Analisi di Ottimizzazione Lineare: Problema di Produzione | Prove d'esame di Analisi Matematica I

Metodi di Ott. della Ricerca Operativa M

ATRICOLA

_____________________________

Prof. Francesca Fumero N

OME E

C

OGNOME

______________________________

Prova d’esame C

DOMANDA 1 (punti 9)

Un’impresa può realizzare cinque prodotti diversi utilizzando tre macchine utensili, disponibili 128 ore per ciascuna settimana.

Ciascun p rodotto deve essere lavorato sulle tre macchine secondo quanto indicato in minuti nella seguente tabella, che riporta

anche il prezzo di vendita dei prodotti e il costo orario di lavorazione per ogni macchina (espressi in unità monetarie UM):

Prodotti Macchina 1 Macchina 2 Macchina 3 Prezz o di vendita

A 12 8 5 5

B 7 9 10 4

C 8 4 7 5

D 10 0 3 4

E 7 11 2 4

Costo orario 4 4 3 ----

Ciascun prodotto richiede anche l’assorbimento di materie prime, che comportano per A e C un costo aggiuntivo pari a 2 UM e per

B, D ed E un costo pari a 1 UM.

In considerazione delle analisi di mercato svolte, l’impr esa ritiene necessario che almeno il 40% della propria produzione riguardi i

prodotti C e D. Si tenga inoltre presente che l’impresa ha già ricevuto un ordine dal suo maggior cliente, che acquista

esclusivamente i prodotti B, D ed E e ha richiesto un quantitativo totale di almeno 600 pezzi (indipendentemente dal mix).

Sulla base dell’output allegato, che fornisce la soluzione del modello di ottimizzazione lineare che rappresenta il problema

descritto, nell’ipotesi di voler massimizzare il profitto dell’impresa, si risponda ai successivi quesiti.

1. Cosa rappresenta la variabile M2? Quale condizione esprime il vincolo 8? Quale condizione esprime il vincolo 3?

2. Quante ore di lavoro vengono usate su ciascuna macchina nel piano ottimale?

3. La soluzione ottimale fornita è degenere? Perché?

4. Il vincolo relativo al soddisfacimento dell’ordine del cliente importante è significativo e vincolante nella definizione del mix

ottimale? Perché?

5. Di quanto può aumentare il profitto del prodotto B prima che l’impresa debba modificare il proprio piano di produzione?

