Pré-visualização parcial do texto
Baixe 08Cál. Thomas-Capítulo 7 e outras Notas de estudo em PDF para Matemática, somente na Docsity!
Companion Website Biografia Histórica John Bemoulli (1667 — 1748) Técnicas de Integração, Regra de "'Hôpital e Integrais Impróprias RESUMO Vimos como as integrais aparecem na modelagem de fenômenos reais e na medição de objetos no nosso mundo e sabemos em teoria como as in- tegrais são calculadas com primitivas. Entretanto, quanto mais sofisticados se tornam os nossos modelos, mais complicadas ficam as integrais. Precisamos saber como transformar essas integrais mais complicadas em formas com as quais possamos trabalhar. Um dos objetivos deste capítulo é mostrar como transformar integrais desconhecidas em integrais que possamos reconhecer, achar em uma tabela ou calcular usando o computador. Já conhecemos duas técnicas para fazer isso: manipulação algébrica e subs- tituição. Aqui, ampliaremos essas técnicas c apresentaremos uma nova técnica poderosa chamada integração por partes. Além disso, mostraremos como qual- quer função racional pode ser integrada. Por fim, estenderemos nossas idéias para integrais em que um ou dois limites da integração são infinitos e para inte- grais cujos integrandos se tornam ilimitados no intervalo de integração. Antes disso, faremos uma pausa para apresentar a Regra de 1 Hôpital para calcular hi- mites de frações cujos numeradores e denominadores tendem a zero. A Regra de 1Hôpital na verdade foi descoberta por John Bernoulli, mas acabou ga- nhando esse nome depois que 1'Hôpital a popularizou em um livro de cálculo que escreveu. Fórmulas de Integração Básica Procedimentos Algébricos Como vimos na Seção 4.1, calculamos uma integral indefinida achando uma primitiva do integrando e adicionando uma constante arbitrária. A Tabela 7.1 mostra as formas básicas das integrais que calculamos até agora. Há uma tabela mais extensa no final do livro; isso será discutido na Seção 7.5. 517 518 Capítulo 7: Técnicas de Integração, Regra de |'Hôpital e Integrais Impróprias « fa=urc 13. | coguda=misenul+C m = —In|cosec u|+ € » . f kdu=ku+C (qualquer número k) . Frans am= [aus | do ar w! o 4 [ua=- so +c MA) 14. [ea-ese 15. farau= rc (e>00*1) na du 16. f senh u du = coshu + € s. fam alt E 17. | costu do = senhu + c 6. Í sen udu ='—cos “+ € du u 7. | cosudu= senu+c 1 | =avsem (4) + & [secuda=igu+c du 1 u 9 | Sararetela)to 9 | coses? uu = cogu + du 1 u 20, [es dare sec ac 10, [ scutguda=seu+c uvr-a A e 1. f coseo ur corg uu = —coseo u + 2. [gts = e sem (8) nc (a>0) Ve ru 12. fa udu = Infos ul + C E Cn ive 2. [és = con (8) o (u>a>0) Procedimentos Algébricos à . Fregientemente precisamos reescrever uma integral para que esta se encaixe em uma fórmula-padrão. Exemplo 1 Realizando uma Substituição para Simplificar * Calcule: 2-9 dx Ve -B+1 Solução u=m—9+1, Í du du=(Qx-Mdr Vu f 2-9 VR -9W+I = [uau Tabela 7.1, Fórmula 4, = ut ua +c coma =-12 CDH =mW2+C =2V8 —9%K +] +C 520 Capitulo 7: Técnicas de Integração, Regra de 'Hôpital e Integrais Impróprias Solução Usamos a identidade 1+ cos 20 ) ou l+ cos 28=2 cos. cos? 6 = Com 9 = 2x, essa identidade se torna 1+cos4x=2 cos 2x. Logo, [via cos tras [Tacos ar miá =vi[ jcos 2x|dx Vi =ul o mi Em [0, m/4], cos 2x = 0, =v2 [ cos 2x dx à - o então |cos 2+| = cos 2x. =/2 | Sm 2x a 2 bh - va|5 1. =-Y2 2 Exemplo 5 Reduzindo uma Fração Imprópria Calcule 32 — 7x a d+ E 3% — 7 =3 “32 + o ss Solução O integrando é uma fração imprópria (grau do numerador maior Fx ou igual ao grau do denominador). Para integrá-lo, dividimos primeiro, ob- -»+6 tendo um quociente mais um resto que é uma fração própria: +6 3? — Tx 3x +2 Então, ? 