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Metodologia
Introdução aos Modelos de Equações Múltiplas
Até o momento, ao tratarmos de processos multivariados (isto é, que envolvessem múltiplas variáveis), nos limitamos a analisar modelos compostos por uma única variável endógena e, portanto, uma única equação tais como os modelos ADL- Autoregreesive Distribution Lag e os modelos de componentes não observados com variáveis exógenas. No contexto desses modelos, a atividade de previsão requer a construção de “cenários” para as variáveis exógenas durante o período de previsão. Por exemplo, a fim de realizar previsões a partir do modelo ADL, precisamos de valores futuros hipotéticos da variável exógena. Os cenários para as variáveis exógenas podem ser postulados de modo totalmente arbitrário. Isso pode ser útil para realizar “testes de stress” e responder a perguntas do tipo: “O que acontecerá com a demanda industrial se a tarifa aumentar 10% no ano?”. Entretanto, a fim de obter a melhor previsão “incondicional” da variável dependente, necessitamos de boas previsões também para as variáveis exógenas, caso contrário, as previsões finais estarão “contaminadas” pelo uso de cenários equivocados no nosso modelo de previsão. Assim, se o foco é a maximização da capacidade de previsão de certa variável, e não a realização de projeções “condicionais”, é conveniente modelar também as variáveis explicativas da equação de interesse, com o objetivo de gerar cenários razoáveis para estas últimas. Isto pode ser feito aplicando-se os mesmos métodos usados para modelar a variável “final” de interesse, por exemplo, através de modelos uni - equacionais univariados do tipo ARIMA ou de componentes não observados. Ao “empilhar” o modelo original para a variável de interesse e os modelos para as variáveis explicativas, obtemos então um sistema de previsão de múltiplas variáveis. Se as equações para as variáveis explicativas forem modelos univariados
(ou modelos multivariados que envolvam apenas outras variáveis já modeladas no sistema), será possível usar o sistema para realizar previsões que independam de cenários arbitrários para variáveis “exógenas”. Por exemplo, poder-se-ia ter um modelo composto por três equações: a primeira determinaria a previsão do consumo residencial de energia elétrica em determinado Estado da Federação (variável endógena) em função da temperatura média e do rendimento médio real da população do Estado (variáveis explicativas), e as outras duas equações explicariam a evolução da temperatura e do rendimento real no estado a partir de modelos univariados. Assim, o sistema (ou “modelo completo”) permitiria prever os valores de cada uma das três variáveis endógenas, período após período: os modelos univariados gerariam previsões da temperatura e do rendimento real, e estas previsões entrariam na primeira equação para determinar o consumo de energia esperado. Entretanto, o mero “empilhamento” de modelos uniequacionais estimados independentemente – e que poderiam perfeitamente funcionar de modo também independente, cada um gerando previsões de sua própria variável “do lado esquerdo da equação” – não é, em geral, capaz de captar adequadamente as possíveis inter- relações entre as variáveis modeladas. Para tanto, é necessário um modelo verdadeiramente simultâneo, que permita relações de interdependência e causalidade entre as variáveis analisadas. Por exemplo, pode-se considerar um modelo de oferta e demanda em que, na primeira equação, o nível de demanda de certo produto seja explicado pelo preço do produto; e, na segunda equação, o preço do produto seja explicado pelo nível de demanda. Nesse tipo de modelo, a interdependência entre as variáveis endógenas é um fator fundamental para explicar a dinâmica das variáveis e, conseqüentemente, para gerar melhores previsões. O processo de especificação e estimação de modelos de equações simultâneas não é, porém, tarefa fácil. De fato, a classificação a priori das variáveis como “endógenas” ou “exógenas” em cada equação é muitas vezes arbitrária e pode estar sujeita a críticas. Por essa razão, é comum o uso de uma abordagem alternativa , em que todas as variáveis são tratadas como endógenas, o que minimiza a necessidade de impor restrições possivelmente falsas ao modelo. Nessa linha, os modelos de Auto-Regressão Vetorial (VAR) têm se revelado bastante populares na linha econométrica.
