statistiche) - le modalità sono costituite da espressioni
variabili
Sconnessi: le modalità non sono ordinabili
Ordinati: le modalità ordinabili
Caratteri quantitativi (variabili quantitative) - le modalità sono costituite da numeri
Discreti: le modalità sono quantità distinte
Continui: le. Modalità possono assumere tutti i valori di un intervallo di numeri reali
Trasferibili: un’unità può cedere dall’ammontare posseduto del carattere
Misurazione dei caratteri qualitativi:
- Osservare e registrare le modalità che si presentano nelle singole unità statistiche
- Le modalità possono essere predefinite a priori o desunte a posteriori
Carattere sconnesso: Scala nominale
Carattere ordinato: Scala ordinale
Misurazione dei caratteri quantitativi:
Discreti: operazione di conteggio
Continui: operazione di misurazione (con approssimazione)
Carattere discreto: scala proporzionale
Carattere continuo: scala ad intervalli, scala proporzionale
RILEVAZIONE DEI FENOMENI STATISTICI:
Come avviene la rivelazione dei dati:
- Indagine statistica
- Esperimento
- Osservazione sul campo
Rivelazioni totali o parziali:
Nell’indagine statistica, distinguiamo tra:
Rivelazione totale (o censura): su tutto il collettivo
Rilevazioni campionaria: su un sottoinsieme estratto dal collettivo detto campione ->
campionamento
Rilevazione campionarie:
La numerosità (dimensione) del campione viene indicata con n (n<<N).
Frazione di campionamento : si definisce frazione campionamento o anche frazione sonda il
rapporto.
Es. se N = 1000 e n = 10
Tecniche di campionamento:
Campionamento non casuale:
- Campionamento ragionato (o a scelta ragionata): lezione fatta da un team di esperti
- Campionamento per quota: selezione fatta su sottogruppi omogenei della popolazione
- Campionamento di convenienza
Campionamento causale (probabilistico):
Le unità sono selezionate con meccanismo casuale (aleatorio) e hanno tutte una probabilità nota e
non nulla di essere selezionate.
Il campionamento probabilistico ha 2 vantaggi:
oggettività nella selezione delle unità
Possibilità di estendere i risultati all’intera popolazione
f =
n
N
f =
Acquisizione delle informazioni:
L’intervista
Tra i metodi di acquisizione di dati uno dei più di︎usi è l'intervista.
- Intervista telefonica
- Intervista diretta o personale
- Intervista postale
- Intervista Web-Based
Questionario:
Domande (e relative risposte) vengono raccolte in un questionario
- Successione ordinata di domande
- Tutte le domande vanno sottoposte in modo identico ad un collettivo di unità statistiche.
Alcune regole per la redazione di un questionario
1- Brevità
2- Chiarezza delle domande
3- Evitare domande orientate
4- Limitare lo sforzo di memoria
5- Le domande riguardanti i dati socio-demografici dell’intervistato dovrebbe essere alla fine del
questionario
Tipi di domande:
- Domande semplici (una sola risposta)
- Domande multiple (più risposte)
- Domande aperte
- Domande chiuse
- Domande miste
- Domande ︎filtro
Alcuni aspetti sulla formulazione di domande chiuse
La scelta del numero di modalità di risposta può in︎fluire sui risultati.
Anche l'ordine di presentazione delle modalità di risposta infl︎uenza i risultati dell'indagine
(polarizzazione delle risposte).
Nella rilevazione di opinioni e/o atteggiamenti si utilizzano delle scale (dette attitudinali).
Tipi di scale attitudinali
SCALA DI LIKERT:
Misura dell'atteggiamento (negativo o positivo), o di accordo rispetto ad una a︎ ermazione
Es. Le prospettive economiche per l'Italia sono incoraggianti
SCALA DEL DIFFERENZIALE SEMANTICO:
Si sceglie il grado di accordo tra due aggettivi tra loro opposti
Es.
Roma è una città:
Caotica ______ Ordinata
Sporca _______ Pulita
Chiusa _______ Accogliente
SCALA DI STAPEL:
Simile alla precedente, ma con riferimento ad un solo aggettivo
Es.
Roma è una città:
- Ordinata _____
- Pulita. _____
Accogliente _____
L’ISTAT
- L’ISTAT (Istituto Nazionale di Statistica) è l'Ente preposto all'acquisizione dei dati tramite
indagini statistiche.
