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INDICI DI POSIZIONE(o di tendenza centrale)
Statistica Psicometrica -
Prof. Bonanomi
INDICI DI POSIZIONE
= INDICI SINTETICI
che evidenziano le caratteristiche essenziali della
distribuzione del carattere sono migliori gli studenti maschi
o le femmine
????
Hanno un’autostima più alta gli studenti di economia o di
psicologia
????
si confrontano
modalità
che rappresentano
i^ livelli o valori tipici
Consentono di sintetizzare un insieme di misuretramite un unico valore “rappresentativo”
indice
che
riassume
o
descrive
i^
dati
e
dipende
dalla
scala
di
misura
dei
dati
in
oggetto
63
ALCUNI INDICI TIPICI^ -
moda - mediana - quartili/percentili - media aritmetica
Ogni carattere statistico ha l’indice di posizione adeguato,e non tutti gli indici si possono calcolare per ogni carattere.Passeremo quindi in rassegna i vari caratteri, individuando
l’indice di posizione
adeguato
.
INDICI ADEGUATI
Qualitativo sconnesso
MODA
Qualitativo ordinato
^
MEDIANA
Quantitativo
^
MEDIA o MEDIANA
65
(N.B: SI PUO’ CALCOLARE PER OGNI CARATTERE, anche se
di fatto viene calcolata solo per i caratteri qualitativisconnessi o nominali, in quanto per altri caratteri si
possono calcolare altri indici più informativi)
Mo(X)
=
modalità con massimo valore di f
i
Carattere Qualitativo Sconnesso
MODA
: modalità di massima frequenza
esempio 1
: carattere qualitativo
fi
idoneo
19
II scelta
11
difettoso
4
scarto
(^236)
max f
=19i
⇒⇒⇒⇒^
moda=Mo(X)=idoneo
67
esempio 2
: carattere qualitativo sconnesso
Stato civile
fi
Celibe
141
Coniugato
200
Divorziato
249
Vedovo
115695
max f
=249i
moda=Mo(X)=Divorziato
Attenzione ……. la moda è la modalità cui è associata la frequenza(o densità di frequenza nel caso di caratteri^ quantitativi in classi) massima e non il valore^ massimo!!!^ Data la seguente distribuzione della variabile X
la moda non è 8 (la modalità con valore massimo) ma è
^1
(cioè la modalità cui è associata la frequenza massima)in questo caso la modalità 1 ha frequenza 2 al contrario di2,4,8 che hanno frequenza 1.
73
ESEMPIO 2: giudizio ad una prova divalutazione scolastica di 24 studenti Xi^
fi^
Fi
Insufficiente
5
5
Sufficiente
10
15
Buono
5
20
Ottimo
4
24
TOTALE
24
Pos
= (Me
n +1)/2 = (24+1)/ Pos
= 12.5Me (^) È la prima frequenza cumulatamaggiore o uguale dellaposizione cercata
n
Me(X) = X
( n +1)/
= X
= Sufficiente
Caratteri quantitativi
Per i caratteri quantitativi sia discretiche continui i due indici di posizione
adeguati sono la
MEDIANA
, e
soprattutto la
MEDIA ARITMETICA
75
Mediana – Quant. Discreti
Me(X) = X
(n+1)/
cioè è il valore che occupa la posizione( n +1)/2, esattamente come nel caso dei
caratteri qualitativi ordinati
ESEMPIO : Distribuzione dei punteggi inun test di capacità verbale Punteggio
fi^
Fi
1
4
4
2
5
9
3
4
13
4
3
16
5
3
19
6
2
21
TOTALE
21
Pos
= (Me
n +1)/2 = (21+1)/ Pos
Me^
È la prima frequenza cumulatamaggiore o uguale dellaposizione cercata
Me(X) = X
( n +1)/
= X
= Punteggio “3” 11
77
nel
caso di
caratteri quantitativi continui
si trova una
CLASSE MEDIANA
per cui tutti i suoi
valori
x∈
[hi-
,h] soddisfano la definizionei
per convenzione si prende il valore dato dalla formula
Me(X) = h
+(i- Pos
-F Me
)ai- /fii
Mediana – Quant. Continui
78
Pos
Me^
= posizione mediana =(n+1)/ dove: • hi-1 = Lim. inf della classe mediana(la classe che contiene la Pos
)Me
= frequenza cumulata della classe precedente la classe mediana
79
esempio
:^ carattere quantitativo continuo
xi^
fi^
Fi
−9.
40
40
−11.
25
65
−15.
120
185
−21.
145
330 330
n=
⇒^
(n+1)/2=165.
cl med
=11.5 1
−15.
