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Unidade 4
Limites
Limites de funções
O conceito de Limite é importante na construção de muitos outros conceitos no cálculo diferencial e integral, por exemplo, as noções de derivada e de integral que serão abordados nos capítulos 4 e 5, que são os suportes de toda a construção das variáveis físicas, além da importância no cálculo de área e volumes.
A Noção de limite
A noção de limite fornece um caminho preciso para distinguir o comportamento de algumas funções que variam continuamente e o comportamento de outras funções que podem variar independente do modo como se controla as variáveis.
É com base nisso, que pretendemos apresentar a você uma noção intuitiva de limite para que você possa observar o que ocorre com a função f^ ( )x^ , intuitivamente, quando x tende para um número real a ou quando x tende para mais ou menos infinito. Usaremos limites, por exemplo, para definir retas tangentes e gráficos de funções. Essa aplicação geométrica nos leva ao importante conceito de derivada de uma função que investigaremos, com detalhes, no Capitulo 4.
Dada uma função f , você quer saber o que ocorre com os valores f ( )x , quando a variável x se aproxima de um ponto a. Para você entender isto melhor, considere a função f definida pela expressão abaixo:
( ) (3^ 2)(^ 1)
f x x^ x x
= +^ −
A função f está definida para todo x real exceto x = 1. Assim, se x ≠ 1 , o numerador e o denominador de f podem ser divididos por ( x −1) e você obtém
f ( x ) = 3 x + 2, para x≠ 1.
Vamos estudar juntos os valores da função f ( )x , quanto x estiver próximo de
1, mas não é igual a 1. Primeiro, vamos considerar valores de x^ cada vez mais
próximo de 1, com x^ <^1 e observarmos o que está acontecendo com f ( )x , conforme
o quadro abaixo:
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Este trabalho foi elaborado por Professores Fernando Guerra e Inder Jeet Taneja para os cursos de
x < 1 0 0,25 0,5 0,75 0,9 0,99 0,999 0,9999 0, f ( )x = 3 x+ 2 2 2,75 3,5 4,25 4,70 4,97 4,997 4,9997 4,
Agora, vamos considerar que a variável x^ aproxima-se cada vez mais de 1,
com x > 1 e observar o que está acontecendo com f ( )x :
x > 1 2 1,75 1,5 1,25 1,1 1,01 1,001 1, f ( )x = 3 x+ (^28) 7,25 6,5 5,75 5,30 5,03 5,003 5,
Observamos, em ambas quadros, que quando x se aproxima cada vez mais de
1, a função f ( )x se aproxima cada vez mais de 5, em outras palavras, é possível obter o valor de f ( )x tão próximo de 5 quando desejarmos, desde que tomemos x suficientemente próximo de 1. Examine o gráfico de f ( )x abaixo.
Figura 4.
Para x cada vez mais próximo de 1, f^ ( )x^ aproxima-se de 5 e escreve-se a seguinte expressão: lim x → 1 f ( x) = lim(3x→ 1 x+ 2) =5.
Lê-se: O limite da função f ( )x quando x aproxima-se de 1 é 5, ou ainda, o limite de f ( )x quando x tende a 1 é 5. Isto significa dizer que o valor da expressão 3 x + 2 cada vez mais aproxima-se de 5 a medida que os valores de x estão aproximando-se de 1. Quando x^ →1 ,^ f x( )^ →5.
Consideremos agora a função f definida pela expressão 1
( )^31
x
f x x , para x ≠ 1.
Queremos saber o que ocorre com a função f ( )x quando x tende para 1 através de valores de x > 1 e o que ocorre com a função f ( )x quando x tende para 1
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Figura 4.
Propriedades dos limites
A seguir daremos algumas propriedades importantes do conceito de limite. Essas propriedades serão utilizadas freqüentemente no decorre do trabalho.
P 1 – Unicidade do limite
Se lim x →a f ( )x = b 1 e lim x →a f ( )x = b 2 , então b 1 = b 2.
P 2 – Se m e b são constantes quaisquer, então lim ( x →a m x + b) = m a + b.
P 3 – Se c é uma constante, então para qualquer número a , (^) lim x → a c = c.
P 4 – lim x → a x = a.
P 5 – O limite da soma ou diferença de duas funções é igual a soma ou diferença dos limites dessas funções, isto é, se lim x →a f ( )x = b 1 e lim x →a g x( ) = b 2 ,
então
lim x →a ( f ( )x ± g x( ) ) = b 1 ± b 2.
