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Caracterização Matemática
Considere A = [a (^) jk ] uma matriz nxn. Considere também a seguinte equação vetorial:
Ax = λ x
Onde λ é um número.
Um valor de λ tal que x ≠ 0 seja uma solução do sistema é chamado de autovalor ou valor característico da matriz A.
As correspondentes soluções x ≠ 0 são chamadas de autovetores ou vetores característicos associados ao autovalor λ.
Problemas como este para determinação dos autovalores de uma matriz A são conhecidos como problemas de autovalores.
Determinação de autovalores e autovetores
Considere o seguinte problema de autovalor:
Transferindo os termos do lado direito para o lado esquerdo, temos:
n nn n n
n n
n n
a x a x x
a x a x x
a x a x x
λ
λ
λ
K
M
K
K
1 1
21 1 2 2
11 1 1 1
( ) ( )
( )
1 1 12 2
21 1 22 2 1
11 1 12 2 1
n nn n
n n
n n
a x a x a x
a x a x a x
a x a x a x
λ
λ
λ
K
M
K
K
Em notação matricial:
( A − λ I ) ⋅ x = 0
Teorema 1:
Os autovalores de uma matriz quadrada A são as raízes da correspondente equação característica.
A matriz A tem pelo menos um autovalor e no máximo n autovalores numericamente diferentes.
Os autovalores devem ser determinados primeiro. Com os autovalores determinados, os correspondentes autovetores são obtidos resolvendo o sistema de equações lineares.
Teorema 2:
Se x é um autovetor da matriz A correspondente a um autovalor λ, kx, com k ≠ 0, também é.
Exemplo:
Determinar os autovalores e autovetores da seguinte matriz:
A
a) Determinação dos autovalores
2
1 2
1 2 2
x
x x
x
A x λ
( ) det( ) = − −
D λ A λ I
( − 5 −λ)( − 2 −λ)− 4 = 0
λ^2 + 7 λ+ 6 = 0
Aplicações na Engenharia
a) Considere o movimento horizontal do conjunto massa mola mostrado na Figura abaixo:
As deflexões horizontais x 1 e x 2 são medidas relativamente à posição de equilíbrio estático. As molas possuem rigidez k 1 , k 2 e k 3 , que são as forças requeridas para estender ou comprimir cada mola de uma unidade de comprimento.
As equações de movimento são:
21 1 1 2 (^21 )
2 1 k x k x x dt
d x m =− + −
2 2 1 2 3 2
2
2 2 k (^ x x ) k x dt
d x m = − +
Se x = (x 1 ,x 2 ) t^ é o vetor deflexão, então podemos reescrever as equações acima na forma:
A x dt
d x 2 = ⋅
2
Uma solução desta equação diferencial é dada por:
x = ve^ iwt
Onde: v éum vetor e iwt = cos( wt )+ i ⋅sin( wt ),comi= - 1
Aqui, temos um problema de autovalor do tipo Ax = λx, onde λ = - ω^2. Os possíveis valores de ω são as freqüências naturais que o sistema pode assumir.
Considerando o corpo livre na Figura abaixo, o momento de curvatura em x é M = -Py. Então:
2
d y
Onde:
EI
P
p^2 =
Para esse sistema, sujeita às condições de contorno y(0) = y(L) = 0, a solução geral é dada por:
y = A sin( px )+ B cos( px )
onde A e B são constantes arbitrárias que devem ser obtidas usando-se as condições de contorno.
Assim, se y(0) = 0 obtêm-se B = 0 e se y(L) = 0 obtêm-se A sin(pL) = 0.
Mas desde que A = 0 representa a solução trivial, concluímos que sin(pL) = 0. Assim, para que esta última igualdade seja válida devemos ter:
pL = n π, n = 1 , 2 , K
Portanto, existe um número infinito de valores que satisfazem as condições de contorno. A equação anterior pode ser resolvida para:
= , n = 1 , 2 , K L
n p
os quais são os autovalores para a coluna. Cada autovalor corresponde ao modo nos quais a coluna curva- se.
Soluções Numéricas
Nosso objetivo é apresentar métodos numéricos para a determinação dos autovalores e correspondentes autovetores de uma matriz A de ordem n.