Me=11.5+(165.5-65)4/120 = 14.
80
MEDIANA
Scala di misura
: ordinale,a intervalli,a rapporti
(e quindi caratteri qualitativi ordinati e quantitativi)
E’ l’indice di tendenza centrale,insieme alla moda, per i dati
qualitativi misurati su
scala ordinale
85
quartili
⇒^ percentili di ordine 25 – 50 – 75
decili
⇒^ percentili di ordine 10 – 20 – …
percentili
⇒
percentili di ordine 1 – 2 – …
–98 –
DUNQUE
….
PERCENTILI
Per il calcolo di quartili, decili e percentili il procedimento èanalogo
a^
quello
della
Mediana,
che
di
fatto
è^
un^
caso
particolare di questi indici.L’unica differenza riguarda il calcolo della
Posizione (
POS
)
In generale la Posizione di ordine
p^ (in centesimi) si ottiene:^1
POS
n^ +^100 =^
⋅
p^
p
87
Esempi: QUARTILI
+^
=^
⋅^
=^
⋅
+^
=^
⋅^
=
+^
=^
⋅^
=^
⋅
1
2
3
1
1
Q : 1° quartile POS
25
1
100
4
1
1
Q : 2° quartile POS
50 100
2
1
1
Q : 3° quartile POS
75
3
100
4
n^
n
n^
n
n^
n
Il 2° Quartile ( o percentile di ordine 50) è
la^
MEDIANA
ESEMPIO
soggetti
hanno
espresso
il
loro
grado
di
soddisfazione
(punteggio
da
a^
relativamente all’erograzione di un servizio.
I risultati sono:
Trovare il 1°, 2° e 3° quartile
QUARTILI
89
Punteggi
fi
Fi
1
2
2
2
2
4
3
1
5
4
3
8
5
2
10
6
2
12
7
3
15
posQ
1
^
posQ
2
^
posQ
3
^
QUARTILI
Punteggi
fi^
Fi
Pos Q
1
Pos Q
2
Pos Q
3
Q^1 Q^2 Q^3
QUARTILI
91
Il^ primo
quartile è 2
(occupa la 4° posizione nella
distribuzione) Il^ secondo
quartile è 4
(occupa la 8° posizione nella
distribuzione) Il^ terzo
quartile è
(occupa la 12° posizione nella
QUARTILI distribuzione)
PERCENTILI
per caratteri continui
Per il calcolo dei percentili in genere (e quindi anche per iquartili) nel caso di caratteri quantitativi continui in classi, siadatta la formula della mediana per c. continui, conopportuni valori della Posizione cercata.In genere, per caratteri continui, il percentile di ordine
p^ è:
Percentile(
p ) =
1
1
i
i^
i
i n^
p^
F
h^
a f
−
−
+^
⋅^
97
ΣΣΣΣ = sommatoriaX =i
osservazione i-ma
n = numero osservazioni
1
M ( X ) , X
n
i
i
X n
=
Media
MEDIA (dati non raggruppati)
ESEMPIO:12, 24, 18, 20, 19, 18, 7, 10
( n
M^
+^
+^
+^
+^
+^
+^
=^
99
MEDIA (distribuzione di frequenza)
X =i
osservazione i-ma
f= frequenza assoluta i-mai k^ =
numero di modalità
n= numero osservazioni
i k
fi i^1
M(X),X
X ∑ = n
100
ESEMPIO MEDIA
ESEMPIO:^ Xi
:^
fi^
:^
( n
M^
⋅^
+^
⋅^ +
⋅^ +
⋅^ +
⋅^ +
=^
101
ESEMPIO MEDIA^ X
i^
fi^
X· fi^
i
12
2
24
14
1
14
17
1
17
18
3
54
19
1
19
22
2
44
TOTALE
10
172
1
(^
),^
k
i^
i
i
X^
f
M X
X^
n
=
=^
=^
∑
Media per
dati raggruppati in classi
si^
moltiplica
la
frequenza
di
ogni
classe per il valore definito dal valorecentrale di ogni classe, prima di fare lasomma
e
dividere
per
il
numero
dei
casi.
MEDIA, dati in classi
103
FORMULA
X c
i^
=^ valore centrale della classe i-ma
fi^
= frequenza assoluta classe i-ma
k^
=^
numero di classi
n^
= numero totale di osservazioni
c^ i i k
X f i^1
M(X),X
= n ∑ =
Valore centrale di classe
Data la classe [h
,hi- ] il valore centrale si ottiene:i
(^1) i^2
i
c^
i
h^
h
X^
+−
Esempio: data la classe 3
−|^12
3
12
2
c^ X^ i
=^
=
