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189
CORRELAZIONE E
REGRESSIONE
Statistica Psicometrica -
Prof. Bonanomi
CORRELAZIONE
STUDIO DELLA
RELAZIONE LINEARE
TRA DUE VARIABILI QUANTITATIVE
X
E
Y
(per relazione lineare si intende quanto le coppie di punti
xi
;yi
tendono a
disporsi lungo una retta)
L’indice che misura il grado di correlazione tra due variabili è il
COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE LINEARE
DI BRAVAIS-PEARSON
191
Cov(X,Y) =
(^
M^
X^
X^
Y^
Y
^
−^
^
=^
(^
i^
j
i^
xj
X^
y^
Y
−^ n
∑ ∑
Per la sua definizione è necessario introdurre il concetto di
COVARIANZA
media dei prodotti degli scarti di ogni variabile
dalla propria media aritmetica
Come per la varianza, anche per la covarianza
esiste una
formula operativa
Cov(X,Y) = M(XY)
−
X
Y
=
=
(^
) i^
j
i^
j^
x y
X
Y
n^
−^
⋅
∑ ∑
193
ESEMPIO
Misuriamo il peso e l’età di un bambino in 6 momenti diversi Età:X(mesi)
Peso:Y(kg)
6 coppie di valori Proviamo arappresentarlegraficamente
ESEMPIO
ESEMPIO
•^
Ascissa X
: variabile
indipendente (età)
-^
Ordinata Y
: variabile
dipendente (peso)
Y
Rappresentazione in un diagramma cartesiano
(coordinate X,Y)
X
195
ESEMPIO X^ i^
Y^ j^
X^ i*
Y^ j
3
6
1 8
6
8
4 8
9
9
8 1
1 2
1 0
1 2 0
2 4
1 3
3 1 2
3 6
2 0
7 2 0
9 0
6 6
1 2 9 9
Cov(X,Y) = M(XY)
X
Y^
=^
(^
) i^
j
i^
x yj
X^
Y
n^
−^
⋅^
∑ ∑
=^
−^
=^
−^
⋅^
È tanto? È poco? Che informazioni fornisce questo dato?
la q u a n tità (x
− μ i
)(yX^
− μ j
)Y^
(+,+)
(-,-)
(+,-)
(-,+)
In questo quadrante ognipunto ha scarti dallamedia +
⇒⇒⇒⇒
prodotto +
y-μj
Y
x-μi
X
In questo quadrante ognipunto ha scarto dalla mediadi Y neg. e scarto dallamedia di X pos.
⇒⇒⇒⇒
prodotto
-
y-μj
Y
x-μi
X
Quali valori può assumere???
201
assume valore
-
quando il legame tra le due variabili è
perfettamente lineare ma inverso
.
La retta che congiunge i punti ha coefficiente angolare negativo
10080 60 40 20 00
1
2
3
4
5
pr e zz o
CASO PARTICOLARE r = -1 domanda
assume valore
+
quando il legame tra le due variabili è
perfettamente lineare e diretto
.
La retta che congiunge i punti ha coefficiente angolare positivo.
10080 60 40 20 00
1
2
3
4
5
pr e z z o
CASO PARTICOLARE domanda
r = +
203
ALTRI
ESEMPI
N.B: i dati nonstanno tuttisulla retta
|^ r
ESEMPIO precedente X^ i^
Y^ i^
X^ i*
Y^ i^
(^2) X i
(^2) Y i
3
6
1 8
9
3 6
6
8
4 8
3 6
6 4
9
9
8 1
8 1
8 1
1 2^
1 0
1 2 0
1 4 4
1 0 0
2 4^
1 3
3 1 2
5 7 6
1 6 9
3 6^
2 0
7 2 0
1 2 9 6
4 0 0
9 0
6 6
1 2 9 9
2 1 4 2
8 5 0
Cov(X,Y)
51.5=
2
2142
6
s^ X
=^
−^15
2 = 357 – 225 = 132
2
8506 s^ Y
=^
−^11
2 = 141.667 – 121 = 20.
cov(
,
)
51,
0, 986
132
X^ X YY
r^
s s =^
=^
=
⋅
Altissimacorrelazionepositiva
205
ESEMPIO precedente
25 20 15 10 5 00
5
10
15
20
25
30
35
40
La correlazione è molto forte, i punti tendono a disporsilungo una retta. Qual è l’equazione di questa retta?
Usi particolari di
r
in
psicologia
Calcolo dell’attendibilità
test – retest
Forme parallele di un test
Calcolo del coefficiente di equivalenza di due testparalleli
Attendibilità della capacità valutativa di due giudici
Consistenza interna di un questionario
Ecc. ecc. ecc..
Uso improprio della correlazione (Da una ricerca del New England Journal of Medicine)
207
Relazione diretta e indiretta
Cos’è una relazione diretta?
Cos’è una relazione indiretta?
Come si valuta un indice di correlazione?
Quando ha senso proseguire uno studio? IMPORTANZA DEL PORSI DELLE DOMANDE NEL FARERICERCA! LA STATISTICA SOSTIENE, NON ILLUMINA!!!