A menos que a matriz seja de ordem baixa ou que tenha muitos elementos iguais a zero, a expansão direta do determinante para a determinação do polinômio característico é ineficiente.
Assim os métodos numéricos que estudaremos são obtidos sem fazer uso do cálculo do determinante. Tais métodos podem ser divididos em três grupos:
a) Métodos que determinam o polinômio característico; b) Métodos que determinam alguns autovalores; c) métodos que determinam todos os autovalores.
Nos dois últimos casos determinamos os autovalores sem conhecer a expressão do polinômio característico.
Observações:
Em relação aos métodos do grupo a), uma vez determinado o polinômio característico de A, para calcular os autovalores devemos utilizar métodos numéricos para determinação de zeros de função. Nessa classe encontram-se, entre outros, os métodos de Leverrier e Leverrier-Faddeev.
Os métodos do grupo b), chamados iterativos, são usados se não estamos interessados em todos os autovalores de A.
Exemplo: Sejam s 1 = 6, s 2 = 14, s 3 = 36 as somas das potências das raízes de um polinômio P(x). Determinar P(x). k = 1 ⇒ a 0 s 1 + a 1 = 0 ⇒ a 1 =− a 0 s 1
k = 2 ⇒ a 0 s 2 + a 1 s 1 + 2 a 2 = 0 ⇒ 2 a 2 =− a 0 s 2 − a 1 s 1
k = 3 ⇒ a 0 s 3 + a 1 s 2 + a 2 s 1 + 3 a 3 = 0 ⇒ 3 a 3 =− a 0 s 3 − a 1 s 2 − a 2 s 1
Tomando o coeficiente do termo de maior grau do polinômio igual a 1, isto é, fazendo a 0 = 1, obtemos por substituição nas expressões anteriores que:
a 1 (^) =− 6 a 2 (^) = 11 a 1 = 6
O polinômio procurado é:
P ( x )= x^3 − 6 x^2 + 11 x − 6
Para os métodos numéricos descritos a seguir usaremos a seguinte notação para o polinômio característico de uma matriz A, de ordem n:
P (λ )= (− 1 ) n^ [λ n − p 1 λ n −^1 − p 2 λ n −^2 −K− pn − 1 λ− pn ]
Método de Leverrier
Esse método fornece o polinômio característico de uma matriz A de ordem n.
Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Se λ 1 , λ 2 , ..., λn são os autovalores da matriz A, isto é, se λ 1 , λ 2 , .... λn são os zeros do polinômio e se
então, pelo Teorema de Newton, temos que:
1
s k n
n i
k k =^ ∑ i ≤ ≤ =
kp (^) k = sk − p 1 s k − 1 −K− pk − 1 s 1 , 1 ≤ k ≤ n
Portanto, se conhecermos os sk, poderemos determinar os coeficientes p 1 , p 2 , ..., pn de P(λ).
Fazendo expansão direta do determinante de A – λI e usando o Teorema de Newton, tem-se que
p 1 = a 11 + a 22 +K+ a nn
Ou seja:
s 1 (^) = p 1 = tr ( A )
A soma dos autovalores de A é igual ao traço de A.
s 1 = tr ( A )= 1
2 (^2 ), 2 =
s = tr A A ⋅ A = − s
3 (^3 ),^23 =
s = tr A A ⋅ A = s
p 1 = s 1 ⇒ p 1 = 1
2 p 2 = s 2 − p 1 s 1 ⇒ p 2 = 2
3 p 3 = s 3 − p 1 s 2 − p 2 s 1 ⇒ p 3 =− 2
Assim:
3 2
3 3 2
2 3
2 1
3 3
P
P
P p p p
Calcular o Zero
Métodos que determinam alguns autovalores
Método das Potências
Consiste em determinar o autovalor de maior valor absoluto de uma matriz A, e seu correspondente autovetor, sem determinar o polinômio característico.
O método é útil na prática, desde que se tenha interesse em determinar apenas alguns autovalores, de módulo grande, e, que estes estejam bem separados, em módulo, dos demais.
Podem surgir complicações caso a matriz A não possua autovetores linearmente independentes.
O método das potências baseia-se no teorema a seguir.