3-7 “ 6 =X ES as f(x s+nSsjams 3% +2m|%+2/+€. Reduzir uma fração imprópria por meio de uma divisão (Exemplo 5) nem - sempre nos leva a uma expressão que podemos integrar diretamente. Veremos o «que fazer com relação a isso na Seção 7.3. Exemplo 6 Separando uma Fração Calcule 3x+2 vio Solução Primeiramente separamos o integrante para obter [se de=s [ xdx +2[ 1-xº 1x Na primeira dessas novas integrais, substituímos dx, u=1-08, du=-Idr e xdr= Ida. 7.1 Fórmulas de Integração Básica 521 sf Es Cumds 3 furta vi=* d/2 Pratica =3WVI=E+G A segunda das novas integrais é uma fórmula-padrão, E] dx o aresenx+C Combinando esses resultados e renomeando €, + €; como € temos + p= 3VID7+2aresen x+C. vi-a . Exemplo 7 | Multiplicando por uma Forma de 1 Companion Ê Website Calcule -Biografia Histórica f secxdx. George David Birkhoff (1884-1944) Solução º o . secx+ tgx f secx de= [ (recai) ds = | secx SeEcx + gx dx -[ secêx + secx tgx secx+tgx -[ u=tgx sex, du = (sect secxtgx) dx = |uj+C= |secx+ tgx]+C. Com cossecantes e Cbtangentes no lugar de secantes e tangentes, o método do Exemplo 7 resulta em uma fórmula análoga para a integral da cossecante (ver Exercício 93). L [secudu=mlsecu +18 u|+€ 2 f cosec u dy = —ln | cosec u + cotgu| + € dx dx qa |—E— 2 |— E lotes sé Identidades Trigonométricas Calcule as integrais dos exercícios 43-46 usando identidades trigo- nométricas e uma substituição para reduzi-las à forma-padrão. as [sex + cotg 3? dx 4a f (cosecx — tg x) dx as. f cosecx sen 3x dx 46 Í (sen 3x cos 2x — cos 3x sen 2x) dx Frações Impróprias Calcule as integrais dos exercícios 47-52. reduzindo a fração im- própria e usando uma substituição (quando necessário) para reduzi- las à forma-padrão. 2 = x o faça a [ça 2x? *4-7 9 [at 0.) 3 & a fu 2+a6r 8 [ES ao . 4 . EEE Separando Frações Calcule as integrais dos excreícios 53-56 separando a fração e usando uma substituição (quando necessário) para rednzi-las à forma-padrão. 53. Í E Í 1+2V2 014, »vx=1 tá no ss. [ It sena 56. [ 2-4, E) cost x e Ha Multiplicando por uma Forma de 1 Calcule as integrais dos exercícios 57-62 multiplicando por uma forma de 1 e usando uma substituição (quando necessário) para re- duzi-las à forma-padrão. 1 1 ; 9 Jia E a E a o. f sec 8 +10 da 50. f cosec 8 + cotg O do 61 f ar [5 f 1 & 1 — sec x 1— cosec x Eliminando Raizes Quadradas Calcule as integrais dos exercícios 63-70 eliminando a raiz qua- drada. e [of 6s. Vl + cos 2tdt a 64. [ VI — cos 2rdx o o — 66. f NT + cos td 7.1 Fórmulas de Integração Básica 523 68. f NT sen? 8 dg 2 o 7”. f Vs y— Idy mia o NT — cos” 6 de atá 69. Í Vi +tgydy mia Integrações Diversas Calcule as integrais dos exercícios 71-82 utilizando a técnica que você achar apropriada. ara ma ”, ) (cosee x — cotgaidr 72 [ (sec x+4 cossf de ma o 7a. f cos 8 cosec (sen 6) de EZR fh +3) cotg (x + In x) dx 75. f (cosecx — secxXsenx + cosx) dx 76. Í 3 senh (s +In 5) dx 6dy n. | 2 dy 78. [ 90 +9) xVa 1 9, f 7dx o. f dy 4 1VE- AR Cx + DV dr 82 / dx 