le medie statistiche, Slide di Statistica Sociale

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Le medie

Prof. Enrico Ivaldi

La media aritmetica

La media aritmetica () di un insieme di valori osservati , , …, di un carattere

quantitativo è pari alla somma dei valori osservati divisa per il loro numero:

𝜇 𝑋 = 𝑥 ´= 1 𝑛 ( 𝑥 1 +^ 𝑥 2 + … +^ 𝑥𝑛 ) =^ 1 𝑛 ∑ 𝑖 = 1 𝑛 𝑥 𝑖

Lezione 1: introduzione alla statistica

Se il carattere X è quantitativo discreto e conosciamo la sua distribuzione di

frequenza:

Dove K è il numero di modalità assunte dal carattere, è la frequenza

assoluta della i-esima modalità e è la corrispondente frequenza relativa.

Lezione 1: introduzione alla statistica

Esempio : Si considerino le altezze di 30 studenti frequentanti il

corso di statistica nel corso di laurea in Scienza dell’Amministrazione. Si calcoli la media aritmetica. 162 3 168 4 170 7 172 6 177 5 185 5 Totale 30 162 3 168 4 170 7 172 6 177 5 185 5 30 Nel caso di distribuzioni di frequenza è utile costruire la colonna per ottenere il numeratore della media aritmetica mentre il denominatore è pari alla somma delle frequenze. 162 3 486 168 4 672 170 7 1190 172 6 1032 177 5 885 185 5 925 Totale 30 5190 162 3 486 168 4 672 170 7 1190 172 6 1032 177 5 885 185 5 925 30 5190

Esempio media con frequenze assolute Tempo impiegato per raggiungere il posto di lavoro Metro (yi) ni xini 22 2 44 24 3 72 26 1 26 28 1 28 31 2 62 32 1 32 33 1 33 37 1 37 Tot 12 334 𝜇 𝑦 = 1 𝑛 ∑ 𝑖 = 1 𝑘 𝑦 𝑖 𝑛 𝑖 𝜇𝑦 = 1 12 · 334 =27,

Dove K è il numero di modalità assunte dal carattere, è la frequenza

assoluta della i-esima modalità

Esempio media con frequenze relative Metro (yi) ni fi xi fi 22 2 2/12=0,167 3, 24 3 3/12=0,250 6, 26 1 1/12=0,083 2, 28 1 1/12=0,083 2, 31 2 2/12=0,167 5, 32 1 1/12=0,083 2, 33 1 1/12=0,083 2, 37 1 1/12=0,083 3, Tot 12 1 27,

Dove K è il numero di modalità assunte dal carattere, è la frequenza assoluta

della i-esima modalità e è la corrispondente frequenza relativa.

Media aritmetica ponderata

Quando i valori variano in base al loro grado di importanza, occorre decidere di

conseguenza come pesarli. Si può quindi procedere utilizzando un altro valore, detto

peso, che ci fornisce informazioni su quanto ogni numero sia “rilevante” ai fini della

media.

Dati, cioè, n numeri: , , … , , ognuno col proprio peso: , , … , , la media ponderata

sarà data dalla somma dei prodotti di ogni numero per il proprio peso, diviso la

somma dei pesi:

Media aritmetica ponderata (II)

Esempio : si calcoli la media degli esami sostenuti con riferimento ai crediti che

essi apportano al piano di studi Statistica: voto 27 crediti 8, Sociologia: voto 21

crediti 12, Storia Moderna: voto 28 crediti 4.

La media dei voti sarà quindi uguale a 24,16.

Si osservi che se non avessi preso in considerazione il numero dei crediti

la media dei voti sarebbe stata 25,

𝜇𝑋 = 𝑥 1 ∙ 𝑝 1 + 𝑥 2 ∙𝑝 2 +...+ 𝑥𝑛 ∙𝑝𝑛 𝑝 1 + 𝑝 2 + ...+ 𝑝𝑛  = 27 ∙ 8 + 21 ∙ 12 + 28 ∙ 4 8 + 12 + 4 =24,

La Moda

La moda è la modalità della distribuzione che si presenta con la massima

frequenza (assoluta, relativa o percentuale).

La moda è una media di posizione che può essere calcolata per qualsiasi tipo di carattere, in particolare anche per i caratteri qualitativi sconnessi. Una distribuzione si dice unimodale se presenta un solo picco e bimodale se presenta due picchi di medesima altezza, ovvero due modalità o valori che presentano eguale frequenza massima. Nel caso si abbiano più di due picchi si parlerà di distribuzioni multimodali.

La moda per un carattere suddiviso in classi Se la distribuzione del carattere è suddivisa in classi, abbiamo, al posto della moda, la classe modale che è definita come la classe alla quale corrisponde la frequenza più alta. Se all’interno di essa vogliamo individuare un unico valore, si potrà prendere il valore centrale della classe (75)

Esempio In corrispondenza all’individuo 5 osserviamo la modalità discreto , che rappresenta quindi la mediana della distribuzione. Si noti che tre individui assumono una modalità di ordine più elevato della mediana, mentre altri tre assumono una modalità di ordine più basso della mediana.

Esempio II Esempio : La seguente tabella riporta la distribuzione del carattere X numero di stanze di 120 abitazioni della provincia di Genova; si calcoli la mediana della distribuzione numero di stanze 1 3 2 7 5 6 4 8 5 32 22 2 16 7 35 1 numero di stanze 1 3 2 7 5 6 4 8 5 32 22 2 16 7 35 1 Si procede all’ordinamento dei dati e al calcolo delle frequenze cumulate Numero di stanze 1 5 5 2 22 27 3 32 59 4 35 94 5 16 110 6 7 117 7 2 119 8 1 120 Totale 120 Numero di stanze 1 5 5 2 22 27 3 32 59 4 35 94 5 16 110 6 7 117 7 2 119 8 1 120 120 Per quanto riguardo il calcolo della mediana, osserviamo che n è pari e di conseguenza abbiamo due posizioni centrali: Osservando le frequenze cumulate, si possono individuare le osservazioni che occupano le posizioni centrali. Sulla base di queste osservazioni la mediana risulta essere la seguente:

Percentili e quartili

Si definiscono percentili quei valori che dividono la distribuzione in cento parti di

equale numerosità.

I percentili di uso più frequente sono il 25-esimo e il 75-esimo percentile, detti

anche primo () e terzo quartile (), che insieme alla mediana, che corrisponde al

secondo quartile, () e al 50-esimo percentile, dividono la distribuzione in quattro

parti uguali.

Esempio: Nella tabella di seguito riportata, 33 punti vendita sono distinti secondo il numero di addetti. Si calcolino primo, secondo e terzo quartile della distribuzione. 1 2 3 4 5 9 7 3 9 5 4 5 1 2 3 4 5 9 7 3 9 5 4 5 1 7 21,21% 21,2% 2 3 9,09% 30,3% 3 9 27,27% 57,6% 4 5 15,15% 72,7% 5 4 12,12% 84,8% 9 5 15,15% 100,0% Totale 33 1 7 21,21% 21,2% 2 3 9,09% 30,3% 3 9 27,27% 57,6% 4 5 15,15% 72,7% 5 4 12,12% 84,8% 9 5 15,15% 100,0% 33 Il primo quartile viene individuato quando la distribuzione cumulata supera il 25% delle osservazioni, e questo accadde per , mentre il terzo quartile si ottiene quando la distribuzione cumulata percentuale supera il 75% delle osservazioni, per. In questo caso la mediana corrisponde a.

Esercizi