- E' al vertice del Sistema Statistico Nazionale (Sistan)
- Eff︎ettua rilevazioni censuarie e campionarie
Es. di rivelazioni campionarie
Per niente
d’accordo
Poco d’accordo Né d’accordo né in
disaccordo
Abbastanza
d’accordo
Totalmente
d’accordo
- Indagine sulle forze lavoro (e︎ffettuata ogni 3 mesi)
- Indagine sui consumi delle famiglie
Censimenti permanenti:
- A partire dal 2018, i censimenti vengono sostituiti dai censimenti permanenti.
https://www.istat.it/it/censimenti-permanenti
- I censimenti permanenti avranno cadenza annuale, biennale o triennale e riguarderanno un
campione rappresentativo della popolazione di interesse.
- Sono estesi a tutte le aree tematiche
popolazione e abitazioni
imprese
istituzioni non profi︎t
istituzioni pubbliche
agricoltura
- Il Censimento permanente della popolazione e delle abitazioni (partito il 1° ottobre 2018)
riguarda un campione di un milione e quattrocentomila famiglie circa.
- I dati campionari verranno integrati con le fonti amministrative
Altre fonti statistiche
- Eurostat (U︎fficio Statistico dell'Unione Europea)
- Banca d'Italia
- BCE (Banca Centrale Europea)
- Censis (Centro Studi Investimenti Sociali)
Matrice dei dati:
- La matrice dei dati raccoglie le informazioni rilevate sulle unità di un collettivo (o di un
campione) su un insieme di caratteri.
- Ogni riga si riferisce ad una unità
- Ogni colonna si riferisce ad un carattere
Cod. ID Sesso Stato
civile
Provincia Titolo di
studio
Profession
e
Numero
comp.
famiglia
Reddito
Lordo
Annuo
1 F Nubile RM Laurea Impiegato 1 35000
2 F Nubile FR Diploma Disoccupat
o
3 10000
3 M Coniugato LT Laurea Impiegato 4 40000
4 F Coniugato FR Laurea Libero
professioni
sta
3 90000
5 M Celibe RI Laurea Libero
professioni
sta
1 90000
6 F Coniugato RM Diploma Casalinga 4 15000
7 M Celibe RM Licenza
media
Pensionato 5 30000
8 F Nubile FR Laurea Disoccupat
o
3 20000
9 F Coniugato FR Laurea Libero
professioni
sta
3 50000
10 M Celibe RM Laurea Pensionato 2 70000
Altri esercizi:
Con gli stessi valori dell'esempio precedente, dimostrare che:
N N N
i = 1 i = 1. i = 1
N N
i = 1 i = 1
Regole per l’arrotondamento:
Arrotondare un numero signi︎ca ridurre il numero di cifre decimali (quelle dopo ︎la virgola︎)
Contenuto PARTE 2
Distribuzioni statistiche disaggregate
Distribuzioni di frequenze:
- Distribuzioni di frequenze per modalità singole
- Distribuzioni di frequenze per classi di valori
- Distribuzioni di frequenze cumulate
- Densità di frequenza
Altre forme di distribuzioni
Rappresentazioni grafiche:
- Diagramma a torta
- Diagramma a barre
- Diagramma cartesiano Istogramma
- Cartogramma
- Funzione di ripartizione
DISTRIBUZIONI STATISTICHE DISAGGREGATE:
Definizione: La distribuzione (statistica) semplice disaggregata di un carattere è l'elenco delle
modalità osservate, unità per unità, nel collettivo in esame.
N.B. E' detta anche:
Distribuzione (statistica) semplice untaria
Serie di osservazionI
( ai * bi ) = /
ai *
bi
a
2
i = /(
ai )
2
Valore originaria 1 decimale 2 decimali
12, 422 12,4 12,
11,237 11,2 11,
11,262 11,3 11,
10,251 10,3 10,
10,257 10,3 10,
10,255 10,3 10,
Unità X
u1 x
u2 x
// //
ui xi
// //
uN xN
Es: Distribuzione unitaria semplice di un collettivo in base all’età
Es. Distribuzione unitaria semplice di un collettivo in base al sesso
Distribuzione statistica multipla disaggregata:
Definizione - Pariamo di distribuzione (statistica) multipla consideriamo più caratteri.
N.B. E' detta anche distribuzione (statistica) unitaria multipla
Unità Età
1 45
2 26
3 37
4 37
5 27
6 64
7 37
8 38
9 49
Unità Sesso
1 M
2 M
3 M
4 F
5 M
6 F
7 M
8 F
9 F
Unità X Y Z
u1 x1 y1 z
u2 x2 y2 z
// // // //
ui xi yi Z
// // // //
uN xN yN zN
Dato il carattere X con k modalità (x1,...,xi,...,xk) osservato su n unità statistiche.