4V3 +? Potências de Funções Trigonométricas 83. (a) Calcule f cos! 8 do. (Dica:cos?6=1— sen? 6.) (b) Calcule f cosº 8d, (c) Sem realmente calcular a integral, explique como você calcularia J cos” gd. > 84. (a) Calcule f sen" 949. (Dica: sen? 6 (b) Calcule / sen de. (e) Calcule J sen? 8d. (d) Sem realmente calcular a integral, explique como você calcularia f sen! q dg. 81. I seclr tg (tg 1) dt 1-cos 6) 85. (a) Expresse J tg” 6 dê em termos de [ tg 6 dO. Depois cal- cule Ste dO. (Dica:tg 0= se? 8-1) Expresso / tg” 8 d8 em termos de / tg! 8 dp. Expresse J tg” 8 d6 em termos de tg” Ro. Expresse f tg" 8 df, onde & é um inteiro positivo, em termos de tg! 6 do. 86. (a) Expresse / cotg” 8 dê em termos de J cotg 6 dg. Depois calcule / cotg* 849. (Dica: cotg” 8 = cosec? 6 — 1) Expresse J cotg” 8 d9 em termos de f cotg” 9 d6. [o (e) (d) b (e) (d) Expresse J cotg”*! 9 d9, onde k é um inteiro positivo, em termos de J cotg*"! gd. Expresse f cotg” 6 d9 em termos de f cotg” 840. Teoria e Exemplos 87. Área Ache a área da região limitada superiormente por y = 2 cos xe inferiormente por y = sec x, —-n/4=1= m/4. . 524 ss. 89, Área Determine a área da região “triangular” que é limitada su- perior e inferiormente pelas curvas y = cosec x e y = senx, 7/6 =x q/2.e à esquerda pela reta x = 7/6. Volume Determine o volume do sólido gerado pela revolução Capitulo 7: Técnicas de Integração, Regra de "Hôpital e Integrais impróprias Í (2 Dir + 28 de pode ser calculada com qualquer uma das substituições a seguir. da região do Exercício 87 em torno do eixo x. 90. Volume Determine o volume do sólido gerado pela revolução da região do Exercício 88 em tomo do eixo x. 91 Comprimento do arco Determine o comprimento da curva y = In (cos x), 05x m/3. a) u=1/4+1) O) u= (Ge D/G +) parak= 1,1/2,1/3,-1/3,-2/3 e-1 (O) u=arctgx (O) u=arctgVx ) u=arecosx (e) u = arctg (x — 1/2) (g) u=arccoshx 92. Comprimento do arca Determine o comprimento da curva y = In(secx),0=x= n/4. 93. À integra! de cosec x Repita a derivação do Exemplo 7 usando co-funções para mostrar que Qual é o valor da integral? (Fonte: “Problems and solutions”, College Mathematics Journal, v. 21, n. 5, nov. 1990, p. 4235-426) f cosecx dx = —In [cosec x + cotgx| + C. 94, Usando diferentes substituições Mostre que a integral Integração por Partes Companion b é” Website ob Biografia Histórica Charles Davies (798 — 1876) Regra do Produto na Forma de Integral e Fazendo Reaparecer a Integral Desconhecida * Uso Repetido + Integração Tabular Uma vez que frás=Ié+o Ê [eas=ioo, [eráro [uaxo [rx “Em outras palavras, a integral de um produto geralmente não é o produto das integrais individuais: [ roseta as + [rc ax: | etxras. é evidente que Integração por partes é uma técnica para simplificar integrais da forma f fOdBt) dx na qual f pode ser derivada repetidamente e g pode ser integrada repetidamente sem dificuldade. A integral [eae é uma integral desse tipo porque f(x) = x pode ser derivada duas vezes para se tornar zero e g(x) = «& pode ser integrada repetidamente sem dificuldade, A in- tegração em partes também se aplica a integrais como 526 Capítulo 7: Técnicas de Integração, Regra de !'Hôpital e Integrais Impróprias Quando e como Usar a Integração por Partes Quando: Se a substituição não funciona, tente a integração por partes. Como: Comece com uma integral da forma Frisgon ar Combine-a com uma integral da forma [ué escolhendo dv como parte do integrando, in- cluindo dx e possivelmente f(x) ou g(G). Procedimento para escolher u e dv: À fórmula f udy=uu— f vdu fornece uma nova integral do lado direito da equação. Você deve ser capaz de integrar de maneira imediata dv para obter o lado direito. Se a nova integral for mais complexa do que a original, tente outra opção para 4 e dv. com “=x, dv =cosxdx. Para completar a fórmula, tomamos a diferencial de 4 e achamos a primitiva mais simples de cos x. du = dx, v=senx Então, [cosvar= sent [senvdr= sena cor + C. Vamos examinar as opções disponíveis para 4 no Exemplo 1. Exemplo 2 Verificando a Integração por Partes Quais são as opções para u e dv quando aplicamos a integração por partes a fx cos xár= [ udv? Quais opções nos levam a uma resolução correta da integral original? Solução Existem quatro opções possíveis. Lu=l e dv=xcosxdx Zu=x e dv=cosxdr 3 u=xcosx e dv=dx d.u=cosx e dv=xdx A primeira opção não serve, porque ainda não sabemos como integrar dv =xcos x dx para obter v. A opção 2 funciona bem, como vimos no Exemplo 1. A opção 3 leva a dv =dx, du = (cosx — xsenx) dx, v U=xC05%,, x, e à nova integral f vdu= f (x cos x — X sen x) dx. Essa integral é menos apropriada do que a inicial. A opção 4 leva a u=cosx, dv=xdx, du =-senxdx, e à nova integral fed -[5 senxdx. Essa integral também é menos apropriada que a ii al. O objetivo da integração por partes é passar de uma integral f u dv que não sabemos como calcular para uma integral / v du que podemos calcular. Geral- mente, escolhemos dv primeiro sendo a parte do integrando, incluindo dx, que (Gerado pelo Mathematica) Figura 7.2 A região do Exemplo 3. 7.2 Integração por Partes 527 sabemos integrar de maneira imediata; é a parte restante. Lembre-se de que a integração em partes nem sempre funciona. Exemplo 3 Encontrando a Área Encontre a área da região delimitada pela curva y = xe * e pelo eixo x de x=0ax=4. Solução A região está sombreada na Figura 7.2. Sua área é 4 f xe dx, 0 Usamos a fórmula fu dv = uv — fu ducom u=, du = dx, Então Logo, a f xe dx = [-xe" — e] o =(-4€"* -€)-(cE)=1-Se!=0,91. Exemplo 4 | Integral do Logaritmo Natural f ln x dx. Solução Uma vez que / In x dx pode ser escrita como Jlnx- 1 dx, usa- mos a fórmula f u dv = uv — fv du com Calcule u=In x Simplifica quando derivada do = dx Fácil de integrar du = Lar Primitiva mais x simples Então finxar=ema- [ulasoume- [de-uma-s+o Uso Repetido Às vezes precisamos utilizar a integração por partes mais de uma vez. 72 Integração por Partes 529 É 2 [ ecossds = esems+ e cas+C. Dividindo por 2 e renomeando a constante da integração, temos [ecosrar= sena tetcosr, Cc. Quando fazemos uso repetido da integração por partes em situações como a do Exemplo 6, uma vez que a escolha de u e dv seja feita, geralmente não é uma boa idéia alterá-la na segunda parte do problema. isso pode resultar na anulação do trabalho feito. Por exemplo, se tivéssemos mudado para a substi- tuição u = sen x, du = e* dx na segunda integração, teríamos obtido fecossar= esena— (sms [ercossas) = f ecosxdx, desfazendo a primeira integração em partes. A técnica de integração tabular, in- troduzida a seguir, previne que ocorra esse engano, Integração Tabular Vimos