Observação. Se lim x →a f 1 ( )x = b 1 , lim x →a f 2 ( )x = b 2 , ..., limx →a fn ( )x = bn,
Então
limx →a ( f 1 ( )x ± f 2 ( )x ± ... ± f n ( )x )= b 1 ± b 2 ± ...± bn.
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P 6 – O limite do produto de duas funções é igual ao produto dos limites dessas funções, isto é, se lim x →a f ( )x = b 1 e lim x →a g x( ) = b 2 , então
lim x →a ( f ( )x ⋅ g x( ) ) = limx → a f ( ) limx ⋅ x →a g x( ) = b 1 ⋅ b 2.
Observação: P 6 é válida para n -funções.
P 7 – Se lim x →a f ( )x = be n é qualquer inteiro, temos limx →a ( f ( )x )n^ = bn.
P 8 – Se lim x →a f ( )x = b 1 e lim x →a g x( ) = b 2 e b 2 ≠ 0 , então
1 2
( ) lim^ ( ) lim. ( ) lim ( )
x a x a x a
f x f^ x^ b g x g x b
→ → →
P 9 – Se lim x →a f ( )x = b, então
limx → a n^ f ( )x = nlimx →a f ( )x =nb.
Neste caso, é necessário que b seja ≥ 0 e n qualquer inteiro positivo, ou quando b < 0 n seja qualquer inteiro ímpar positivo.
P 10 – Se lim x →a f ( )x = bentão lim x →a f ( )x = b.
Exemplos. Use as propriedades e calcule os limites.
(i) lim x → 1 ( x 3 − 3 x+ (^1) ).
(ii)
2 2 3 lim 3 3 15 x 6
x x → x
(iii) lim 3 2 5 2 3^5 . x 1 3 1 2
x → x
(iv)
3 3 lim 27 x 3
x → x
(v) lim 1 2 1 x 4 3
x → x x
Resolução:
(i) lim x → 1 ( x 3 − 3 x+ (^1) ) = (^) ( − (^1) ) 3 − (^3) ( − (^1) ) + 1
= − 1 + 3 + 1 = 3
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Limites Laterais
a) Limite á direita
Dizemos que b é o limite à direita de f ( )x no ponto x 0 e escrevemos (^) ( ) (^0 ) b = f x + = xlim →x+ f ( )x
quando x → x 0 para valores maiores que x 0_._
Figura 4.
b) Limite á esquerda
Dizemos que b é o limite à esquerda de f ( )x no ponto x 0 e escrevemos b = f (^) ( x 0 − ) = (^) xlim →x_ 0 f ( )x quando x → x 0 para valores menores que x 0_._
Figura 4.
Por exemplo,
2, se 1 ( ) 3, se 1
x f x x
⎧^ >
⎩−^ <
Figura 4.
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Temos lim x→ 1 − f ( )x = − 3
e lim x→ 1 + f ( )x = 2
Observação: 0 xlim →x^ f^ ( )x^ =^ b existe se e somente se^ ^ 0 0 xlim →x^ f^ ( )x^ =^ lim x →x+^ f^ ( )x._
, se 2 ( ) 1, se 2
x x f x x x
⎧^ ≤
⎩ +^ >
Figura 4.
Neste caso,
xlim → 2 −^ f^ ( )x^ =^ xlim→ 2 −^ x=^2 e
xlim → 2 +^ f^ ( )x^ =^ limx→ 2 +^ (^ x+^1 )^ =^3.
Observação: A função não precisa estar definida no ponto x 0 para que os limites laterais existam.
3. Seja f ( )x x x
= , existe lim x → 0 f ( )x?
Temos
1, se 0
1, se 0
x (^) x x (^) x x x x x
Logo,
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(ii) (^) xlim →−∞ f ( )x = −∞ ⇔ dado k > 0 arbitrário, existe em correspondência um número
n > 0 tal que ∀ x < n ⇒ f ( )x < k_._
(iii) (^) xlim →−∞ f ( )x = ∞ ⇔ dado k > 0 arbitrário, existe em correspondência um número n > 0
tal que ∀ x < n ⇒ f ( )x > k.
Figura 4.
