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Universit`a degli Studi di Bergamo - Corso di laurea in Ingegneria Meccanica
Docente: Ilia Negri
Esercitazione Intervalli di confidenza
- In un campione casuale di 53 campioni di cemento armato la porosit
a mediae risultata (in %)
21.6 e la deviazione standard di 3.2.
(a) Trovare un intervallo di confidenza al 90% per la porosit`a media nei campioni di questo
tipo di cemento.
(b) Trovare un intervallo di confidenza al 95% per la porosit`a media nei campioni di questo
tipo di cemento.
(c) Quale `e il livello di confidenza per l’intervallo (21. 0 , 22 .2)?
(d) Quanti campioni devono essere utilizzati a nch´e un intervallo con grado di fiducia pari
al 90% per la media sia tale tale che assicuri un errore campionario non superiore a 0.
(specifichi la media a meno di ± 0 .3)?
(e) Quanti campioni devono essere utilizzati a nch´e un intervallo con grado di fiducia pari al
95% specifichi la media a meno di ± 0 .3?
- Per valutare la lunghezza in mm di un certo componente industriale si `e ricorsi ad una indagine
campionaria su 20 unit`a di questo componente. Indicata con X la variabile casuale ”lunghezza
del componente in mm”, i risultati dell’indagine sono riassunti dalle seguenti quantit`a:
n X
i=
x i
n X
i=
x
2
i
Ipotizzando la distribuzione Normale per la variabile X:
(a) ricavare l’intervallo di confidenza dell’ignota media μ del carattere X con livello di confi-
denza del 95%;
(b) trovare un intervallo di fiducia per la varianza incognita con livello di confidenza del 95%;
(c) dedurre un intervallo di fiducia per lo scarto quadratico medio con livello di confidenza
del 95%.
- Sulla base dell’osservazione del diametro di 10 viti prodotte da una tornitrice `e risultato che il
diametro medio e pari a 5.5 mm. Si puo ipotizzare che il diametro delle viti prodotte sia una
variabile gaussiana con media incognita e scarto quadratico medio noto = 0.1 mm.
(a) Determinare un intervallo di confidenza per la media con livello di fiducia pari a 0.99.
(b) Determinare la numerosit`a campionaria che riduca l’ampiezza dell’intevallo a 0.10.
(c) Determinare la numerosit`a campionaria che dimezzi l’ampiezza dell’intervallo.
(d) Si supponga che la varianza non sia nota e la stima campionaria `e stata s = 0.1 mm. Si
contruisca un intervallo di confidenza a livello di fiducia pari al 99% e lo si confronti con
l’intervallo al punto (a).
- L’osservazione del diametro di 9 viti in mm prodotte da una tornitrice sono riportate nella
seguente tabella:
mm 3.12 3.16 2.94 3.20 3.33 3.19 3.22 3.17 3.
Si pu`o ipotizzare che il diametro delle viti prodotte sia una variabile gaussiana.
(a) Determinare un intervallo di confidenza per la media con livello di fiducia pari a 0.99.
(b) Determinare un intervallo di confidenza per la varianza con livello di fiducia pari a 0.99.
(c) Determinareun intervallo di confidenza per lo scarto quadratico medio con livello di fiducia
pari a 0.99.
`
E stata svolta un’ampia indagine campionaria per stimare la percentuale di imprese che di-
spongono di un sito web per svolgere la propria attivit`a. Su 900 imprese intervistate, n = 414
imprese hanno dichiarato di utilizzare un proprio sito web per la loro attivi`a, mentre i rimanenti
non dispongono di un sito web.
(a) Determinare un intervallo di confidenza al livello 1 ↵ = 0.95 per la proporzione di imprese
che dispongono di un sito web.
(b) Determinare la numerosit`a campionaria tale che l’ampiezza dell’intervallo di confidenza
(al livello del 95%) non superi 0.04. (cio`e si abbia uno errore al massimo del 2%).
- Costruire un intervallo di confidenza (di livello 99%) per la di↵erenza media della lunghezza di
barre di acciaio prodotte dalle linee A e B, rispetto alle quali sono stati estratti due campioni
aventi le seguenti determinazioni:
A 11.9 11.5 10.8 12.9 10.
B 9.8 10.0 10.0 11.0 13.0 12.1 10.
(a) nell’ipotesi in cui
2
A
= 0.3 e
2
B
= 0.9 e le due popolazioni siano normali;
(b) nell’ipotesi in cui la varianza delle due popolazione sia incognita ma uguale (
2
A
2
B
2 ,
non nota) e le due popolazioni siano normali.
(c) Si pu`o accettare l’ipotesi nulla che la lunghezza in entrambe le linee di produzione sia la
stessa?
- In uno studio di marketing per valutare la soddisfazione dei clienti che hanno e↵ettuato l’ac-
quisto di umidificatori ad ultrasuoni sono state poste alcune domande ad un gruppo che ha
acquistato la marca che ha e↵ettuato la ricerca di mercato e ad un altro gruppo che ha acqui-
stato una marca concorrente. Gli acquirenti della marca che ha commissionato lo studio ha
dato come risultati del test per valutare il grado di soddisfazione i seguenti valori: 14.0, 14.3,
12.2, 15.1. Per la seconda marca di umidificatori i risultati al test sono stati 12.1, 13.6, 11.9,
(a) Costruire un intervallo di confidenza (di livello 90%) per la di↵erenza media della sod-
disfazione dei clienti nel caso in cui la variabilit`a sia uguale nei due gruppi ma non
nota.
(b) Si pu`o accettare l’ipotesi nulla che la soddisfazione in entrambi i gruppi sia la stessa?