que integrais da forma f f()g(x) dx, nas quais f pode ser derivada repe- tidamente para se tornar zero e g pode ser integrada repetidamente sem dificul- dade, são candidatas naturais à integração em partes. Entretanto, quando é ne- cessário muitas repetições, os cálculos podem ser trabalhosos. Em situações como essa, existe um meio de organizar os cálculos que poupa muito trabalho. Éa integração tabular, mostrada nos exemplos 7 e 8. Exemplo 7 Usando a Integração Tabular Calcule Solução Com f(x) =x? e g(x) = €”, relacionamos: f(x) e suas derivadas g(x) e suas integrais Combinamos os produtos das funções ligadas por setas de acordo com os si- nais de operação acima delas e obtemos f Retdr= xe — Ie +28 40. Compare esse resultado com o do Exemplo 5. 530 Capítulo 7: Técnicas de Integração, Regra de Para saber mais sobre integração tabular, veja os Exercícios Adicionais no final deste capítulo. [Hôpital e Integrais Impróprias Exemplo 8 Usando Integração Tabular Calcule fo sen xdx. Solução Comf(x) = xºe g(x) = sen x, relacionamos f(x) e suas derivadas g(x) e suas integrais sen x =7 e -cosx Novamente combinamos os produtos das funções ligadas por setas de acordo com o sinal de operação acima delas e obtemos [esenzar= -x cosx + 3X senx + Gxcosx— Gsenx +C. EXERCÍCIOS 7.2 Integração por Partes Calcule as integrais dos exercícios 1-24, Substituição e Integração por Partes Calcule as integrais dos exercícios 25-30 usando uma substituição antes da integração por partes. 1. fesa Sd 2 [o cos mo do 1 25. femea 26. [ xVl—xdx 3 fe cost dt 4 fe senx dx e º 2 . 27. [ xtgixdx 28. Í In (x + x dx 5. Í alnxdx 6 [ x Inxdx q 1 1 29. [ sen ns) dx 30. [eim of de 7, [asim var 8 | resen var e = , Equações Diferenciais 9, [seta 10. Í ax sector dr Nos exercícios 31-34, resolva as equações diferenciais. dy dy 1L IE dx pn. fre dp 3H tes 32 =x d; 13. Í (2 — Sue" dx 14. f (+r+Dedr 33 = sen Vo 3. a = secbtg o Is. foca 16. fra Teoria e Exemplos " no 35, Encontrando a área Encontre a área da região delimitada pela 17. f , 9 sen 26 do 18. ) xº cos 2x dx curva y = x sen x e pelo eixo x (ver figura a seguir) para a a nã (a) 0s1=7 19. ns SE tdt 20. , 2x arc sen (1º) dx 0) n Note o numerador sobre y? + 1: para fatores quadráticos, usamos polinômios de primeiro grau nos numeradores, não numeradores constantes. Eliminando as frações da equação, temos 1=AG2+ 1) +(By + C)y Mulsiplique por - 2 XP +. =4+By+Cy+A Tgualando os coeficientes de potências iguais de y, temos 4 + B =0,C=0€ = |. Resolvendo essas equações simultaneamente, encontramos 4 = 1, B=-—1eC= 0. De acordo com isso, Peroo= [5 do f Fo” =In bl=3n Q+D+O. A solução da equação diferencial é m bi=3m + D=a+0. C-6-G Substituindo x = 0 e y = 1, encontramos 0-Jn2=c ou c=-n v2. A solução do problema de valor inicial é in p= fin G+D=a2-m 2. Exemplo 6 | Integrando com um Fator Quadrático Irredutivel no Denominador Calcule f + + DIZ usando frações parciais. Solução O denominador tem um fator quadrático irredutível, assim como um fator linear repetido, então escrevemos =R+4 .A+B, Co, D 2 “12 4 -—1 = CAD o g+1 x &=-1 (1 Eliminando as frações da equação, temos —2x+4=(AX+BXX— IPA Ca D+ D+D(+1) =(ALCRÊ+L(-DA+B-C+ Dx +(A-2B+ Cx +(B-C+D). Igualando os coeficientes de potências iguais de x, temos Coeficientes de x*: 0=A+C “2 +B-C+D Coeficientes de x*: 