PROBLEM DATA IN EQUATION STYLE

Maximize + 3 A + 3 B + 3 C + 3 D + 3 E - 4 M1 - 4 M2 - 3 M3

Subject to

CONSTR 1 + 12 A + 7 B + 8 C + 10 D + 7 E - 60 M1 = 0

CONSTR 2 + 8 A + 9 B + 4 C + 11 E - 60 M2 = 0

CONSTR 3 + 5 A + 10 B + 7 C + 3 D + 2 E - 60 M3 = 0

CONSTR 4 + 1 M1 <= 128

CONSTR 5 + 1 M2 <= 128

CONSTR 6 + 1 M3 <= 128

CONSTR 7 + 1 B + 1 D + 1 E >= 600

CONSTR 8 + 0.4 A + 0.4 B - 0.6 C - 0.6 D + 0.4 E <= 0

0 <= A, 0 <= B, 0 <= C, 0 <= D, 0 <= E, 0 <= M1, 0 <= M2, 0 <= M3

OPTIMAL SOLUTION - DETAILED REPORT

Variable Value Cost Red. cost Status

1 A 0.0000 3.0000 -1.3920 Lower bound

2 B 0.0000 3.0000 -0.2330 Lower bound

3 C 415.2000 3.0000 0.0000 Basic

4 D 52.8000 3.0000 0.0000 Basic

5 E 547.2000 3.0000 0.0000 Basic

6 M1 128.0000 -4.0000 0.0000 Basic

7 M2 128.0000 -4.0000 0.0000 Basic

8 M3 69.3200 - 3.0000 0.0000 Basic

Slack Variables

12 CONSTR 4 0.0000 0.0000 -13.3700 Lower bound

13 CONSTR 5 0.0000 0.0000 -1.0100 Lower bound

14 CONSTR 6 58.6800 0.0000 0.0000 Basic

15 CONSTR 7 0.0000 0.0000 -0.0450 Lower bound

16 CONSTR 8 61.9200 0.0000

Objective Function Value = 1813.64

Constraint Type RHS Slack Shadow price

1 CONSTR 1 = 0.0000 0.0000 0.2895

2 CONSTR 2 = 0.0000 0.0000 0.0835

3 CONSTR 3 = 0.0000 0.0000 0.0500

4 CONSTR 4 <= 128.0000 0.0000 13.3700

5 CONSTR 5 <= 128.0000 0.0000 1.0100

6 CONSTR 6 <= 128.0000 58.6800 0.0000

7 CONSTR 7 >= 600.0000 0.0000 -0.0450

8 CONSTR 8 <= 0.0000 61.9200

SENSITIVITY ANALYSIS OF COST COEFFICIENTS

Current Allowable Allowable

Variable Coeff. Minimum Maximum

1 A 3.0000 -Infinity 4.3920

2 B 3.0000 -Infinity 3.2330

3 C 3.0000 2.9591 6.8833

4 D 3.0000 1.5438 3.0750

5 E 3.0000 2.7896 3.1125

6 M1 -4.0000 -17.3700 Infinity

7 M2 -4.0000 -5.0100 Infinity

8 M3 -3.0000 -3.5294 -1.3075

SENSITIVITY ANALYSIS OF RIGHT-HAND SIDE VALUES

Current Allowable Allowable

Constraint Type Value Minimum Maximum

1 CONSTR 1 = 0.0000 -584.1510 4346.6670

2 CONSTR 2 = 0.0000 -6840.0000 660.0000

3 CONSTR 3 = 0.0000 -3520.8000 4159.2000

4 CONSTR 4 <= 128.0000 118.2642 200.4444

5 CONSTR 5 <= 128.0000 14.0000 139.0000

6 CONSTR 6 <= 128.0000 69.3200 Infinity

7 CONSTR 7 >= 600.0000 512.0000 734.6087

8 CONSTR 8 <= 0.0000 -61.9200 Infinity

PARAMETRIC ANALYSIS OF RIGHT-HAND SIDE VALUE - CONSTR 5

COEF = 128.000 LWR LIMIT = 0.000 UPR LIMIT = 500.000

------- Range ------- Shadow ---- Variable ----

From To Price Leave Enter

RHS 128.000 139.000 1.010 D SLACK 7

Obj 1813.640 1824.750

RHS 139.000 141.838 0.650 SLACK 8 SLACK 5

Obj 1824.750 1826.595

RHS 141.838 500.000 0.000 ---- No change ----

Obj 1826.595 1826.595

RHS 128.000 14.000 1.010 E SLACK 7

Obj 1813.640 1698.500

RHS 14.000 0.000 1.550 ---- No change ----

Obj 1698.500 1676.800

Analisi di Ottimizzazione Lineare: Problema di Produzione, Prove d'esame di Analisi Matematica I

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Metodi di Ott. della Ricerca Operativa MATRICOLA _____________________________

Prof. Francesca Fumero NOME E COGNOME ______________________________

Prova d’esame C

DOMANDA 1 (punti 9)

Un’impresa può realizzare cinque prodotti diversi utilizzando tre macchine utensili, disponibili 128 ore per ciascuna settimana.

Ciascun prodotto deve essere lavorato sulle tre macchine secondo quanto indicato in minuti nella seguente tabella, che riporta

anche il prezzo di vendita dei prodotti e il costo orario di lavorazione per ogni macchina (espressi in unità monetarie UM):

Prodotti Macchina 1 Macchina 2 Macchina 3 Prezzo di vendita

A 12 8 5 5

B 7 9 10 4

C 8 4 7 5

D 10 0 3 4

E 7 11 2 4

Costo orario 4 4 3 ----

Ciascun prodotto richiede anche l’assorbimento di materie prime, che comportano per A e C un costo aggiuntivo pari a 2 UM e per

B, D ed E un costo pari a 1 UM.