(iv) lim x →∞ f ( )x = −∞ ⇔ dado k > 0 arbitrário, existe em correspondência um número n > 0
tal que ∀ x > n ⇒ f ( )x < k_._
(v) lim x →a f ( )x = +∞ ⇔ dado k > 0 arbitrário, existe em correspondência um número δ > 0
tal que ∀ x temos x − a < δ⇒ f ( )x > k , isto é, quando x → a , f ( )x assume valor
que superam k > 0_._
Figura 4.
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(vi) lim x → a f ( )x = −∞ ⇔ dado ε > 0 arbitrário, existe em correspondência um número δ > 0
tal que ∀ x temos x − a < δ⇒ f ( )x < k.
Figura 4.
Símbolos de indeterminação – Há varias maneira de identificar uma
indeterminação. As sete situações ou símbolos dados abaixo são
utilizados para identificar uma inderminação.
Observação: Seja c uma constante diferente de zero, então:
(i) lim 0 x 0
c c → x
(ii) lim x →∞ c x⋅ = c⋅ ∞ = ∞ ;
(iii) lim x x →∞c c
(iv) lim x c^ c 0 →∞x
b) Limite no infinito
Definição : Seja f uma função definida em um intervalo aberto ( ,a ∞). Escrevemos lim x →∞ f ( )x = L ,
quando o número L satisfaz a seguinte condição: para qualquer ε > 0 , existe A > 0 tal que
f ( )x − L< ε sempre que x > A.
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( )
( ) [^ ] ( )
1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0
lim ( ) lim 1 ...
lim lim 1 ...
lim 1 0 0 ... 0 lim lim ( ).
n n n nn x x
n n n x x n^ n n x n x x
P x a x a x a a x a x
a x a x a a x a x a x a x P x
− →+∞ →+∞ − →∞ →+∞
→∞ →∞ →∞
= ⎡^ + + + ⎤
Assim, limx →∞ a x 0 n será +∞ ou −∞ , dependendo do sinal do a 0 e também de n , inteiro
seja par ou ímpar.
Agora, analisando quando x → −∞ vem (^) xlim →−∞ a x 0 n também será +∞ ou −∞.
Por exemplo,
(i) lim x →∞ (^) ( 2 x^2 + x − (^1) ) = lim 2x→∞ x^2 = +∞ ;
(ii) (^) xlim 4 →−∞ x 4 + x^3 + x − 10 = (^) xlim 4→−∞ x^4 = +∞ ;
(iii) (^) xlim →−∞ − x^3 + x 2 + 7 = (^) xlim→−∞( − x^3 )= +∞ ;
(iv) (^) xlim →−∞ (^) ( x 5 − 3 x 2 + 5 x (^) )= (^) xlim→−∞x^5 = −∞.
d) Limite de uma função racional
Seja ( ) ( ) ( )
f x P x Q x
= , Q x( ) ≠ 0 ∀x , onde P x( ) e Q x( ) são polinômios em x.
(i) Quando x → c, então lim ( )^ ( ), ( ) 0 x c ( ) ( )
P x P c (^) Q c → (^) Q x Q c
quando ( ) 0 lim ( ) x c ( ) Q c P x → Q x
Por exemplo, 3 3 1 2 2 lim 1 1 1 1 1 2 1. x 3 1 3 1 3 4 2
x → x
(ii) Quando x → ± ∞. Analisamos inicialmente, quando x → + ∞. Temos
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0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0
lim ( ) lim ... ( ) ...
1 ... lim. 1 ...
n n n x x m^ m m n n n n n x (^) m m m m m
P x a x a x a Q x b x b x b
a x a x a a x a x
b x b x b b x b x
− →+∞ →+∞ − −
→∞ −
= +^ +^ +
⎜ +^ +^ + ⎟
= ⎝^ ⎠
Como 1 1 0 0
lim 1 ... 1
n n x n^ n
a x a a x a x
− →∞
⎜ +^ +^ +^ ⎟=
e 1 1 0 0
lim 1 ... 1
m m x m^ m
b x b b x b x
− →∞
⎜ +^ +^ +^ ⎟=
então
0 0 0 0
lim ( ) lim lim ( )
n n m x x m x
P x a x a x Q x b x b
− →+∞ =^ →+∞ =^ →∞ ,
isto é, o limite da função racional f ( )x é dado pelo limite da razão dos termos de maior grau dos polinômios P x( ) e Q x( ).
Agora, analisando quando x → −∞ temos 0 0
lim ( ) ( )
n m x
P x a x Q x b
− →−∞ =^.