213
Regressione lineare
- Studiare la relazione tra due variabili significa
descrivere in che modo una variabile “dipenda”da un’altra
e
bx
a
Y
i
i^
=
- Descrizione di come una variabile
X
(variabile
INDIPENDENTE = “causa”
produce il variare di una variabile
Y
(variabile
DIPENDENTE= “effetto”
Parametri
dove
:^
a^
intercetta
, punto in cui la retta
incontra l’asse delle
Y,
rappresenta il
valore predetto
di Y in
corrispondenza di X uguale zero
b^
coefficiente angolare
inclinazione della retta, parametrodella popolazione, rappresenta^ l’incremento predetto
di Y per un
incremento unitario di X
e^
errore
215
Retta di regressione
Dato il modello lineare
y* = a + b·X
, la stima dei
parametri “a” e “b” avviene mediante un criterio
matematico chiamato
“ criterio dei minimi quadrati
E’ basato sulla minimizzazione di una funzione diperdita tra i valori realmente osservati
y
e i valori
teorici del modello
y*
X^1
X
2
X
3
X^4
X
5
X
Y
= dati campionari ^
= dati teorici
Retta di regressione
217
Stima dei Parametri
Si dimostra che:
2
cov(
,^
)
X Y X
b
s
= a
Y
bX
=^
−
Coefficiente
angolare
Intercetta
218
ESEMPIO precedente
Misuriamo il peso e l’età di un bambino in 6 momenti diversi Età:X(mesi)
Peso:Y(kg)
6 coppie di valori
ESEMPIO
25 20 15 10 5 00
5
10
15
20
25
30
35
219
ESEMPIO
Sono già stati calcolati alcuni indici; riepiloghiamoli:
2
2
15;
11;
132;
20, 667;cov
51,
X^
Y
X
Y^
s^
s
=^
=^
=^
=^
=
2
cov(
,^
)
X Y^ X
b
s
= a
Y
bX
=^
−
51,5^132
b
=
=^
0, 39
11
0,39 15
a
=
−^
⋅^
=
5,
La retta ha pertanto equazione:
Y=5,15+0,39X
220
Domanda
La retta che abbiamo appena trovato è un buon
modello? Spiega bene la variabilità dei dati? Si adatta
bene alla nuvola di punti che abbiamo disegnato?Ok, tra le infinite rette del piano è la migliore, ma a
livello generale è un modello valido?
Necessità di definire
un indicatore di adattamento
225
^^ b
=^
cov(XY)
(^2) σX
ρ^ =
cov(XY) σX
σ Y
se moltiplico e divido b
^
per
σ
Y
⇒
^^ b
=^ ρ
σ Y σX
* y
+Y
Y σX
x−μ
X
il segno del coefficiente angolare della rettadi regressione dipende dal segno di
r
2) Il segno del coefficiente angolare è dato da r
GRAFICAMENTE:
retta di regressione al variare di
ρρρρ coeff. ang.>
⇒
retta
coeff. ang.=0 inclinata positivamente =correlazione positiva
⇒
retta
coeff. ang.<0 parallela asse X =incorrelazione
⇒
retta
inclinata negativamente =correlazione negativa
Esempio output
regressione
227
Commentare il seguente output della regressione lineare ottenuto per valutare se il voto ad un esame possa dipendere dal numero di ore di studio.^ OUTPUT RIEPILOGO
Statistica della regressione R multiplo
0,
R al quadrato
0,
R al quadrato corretto
0,
Errore standard
6,
Osservazioni
20
Coefficienti
Intercetta
52,
Ore di studio
1,
Grafico a dispersione
12010080 60 40 20 00
5
10
15
20
25
30
35
Ore di studio
Voto
Voto
CORRELAZIONI NON
PARAMETRICHE
capita
di
non
avere
a
disposizione
delle
misure di tipo metrico per le due variabili, X e Y,che si pensa possano essere associate
- Se si hanno scale dicotomiche o ordinali, vi sono
una
varietà
di
coefficienti
concettualmente
simili
alla
r
di Pearson
coefficienti
non
parametrici
devono
essere
utilizzati anche quando una sola delle due variabiliin
relazione
non
raggiunge
il^
livello
metrico
di
misurazione
229
INDICE DI SPEARMAN
Nel caso in cui le due variabili sono misurate su scala
ordinale,
si^
utilizza
il^
coefficiente
rs
di
Spearman
, che fornisce un indice di correlazione
tra
ranghi
il^
rango
è
la
posizione
occupata
dall’unità statistica nella graduatoria ordinata crescente dei dati
E’ utilizzabile altresì quando una variabile è ordinata
e^
l’altra
è^
metrica,
previa
trasformazione
di
quest’ultima in ranghi.
La
prima
operazione
da
fare
è^
quindi
quella
di
ordinare
i dati e ottenere i ranghi.
L’indice
varia
da
a
esattamente
come
r
di
Pearson, ed ha medesima interpretazione.
INDICE DI SPEARMAN
(^
2 (^12)
n
i
i
s
d
r^
n^
= n
=^
−^
Dove:• d
è la differenza tra i ranghi per il soggetto i
i-mo
è il numero dei soggetti
+1: perfetta concordanza
positiva
-1: perfetta concordanza negativa
(massima discordanza!!)
0: indipendenza o
incorrelazione
231
Esempio
n=
10 alunni;
X =graduatoria (rango) in matematica stabilita dall’insegnante;
Y=
punteggio in un test di matematica soggetto
X^
Y
A^
B^
C^
D^
E^
F^
G^
H^
I^
L^
Occorre trasformarli
in ranghi
Esempio Spearman
s o g g e tto
X^
Y^
R an g o (Y )
d^ i
d^ i
2
A^
3
8 6
3
0
0
B^
5
5 6
4
1
1
C^
1
8 7
2
1
D^
4
4 3
7
9
E^
1 0
3 3
9
1
1
F^
2
9 1
1
1
1
G^
6
4 6
6
0
0
H^
8
4 2
8
0
0
I^
7
5 2
5
2
4
L^
9
2 4
1 0
1
n^ = 1 0
1 8
T o tale
(^
)^
(^
2 12
2
n
i i
s
d
r^
n^
= n
=^
−^
=^
−^
−^
⋅^
Correlazione molto forte
237
Esempio
Esempio
Si calcola il coefficiente
rphi
(^
)^
(^
)
(^
) (
)
6 0
4 0
3 0
1 0
.4 4 7
7 0
9 0
7 0
5 0
p h i
x^
x
r^
x^
x
−
=^
=
Lato lesione (var Y)
DEFICIT(var X)
DX (y1)
SN (y2)
TOTALI
SI (x1)
60
30
90
NO (x2)
10
40
50
TOTALI
70
70
140 (N)
Relazione tra una Quantitativa
(VD) e una Qualitativa (VI)
Relazione tra una Quantitativa
(VD) e una Qualitativa (VI)
239
L’indice
statistico
adeguato
per
valutare
la
relazione
tra
una
variabile
quantitativa
e^
una
qualitativa
è
Eta
quadro,
compreso
tra
e
dove
indica
indipendenza
e^
massima
dipendenza.Nell’esempio
vale
indicazione
di
un
legame di dipendenza medio-alto.
Indice molto utilizzato in Psicometria per valutare la coerenza interna di
un questionario composto da
k
item diversi.
Misura quanto gli item sono tra loro coerenti e quanto «misurano uno
stesso costrutto latente» Ipotesi:-^
k^ item metrici o almeno su scale Likert a 5/7 passi
-^
Si calcolano le medie e le varianze di ogni item
-^
Si^
calcolano
i
punteggi
totali
di
ogni
soggetto
e
la
varianza
dei
punteggi totali
Coerenza Interna –Alpha di Cronbach
241
Coerenza Interna –Alpha di Cronbach
242
-^
Può
assumere
valori
da
^0
a
1
e
fornisce
indicazioni
sul
grado
di
intercorrelazione tra gli item del questionario.
-^
Se gli item di uno stesso questionario sono altamente correlati tra di loro(consistenza interna alta) sarà possibile concludere che ciascun item dàun reale contributo alla misura del costrutto in esame e che nell’insiemetutti gli item si riferiscono allo stesso costrutto
-^
Se
gli
item
sono
scarsamente
correlati
tra
loro
(bassa
consistenza
interna) potremo dire che alcuni di questi non costituiscono una misurasoddisfacente del costrutto
-^
L’Alfa di Cronbach indica in che percentuale la misura in oggetto rifletteil costrutto sottostante:
Coerenza Interna –Alpha di Cronbach
243
-^
Se una scala d’ansia ha un valore di
α = 0.
vuol dire che l’80% del
punteggio ottenuto dal soggetto è attribuibile proprio all’ansia.
-^
Se la consistenza interna di una scala di depressione è
α = 0.
vuol
dire che il 40% di un punteggio riflette realmente la depressione ma ilrestante 60% misura altro (?!). INTERPRETAZIONE: < di 0.60 = inaccettabilecompreso tra 0.60 e 0.65 = indesiderabilecompreso tra 0.65 e 0.70 = appena accettabilecompreso tra 0.70 e 0.80 = buono> di 0.80 = ottimo
Coerenza Interna –Alpha di Cronbach
244
Scala PGWBI del benessere (scala validata in italiano, composta da 22item). Si considerino i seguenti 4 item, con scala di risposta Likert a 6passi: 1) Nelle ultime 4 settimane, è stato infastidito da stati di tensioneo perché aveva i nervi a fior di pelle?2) Nelle
ultime
4
settimane,
è
stato
generalmente
teso
o
ha
**provato tensione?
- Nelle**
ultime
4
settimane,
è
stato
in
ansia,
preoccupato
o
**arrabbiato?
- Nelle**
ultime
4
settimane,
è
stato
o
si
è
sentito
sottoposto
a
stress o pressioni? Sono chiaramente variabili osservate riferite ad un stesso costrutto,
L’ANSIA
Esempio
Alpha di Cronbach
RISULTATI
1. -0.252. +0.9153. +0.8344. a =
131.436 ; b = 2.