In considerazione delle analisi di mercato svolte, l’impresa ritiene necessario che almeno il 40% della propria produzione riguardi i

prodotti C e D. Si tenga inoltre presente che l’impresa ha già ricevuto un ordine dal suo maggior cliente, che acquista

esclusivamente i prodotti B, D ed E e ha richiesto un quantitativo totale di almeno 600 pezzi (indipendentemente dal mix).

Sulla base dell’output allegato, che fornisce la soluzione del modello di ottimizzazione lineare che rappresenta il problema

descritto, nell’ipotesi di voler massimizzare il profitto dell’impresa, si risponda ai successivi quesiti.

1. Cosa rappresenta la variabile M2? Quale condizione esprime il vincolo 8? Quale condizione esprime il vincolo 3?

2. Quante ore di lavoro vengono usate su ciascuna macchina nel piano ottimale?

3. La soluzione ottimale fornita è degenere? Perché?

4. Il vincolo relativo al soddisfacimento dell’ordine del cliente importante è significativo e vincolante nella definizione del mix

ottimale? Perché?

5. Di quanto può aumentare il profitto del prodotto B prima che l’impresa debba modificare il proprio piano di produzione?

PROBLEM DATA IN EQUATION STYLE

Objective Function Value = 1813.

SENSITIVITY ANALYSIS OF COST COEFFICIENTS

6. Di quanto può aumentare e diminuire il costo di lavorazione sulla macchina 1 prima che l’impresa debba modificare il proprio

piano di produzione?

7. Se ci fosse la possibilità di incrementare la capacità della macchina 2, con un costo di investimento pari a 0,6 UM per ora,

quale livello di espansione suggerireste all’impresa? Perché?

8. Se il cliente importante per l’impresa riducesse il proprio ordine di 50 pezzi , cosa accadrebbe ai profitti dell’impresa? Perché?

9. Quale valore assumerà la variabile duale corrispondente al vincolo 8? Perché?

DOMANDA 2 (punti 7)

Si enunci e si dimostri il teorema degli scarti complementari nella ottimizzazione lineare continua:

DOMANDA 3 (punti 5)

Con riferimento alla variazione di un coefficiente della funzione obiettivo in un problema di ottimizzazione lineare continua, si

specifichi cosa accade all’interno del range di sensitività a

la base ottimale corrente____________________________________________________________________________

la soluzione di base ottimale corrente___________________________________________________________________

il valore della funzione obiettivo_______________________________________________________________________

Si illustri inoltre l’andamento della curva parametrica ᡸ∗(ᡕ〷 ) (curva del valore ottimo) rispetto alla variazione di un coefficiente della

funzione obiettivo in un problema di massimizzazione:

Si rappresenti infine l’andamento della curva parametrica ᡸ∗(ᡔ〶) (curva del valore ottimo) rispetto alla variazione del termine noto

di un vincolo di ≤ (minore-uguale) in un problema di minimizzazione:

DOMANDA 4 (punti 6)

Si applichi l’algoritmo di Dijkstra al grafo riportato nella pagina successiva per determinare il cammino di costo minimo dal nodo A

al nodo F. Si completi correttamente la tabella delle etichette e si specifichino il cammino ottenuto e la sua lunghezza.

La curva risulta:

crescente decrescente

concava convessa

La curva risulta:

crescente decrescente

concava convessa

b) Utilizzando i tagli di Gomory vi è la certezza di ottenere una soluzione ottimale di PI con un numero finito di iterazioni.

c) Dopo l’inserimento di un taglio valido all’iterazione K la soluzione ottima del rilasciamento continuo PLk è ammissibile per

il modello primale ma non per quello duale

d) Tutte le affermazioni proposte sono vere

5) Data la seguente rappresentazione grafica della regione ammissibile di un modello di ottimizzazione lineare di

massimizzazione, con due variabili e cinque vincoli, dove le linee tratteggiate rappresentano curve di livello della funzione

obiettivo (tali per cui alla retta A è associato un valore superiore a quello associato alla retta B), si dica se la soluzione ottimale

è

6) Facendo riferimento alla formulazione generale di un problema di trasporto, quale significato assumono i termini noti dei

vincoli in tale problema: