Estimação Espectral e Predição Linear de Sinais, Notas de estudo de Engenharia Elétrica

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Estimação Espectral Paramétrica

 em que são, respectivamente, as estimativas da função de autocorrelação e do espectro densidade de potência,  na prática não é necessário determinar ou estimar a função de autocorrelação,  o edp pode ser calculado diretamente a partir das funções amostras do sinal.

estimação espectral clássica





 

1

1

ˆ ( ) ˆ ( )^2

N

k N

j fk

Pxx f rxx k e

 vimos anteriormente que o espectro densidade de potência é definido como a transformada de Fourier da função de autocorrelação,  para sinais reais tem-se,

rˆ xx^ (k) ePˆxx(f)

:  0 , 1 , ,  1 || k  0  fk  1

N

k

em que k  N f

1 2

0

2 ( )

1 ˆ (^) ( ) ˆ ( ) 





   

N

n

j Nk n Pxx fk Pxx k N x n e

 Períodograma via DFT:

 desvantagens:

• requer o uso de janelas,
• resolução de frequência baixa (pois em geral N é relativamente pequeno).

 

(^12) ˆ (^) ( ) X k N

Pxx k 

estimação espectral clássica

• a resolução espectral é baixa, exemplo,

F KHz e N f Hz

admitindo

N

F ou N

f

a R

a R

10 1000 10

1

   



• outro método: estimação espectral paramétrica

Modelo de função do sistema racional

X  z  H z U  z

A z

B z

H z 

 Na estimação espectral paramétrica o sinal é modelado por um sistema racional,

• admite-se que o processo x(n) possa ser modelado por um sistema linear de tempo discreto tal que:
• em que U(z) é a transformada z do sinal de excitação e H(z) é a função de transferência racional que representa o sinal (modelo de geração do sinal):
• A(z) e B(z) são polinômios em z, com coeficientes constantes.

u(n) h(n) x(n)

U(z) H(z) X(z)

excitação sinal

modelo do sinal

• 0.5 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.

0

• 0.2 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.

0

modelo de função do sistema racional









  P

k

k k

Q

k

k k

a z

b z

A z

B z

H z

1

0

• os coeficientes bk e ak são admitidos constantes,
• Q representa o número de zeros da função,
• P é o número de polos ou a ordem do modelo,
  • observe que a 0 = 1,
• assim,

no domínio do tempo

 

Q

k

k

P

k

x n ak x n k b u n k

1 0

 calculando a transformada z inversa de H(z) obtemos a representação do sinal no domínio do tempo,

• pela equação anterior,

a z X z b z U z

Q

k

k k

P

k

k

k 



 

 1 0

• assim, correspondente equação de diferenças para o sistema será:

 Admitindo que x(n) seja um processo aleatório estacionário, como

consequência u(n) também é estacionário,

• sabemos que,
• então espectro densidade de potência de x(n) será dado pelo edp de u(n) multiplicado por

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) 2

2 2 f A f

B f xx f  H f uu f  uu

no domínio da frequência

X  z  H z U  z

  2 H f

X  z  H z U  z

 em muitas situações práticas a sequência de entrada u(n) pode ser admitida um sinal semelhante a um ruído branco, com valor médio nulo e variância ,  como o espectro do ruído é plano,

2  u

2 2

2

( )

( ) xx(^ ) u A f

B f  f  

 substituindo na equação anterior (edp),

uu  f    u^2

• como o edp da excitação é constante, então o edp do sinal é uma função racional no domínio da frequência,
• ele depende dos coeficientes ak e bk do modelo.

 a partir do modelo ARMA, outros dois modelos são identificados:

• modelo de média móvel MA(Q)  modelo somente com zeros (sistema FIR).
• modelo autorregressivo AR(P)  modelo somente com polos (sistema IIR).

X ( z)  B(z)U(z)

( ) ( )

1 ( ) U z A z

X z 

 No modelo de média móvel MA(Q): P = 0, isto é, A(z) = 1, assim:

X ( z)  B(z)U(z)

 

 

Q

k

x n bk u n k 0

( ) ( )

 No modelo de autoregressivo AR(P): Q = 0, isto é, B(z) = 1, assim:

( ) ( )

1 ( ) U z A z

X z 

( ) ( ) ( ) 1

x n a x n k u n

P

k

  k   

( ) ( ) ( ) 2 xx f  B f uu f

( ) ( )

1 ( ) 2 f A f

xx f  uu

 observações;

• os coeficientes ak são admitidos constantes
• o sinal negativo é utilizado por conveniência no equacionamento,
• as amostras passadas, x(n-1), ..., x(n-P), não formam uma base para x(n),
• assim, existe uma diferença entre a estimativa e o valor correto da amostra. Esta diferença é chamada de erro de predição, ou resíduo.

 

P

k

x n a x n aP x n P akx n k

1

 O erro de predição é definido como a diferença entre as amostras original e estimada. Assim:

 

    

P

k

e n x n x n x n ak x n k 1

( ) ( ) ˆ( ) ( ) ( )

 rearranjando a equação acima tem-se:

( ) ( ) ( ) 1

x n a x n k e n

P

k

  k     observe que a equação acima é idêntica à equação do modelo AR, basta substituir e(n) por u(n),  podemos afirmar que os coeficientes ótimos da predição são os parâmetros do modelo AR,  estes coeficientes ak são determinados pela minimização da potência do erro de predição.