Siano n1,... , ni ,... , nk le frequenze assolute delle k modalità.
Distribuzione di frequenze assolu
Dove: k
i = 1
Esempio: Distribuzione degli immatricolati della Facoltà di Scienze Politiche, Sociologia,
Comunicazione per corso di laurea - a.a. 2016-
Distribuzione di frequenze relative:
Indichiamo con
f1 = n1/N, ..., fi = ni/N, ..., fk = nk/N
le frequenze relative (o proporzioni) delle k modalità.
Distribuzione di frequenze relative
dove:
k
0 ≤ fi ≤ 1
i = 1
Distribuzioni di frequenze percentuali:
Indichiamo con
p1 =f1·100,...,pi =fi ·100,...,pk =fk ·100l
e frequenze percentuali delle k modalità.
Distribuzione di frequenze percentuali
X ni
xi n
// //
xi ni
// //
xK nk
N
n 1 +... + ni +... + nk =
ni = N
X f
x
f
1
= n
1
/N
// //
xi
f
i
=n
i
/N
// //
xk
f
k
=n
k
/N
1
f 1 +... + f i +... + f k =
f i = 1
X pi
x
p
1
=f
1
//
xi
p
i
=f
i
Esempio: Distribuzione di un collettivo di famiglie per numero di fi︎gli
Ad esempio, la percentuale di famiglie con 2 ︎gli è pari al 32%
Esempio: Confronto in termini assoluti e relativi
Residenti per titolo di studio in due aree:
A B
___________________________ __________________________
Titolo di studio. ni Titolo di studio. ni
___________________________ __________________________
Licenza elementare. 759 Licenza elementare 95
Licenza media. 1113 Licenza media. 163
Diploma. 2459 Diploma. 181
Laurea. 1669 Laurea 361
___________________________ __________________________
In termini assoluti ci sono molti più laureati in A che in B.
Residenti per titolo di studio in due aree:
A B
________________________________ __________________________________
Titolo di studio. ni fi Titolo di studio. ni. fi
________________________________ __________________________________
Licenza elementare. 759. 0,13 Licenza elementare 95. 0,
Licenza media. 1113. 0,19 Licenza media. 163. 0,
Diploma. 2459. 0,41 Diploma. 181. 0,
Laurea. 1669 0, 28 Laurea 361. 0,
________________________________ __________________________________
In termini relativi è esattamente il contrario.
Dalla distribuzione unitaria alla distribuzione di frequenze per classi di modalità:
Consideriamo un collettivo di 48 aziende sulle quali è stato osservato il numero di addetti:
Possiamo rappresentare la distribuzione in maniera più sintetica: distribuzione di frequenze per
classi di modalità.
//
xk
pk =fk ·
100
X pi
Figli Famiglia fi pi
0 2 0,09 9
1 8 0,36 36
2 7 0,32 32
3 4 0,18 18
4 1 0,05 5
22 1,00 100
Le famiglie con un consumo superiore o uguale a 1000 e inferiore a 3000euro sono il 65% del
totale.
Frequenze assolute cumulate:
Definizione - La frequenza assoluta cumulata di una modalità del carattere misura il numero di
casi che presentano un valore non superiore a quella modalità:
Ni =n1 +n2 +...+ni, i =1,…,k
Distribuzione di frequenze assolute cumulate.
Frequenze relative cumulate
Fi =f1 +f2 +...+fi, i =1,...,k
Distribuzione di frequenze relative cumulate.
Esempio: Distribuzione di un collettivo di famiglie per numero di figli
77 0,26 26
300 1,00 100
Consumo Famiglie fi pi
X ni
x1 n
N
=n
x2 n
N
=n
+n
// //
xi ni
N
i
=n
+...+n
i
// //
xk nk
N
k
= N
X p1 percentuali Pi cumulate
x1 p P 1
= p 1
x2 p P 2
= p 1
// // //
xi pi P i
=p 1
+...+p i
// // //
xk pk P k
Figli Famiglie fi pi Ni Fi Pi
0 2 0,09 2 0,09 9
Le famiglie che hanno fi︎no a 2 ︎figli sono 17 (77 % del totale).
Esempio: Distribuzione di un collettivo di famiglie per classi di consumo mensile
Le famiglie il cui consumo è di almeno 1000euro al mese sono il 78% del totale.
Ampiezza e densità di frequenza di una classe:
Sia data una generica classe di estremi ci−1 e ci.
Ampiezza della classe: di =ci −ci− 1
Densità di frequenza:
[ni = frequenza assoluta nella classe
di = ampiezza della classe]
La densità di frequenza sono sempre confrontabili tra le classi.
Esempio: Distribuzione degli addetti di un'azienda per classi di età
N.B.
La classe con la frequenza più alta non coincide necessariamente con quella. On la densità di
frequenza più alta.
ALTRE FORME DI DISTRIBUZIONE:
Distribuzione di quantità:
1 8 0,36 10 0,45 45
2 7 0,32 17 0,77 77
3 4 0,18 21 0,95 95
4 1 0,05 22 1,00 100
22 1,00 100
Figli Famiglie fi pi Ni Fi Pi
Consumo Famiglie fi pi Ni Fi Pi
77 0,26 26 261 0,87 87
39 0,13 13 300 1,00 100
300 1,00 100
hi =
ni
di
Classi ni di hi
25 7 3,
20 5 4,
21 10 2,
33 14 2,
120
Definizione - Si parla di serie territoriali (geogra︎fiche o spaziali) quando le modalità rappresentano
entità territoriali ossia rappresentano ad esempio nazioni, regioni, ripartizioni geografi︎che, città,
etc.
Esempio: Popolazione residente in Italia nel 2017, per area geografi︎ca (in migliaia)
RAPPRESENTAZIONE GRAFICHE:
La rappresentazione grafi︎ca di una distribuzione statistica può essere più informativa della
distribuzione stessa
Il tipo di gra︎fico deve essere scelto in base:
- al tipo di distribuzione
- al tipo di carattere
Il diagramma a torta (pie chart):
Utilizzo principale
Distribuzione di frequenze:
- caratteri qualitativi sconnessi
- serie territoriale
Le “fette della torta” sono calcolate in base alla seguente formula:
ai◦ = 360° x ni = 360° x fi
N
N: numerosità della popolazione
ni: frequenza della i-ma modalità
fi: frequenza relativa della i-ma modalità
a◦: angolo della ︎fetta︎ della i-ma modalità
[Esempio: Popolazione residente in Italia nel 2017, per area geografi︎ca (in migliaia)]
Diagramma a barre:
Utilizzo principale:
Distribuzione di frequenze:
- caratteri qualitativi (sconnessi o ordinati)
- caratteri quantitativi discreti
- serie storica
- serie territoriale
L'altezza di ciascuna barra è proporzionale alla frequenza della modalità corrispondente.
[Esempio 1 - 2: Spettatori per tipo di evento nel 2017 (in migliaia)]
[Esempio: Distribuzione degli immatricolati della Facoltà di Scienze Politiche, Sociologia,
Comunicazione per corso di laurea - a.a. 2016-17]
[Esempio: Famiglie per numero di ︎figli]
Diagramma cartesiano:
Utilizzo principale:
Distribuzione di frequenza:
- caratteri quantitativi discreti
- serie storica
Osservazione: I punti sul piano possono essere uniti da una spezzata, per evidenziare
l'andamento del fenomeno.
Area Popolazione
Nord - ovest 16104
Nord - est 11637
Centro 12068
Mezzogiorno 20781
Isole 6710
[Esempio: Appartamenti per numero di stanze]
[Esempio: Popolazione residente in Italia (in migliaia)]
[Esempio: Percentuale di canzoni di successo di durata inferiore a 2 minuti e mezzo]
Istogramma:
Impiego: Distribuzioni di frequenze per classi di valori di un carattere quantitativo
L'istogramma è composto da rettangoli adiacenti, la cui area è data dalla seguente formula:
base × altezza = ampiezza della classe × densità di frequenza =
di · hi = di · ni = ni = Area
di
[Esempio: Temperature medie / Classi della stessa ampiezza]
[Esempio: Temperature / Classi di ampiezza differente]
Cartogramma:
I cartogrammi sono particolari rappresentazioni grafi︎che per serie territoriali.
