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UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
CCEN – DEPARTAMENTO DE MATEM´ATICA – ´AREA 2
RESOLUC¸ ˜AO DO PRIMEIRO EXERC´ICIO ESCOLAR – C´ALCULO 2
SEGUNDO SEMESTRE DE 2006 – 13 de DEZEMBRO de 2006
PROVA TIPO 1
1 aQuest˜ao: (2 pontos) Determine o valor de L para que a fun¸c˜ao:
f (x, y) =
L se (x, y) = (0, 0) 3 x^2 + xy^2 + 3y^2 x^2 + y^2 se (x, y) 6 = (0, 0)
seja cont´ınua. Justifique sua resposta.
Resolu¸c˜ao: Para (x, y) 6 = (0, 0) a fun¸c˜ao f (x, y) ´e cont´ınua, pois ´e o quociente de fun¸c˜oes (polinomiais) cont´ınuas, com o denominador n˜ao nulo. Desta forma basta verificar a continuidade na origem:
f (0, 0) = lim (x,y)→(0,0) f (x, y) = 3, asim teremos que ter L = 3 para a fun¸c˜ao f (x, y) ser cont´ınua.
C´alculo do limite: y = 0 e x → 0 , lim x→ 0 f (x, 0) = lim x→ 0 3 x^2 x^2 = 3 ; x = 0 e y → 0 , lim y→ 0 f (0, y) = lim y→ 0 3 y^2 y^2
y = ax e x → 0 , com a 6 = 0 , (^) xlim→ 0 f (x, ax) = lim x→ 0 3 + a^2 (x + 3) 1 + a^2
Usando coordenadas polares: x = r cos θ e y = r sen θ , (^) rlim→ 0 f (r cos θ, r sen θ) = lim r→ 0 (3 + r cos θ sen 2 θ)
3 − r ≤ 3 + r cos θ sen 2 θ ≤ 3 + r ; (^) rlim→ 0 3 − r = lim r→ 0 3 + r = 3
Usando o Teorema do Confronto: lim (x,y)→(0,0) f (x, y) = lim r→ 0 (3 + r cos θ sen 2 θ) = 3.
2 a^ Quest˜ao: (2 pontos) Verifique que a fun¸c˜ao u(x, t) =
t
e−^ x 42 t ´e solu¸c˜ao da equa¸c˜ao do Calor ∂u ∂t
∂^2 u ∂x^2
Resolu¸c˜ao:
∂u ∂t
t−^
(^32) e−^
x 42 t
x^2 4 t^2
t
e−^
x 42 t
t−^52 4
− 2 t + x^2
e−^
x 42 t
∂u ∂x
x 2 t
t
e−^ x 42 t , ∂^2 u ∂x^2
2 t
t
x^2 2 t
e−^ x 42 t =
4 t^2
t
− 2 t + x^2
e−^ x 42 t
Mostrando que u(x, y) satisfaz a equa¸c˜ao do calor: ∂u ∂t
∂^2 u ∂x^2
3 a^ Quest˜ao: Para v(x, y) = x^2 −y^2 −x+2y , x = x(θ) = sec(θ) , y = y(θ) = tan(θ) e V (θ) = v(x(θ), y(θ)):
a) utilize a Regra da Cadeia para calcular a derivada dV dθ
. Simplifique o resultado; (1,5 ponto)
Resolu¸c˜ao: dV dθ
∂v ∂x
dx dθ
∂v ∂y
dy dθ = (2x − 1) sec θ tan θ + (− 2 y + 2) sec^2 θ
dV dθ = (2 sec θ − 1) sec θ tan θ + (−2 tan θ + 2) sec^2 θ = 2 sec^2 θ − sec θ tan θ = 2 − sen θ cos^2 θ
b) represente V em fun¸c˜ao da vari´avel θ, em seguida calcule dV dθ
. Simplifique o resultado. (0,5 ponto) Resolu¸c˜ao: V (θ) = sec^2 θ − tan^2 θ − sec θ + 2 tan θ = 1 − sec θ + 2 tan θ dV dθ = − sec θ tan θ + 2 sec^2 θ = 2 − sen θ cos^2 θ
4 a^ Quest˜ao: (4 pontos) Considere a fun¸c˜ao z = f (x, y) = x^2 y + 2y^3 + 10.
a) Determine a equa¸c˜ao do plano tangente ao gr´afico de z = f (x, y) no ponto (2, − 1 , 4). Resolu¸c˜ao: Equa¸c˜ao do Plano Tangente: z − f (x 0 , y 0 ) = ∂f ∂x
(x 0 , y 0 )(x − x 0 ) + ∂f ∂y
(x 0 , y 0 )(y − y 0 ). ∂f ∂x = 2xy , ∂f ∂y = x^2 + 6y^2 ,(x 0 , y 0 ) = (2, −1) , z 0 = f (2, −1) = 4 , ∂f ∂x
∂f ∂y (2, −1) = 10. Plano Tangente: z = − 4 x + 10y + 22
b) Determine a reta tangente `a curva de n´ıvel f (x, y) = 13 no ponto (− 1 , 1).
Resolu¸c˜ao: ∇f (x, y) ´e normal as curvas de n´ıveis f (x, y) = cte, nosso caso f (x, y) = f (− 1 , 1) = 13
∇f (− 1 , 1) = (− 2 , 7) , equa¸c˜ao da reta tangente: (x + 1, y − 1) · (− 2 , 7) = 0 ∴ -2x+ 7y=. Ou equa¸c˜oes param´etricas: x = −1 + 7t , y = 1 + 2t , para t real.
c) Calcule a taxa de varia¸c˜ao da fun¸c˜ao f (x, y) no ponto P 0 (− 1 , 1), na dire¸c˜ao do vetor −→v = (^2
√ 5 5 ,^
√ 5 5 ).
Resolu¸c˜ao: Df ∂−→v (x, y) = ∇f (x, y) · −→v , para ‖−→v ‖ = 1 , que ´e o caso do vetor −→v = (^2
√ 5 5 ,^
√ 5 5 ).
Df ∂−→v
d) Partindo do ponto P 0 (− 1 , 1), em que dire¸c˜ao a fun¸c˜ao f (x, y) cresce mais rapidamente? E com que taxa ela cresce?
Resolu¸c˜ao: A fun¸c˜ao cresce mais rapidamente na dire¸c˜ao e sentido do gradiente, no nosso caso
∇f (− 1 , 1) = (− 2 , 7), ou seja na dire¸c˜ao do vetor unid´ario −→w = ∇f ‖∇f ‖
√−^2
√^7
e a maior taxa de crescimento ´e: Df ∂−→w (− 1 , 1) = ∇f (− 1 , 1) · ∇f ‖∇f ‖ = ‖∇f (− 1 , 1)‖ =