Por exemplo,
(i)
2 2 2 2 lim 2 1 lim 2 lim^2 x 5 3 x 5 x 5 5
x x →∞ (^) x →∞ (^) x →∞
(ii)
2 2 3 3 lim lim lim 1 0 x 1 x x
x x →−∞ (^) x →−∞ (^) x →−∞x
(iii)
lim lim lim x 2 x 2 x 2
x x x →∞ (^) x →∞ (^) x →∞
A seguir apresentaremos alguns exemplos de calculo de limite.
Exemplo. Determinar
lim 2 5 x 8
x →∞ x
Resolução: Neste caso, temos uma indeterminação do tipo ⎛⎜^ ∞⎞⎟ ⎝ ∞⎠
. Temos
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(iii) Conforme (i) e (ii), podemos concluir que
2 2 2 lim 3 1 x 6
x x → x x
não existe.
Observação. Muitas vezes, calculamos o limite de uma maneira formal, escrevemos que
2 2 2 lim 3 1 x 6
x x → x x
sem nos preocuparmos com o sinal, o que devemos cuidar, ou seja estamos considerando uma coisa que não existe.
Exemplo. Determinar
2 lim 2 5 x 2 5
x →−∞ x
Resolução: Como no exemplo anterior, dividimos numerador e denominador por x. Neste caso, temos x → − ∞ , os valores de x podem ser considerados negativos.
Então, para o denominador, tomamos x = − x^2.
Sabemos que , se 0 , se 0
x x x x x
⎧^ >
⎩−^ <
Neste caso, também 2 2
, se 0 , se 0
x x x x x
⎪⎩−^ <
Então, temos
2 2
lim 2^5 lim 2 5 (^2 5) lim 2 5
x x x
x (^) x x x
→−∞ →−∞ →−∞
− ⎛^ ⎞
⎜ −^ − ⎟
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Exercícios propostos – 3
Determinar os seguintes limites:
- lim 2 2 5 x 2 5
x →∞ x
. 2) lim x 0 x 3 x 12. → x
- lim x →∞ (^) ( 3 x^5 − 4 x^3 + 1 .) 4) lim x 0 2.
x → x
- lim 1 5 2. x 1
x →− x
lim x 2
x →∞ x
lim x 8 2
x →∞ x
4 2 4 lim 2 3 2 1 x 4
x x x →∞ x
2 3 lim 3 1 x 2
x x →∞ x
Continuidade de uma função
Definição. Uma função f é contínua em um ponto a ∈ D ( f) se
(i) existe lim x →a f ( x).
(ii) lim x → a f ( x ) = f ( a).
Condições de continuidade
(i) f ( a )existe para a ∈ D ( f);
(ii) lim ( )
x a
f x →
∃ , isto é, xlim →a+ f ( x ) = xlim → a−f ( x);
(iii) lim x → a f ( x ) = f ( a).
Conseqüências
(i) Um ponto " a " em que f ( x ) é chamado ponto de continuidade de f ( x ) ;
(ii) A função f ( x ) é contínua em um intervalo [ a b, ] se é contínua em todos os
pontos do intervalo; (iii) Um ponto que não satisfaz a condição de continuidade chama-se ponto de descontinuidade.
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x
y
Figura 4.
Definição Uma função f é contínua no conjunto X se f é contínua em todos os pontos de X.
Por exemplo, a função f ( )x = a xn n^ + an (^) − 1 x n−^1 + ...+ a x 1 + a 0 , é continua em todos os pontos x ∈ .
Exercícios propostos – 4
- Seja a função f ( )x definida por 3, 1 ( ) 3 , 1
x se x f x k se x
⎧^ +^ ≥
⎩ −^ <
Determinar o valor da constante k tal que a função f ( )x seja contínua no ponto x = 1.
- Seja (^2) 1, 2 ( ) 5, 2 7 9, 2
x se x f x se x x se x
Verificar se f ( )x é contínua em x = 2.
- Verificar se a função f definida por 2 3
, 3 ( ) 2, 3 4, 3
x x se x f x x se x se x
⎧ − < − = ⎪ + > − ⎨ ⎪ (^) = − ⎩ é contínua no ponto x = − 3.
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- Seja 1, 3 ( ) 5, 3 8 , 3
x se x f x se x x se x
⎧^ −^ <
Verifique se f ( )x é contínua em x = 3.
- Determinar o valor de k de modo que a função f ( )x definida por 4 3
e x se x f x k se x
⎪⎩ −^ =
seja contínua em x = 0.