[Esempio: Parità di potere di acquisto in Europa (2018)]
Funzione di ripartizione per caratteri quantitativi discreti
Definizione:
Dato un carattere quantitativo discreto X con k modalità, osservato su un collettivo di N unità, la
funzione di ripartizione F(x) è così defi︎nita:
( 0, per x < x
F(x) = { Fi, per xi ≤ x < xi+1 (i=1,…,k−1)
( 1, per x ≥ xk
dove Fi è la frequenza relativa cumulata per la modalità i-ma
[Esempio: Famiglie per numero di ︎figli]
Funzione di ripartizione per caratteri quantitativi continui:
Definizione: Dato un carattere quantitativo continuo X con modalità raggruppate in k classi,
osservato su un collettivo di N unità, la funzione di ripartizione F(x) è così defi︎nita:
( 0, per x < c
F(x) = { Fi-1 +. fi/di (ci - 1) per c ≤ x < c (i=1,…,k)
( 1, per per x ≥ ck
dove Fi−1 è la frequenza relativa cumulata per la classe i − 1.
[Esempio: Quotazioni di titoli azionari]
PARTE 3
Medie analitiche
- Media aritmetica
- Proprietà della media aritmetica
- Media quadratica
- Media armonica
- Media geometrica
Media aritmetica per distribuzione di frequenze
Medie lasche
- La mediana
- Proprietà della mediana
- La mediana per distribuzioni di frequenze
- Quartili
- I quartili per distribuzioni di frequenze
- Valore centrale
- Moda
Motivazioni:
Sintesi della distribuzione di un carattere attraverso una modalità ︎”tipica”︎ con l'obiettivo di:
- Equiripartizione -
i = 1
La media aritmetica è la quantità che, se sostituita a ciascuna modalità osservata nel carattere, ne
lascia invariata la somma.
Esempio:
Riprendendo l'esempio precedente: 4 + 3 + 5 + 4 + 2 + 3 = 21 = 6 · 3,
n
- La somma algebrica degli scarti dalla media aritmetica è nulla:
i = 1
Esempio:
Riprendendo l'esempio precedente
- La somma algebrica degli scarti dalla media aritmetica al quadrato è minima.
n n
i=1 c i=
Esempio:
Per esercizio: sostituire a μ = 3,5 un valore qualsiasi (ad esempio, c=4) e confrontare il risultato
con quello della tabella.
- Linearità della media
xi = Nμ
( xi − μ ) = 0
Studente Libri xi - μ
1 4 0,
2 3 -0,
3 5 1,
4 4 0,
5 2 -1,
6 3 -0,
21 0,
( xi − μ )
2
= min
( xi − c )
2
Studente Libri xi − μ
(xi− μ)
1 4 0,5 0,
2 3 -0,5 0,
3 5 1,5 2,
4 4 0,5 0,
5 2 -1,5 2,
6 3 -0.5 0,
21 0,0 5,
Se si trasformano i termini x1,x2,...,xN secondo la funzione:
yi = a + bxi i=1,2,...,N (a e b costanti qualsiasi)
allora:
μY =a+bμX
Esempio:
- 5 turisti italiani fanno un prelievo da un bancomat all'aeroporto di Fiumicino, prima di partire per
New York.
- Le somme prelevate sono le seguenti:
Una volta arrivati a destinazione, cambiano gli euro in dollari.
1 - Qual è la media dei prelievi in euro?
2 - Tenuto conto della commissione di 2 dollari per l'operazione e del fatto che il cambio è di 1,2$
per euro, qual è la media in dollari?
- La media dei prelievi in euro è
μe = 116
- Per il calcolo della media in dollari, abbiamo due alternative:
(I) Potremmo trasformare tutti i valori secondo la funzione:
y =-2+1,2·x
ottenendo
e poi calcolare la media di questi valori (μ$ = 137,2)
(II) In maniera più diretta, applichiamo alla media la formula vista prima:
μ$ = -2+1,2·μe = 137,
Per esercizio, controllare i calcoli.
- Associatività della media:
Dato un collettivo statistico di N unità suddiviso in L sottoinsiemi disgiunti di numerosità
L
N(1),N(2),…,N(L)
l=
E media aritmetiche:
μ1,μ2,…,μL
la media aritmetica del collettivo può essere calcolata con la seguente formula:
(μ1 ·N(1) +μ2 ·N(2) +...+μL ·N(L))
Esempio:
- La media del reddito è di 2000 euro.
- Il reddito medio delle 2 donne è 1650 euro, quello dei 4 uomini è 2175.
La media del reddito può essere calcolata in questo modo:
N
(
l ) = N )
N
Sesso Reddito
F 1500
F 1800
M 1500
M 2400
M 3200
M 1600
Tot. 12000
N
F
F
+ N
M
M
N