Giambiagi et al (2001) avaliaram as condições de oferta de energia elétrica do Brasil do período de 2001 a 2009. Os autores verificaram se a restrição de oferta de energia elétrica poderia vir a representar um problema para as perspectivas de crescimento econômico. A metodologia adotada pelos autores foi de se fazer uma análise de alguns indicadores econômicos, como: inflação, investimento estrangeiro, taxa de cambio, balança comercial, déficit em conta corrente, entre outros, e a partir disto foi feita uma previsão para a taxa de crescimento do PIB brasileiro para o período de análise, chegando à conclusão que o Brasil apresentará um crescimento sustentável deste indicador. Depois os autores verificaram se a capacidade energética seria um limitador para o crescimento econômico, neste tópico foi feita uma referência ao Plano Decenal de Expansão de Energia Elétrica de 2000 a 2009 elaborado pela Eletrobrás, sendo concluído que a energia elétrica seria um entrave para o crescimento econômico, principalmente para os anos de 2001 e 2002, exatamente quando ocorreu o racionamento de energia elétrica no Brasil. Há de se registrar que Giambiagi et al (2001) não apresentaram em seu trabalho nenhum cálculo econométrico para avaliar se a energia elétrica seria um gargalo para a economia, sendo feito somente uma referência ao trabalho da Eletrobrás, eles também não apresentaram nenhuma estimativa para a elasticidade preço elasticidade renda para demanda por energia elétrica. Schmidt e Lima (2004) tiveram como objetivo estimar a elasticidade preço e a elasticidade renda de longo prazo da demanda por energia elétrica nas três classes de consumo: residencial, comercial e industrial. Eles chegaram aos valores de 0,539, 0,636 e 1,718 para a elasticidade renda de longo prazo respectivamente, e para a elasticidade preço de longo prazo os valores foram -0,085, -0,174 e -0,129. Além disso, são realizadas previsões para o consumo de energia elétrica, vale ressaltar que esses autores não consideraram em suas estimativas a classes de “Outros” clientes, não sendo possível com isto estimar o total de demanda de energia elétrica. Schmidt e Lima (2004) fazem uma análise de cointegração usando a metodologia de Johansen, isto para o cálculo das elasticidades e para a elaboração das previsões de consumo de energia elétrica. Fernandes-Toro (2005), com amostras entre novembro de 1994 a fevereiro de 2001, estimaram o mecanismo de transmissão monetária para o Brasil após o Plano Real. Identificam vetores de cointegração como relações de equilíbrio de longo prazo. De acordo com Fernandes-Toro (2005) um choque positivo de política
monetária, identificado no modelo de Vetores Auto-Regressivos com Correção de Erros (VECM) como inovações na SELIC, tem temporariamente, um pequeno efeito negativo sobre a inflação. Esse efeito que desaparece em seis meses implica num efeito permanente de política monetária sobre o nível de preço. Mattos (2005) estimou a elasticidade renda e elasticidade preço para a classe de cliente industrial da energia elétrica para o Brasil utilizando dados anuais de 1974 a 2002, os valores que ele estimou foram 1,588 para a elasticidade renda de longo prazo e de -0,489 para a elasticidade preço de longo prazo. Para verificar se as variáveis do modelo (consumo de energia elétrica, PIB real e tarifa média real) cointegram, ele utilizou a metodologia de Engle - Granger, verificando se o resíduo da equação de cointegração tem raiz unitária, e a conclusão que ele chegou foi que as três variáveis são cointegradas. Kapetanios-Labhard-Price (2008) geraram previsões para inflação e produto. Comparam modelos lineares e não-lineares. Dentre esses modelos de previsão encontra-se o modelo AR com constante; passeio aleatório (random walk), VAR, BVAR Modelo Markov-Switching, modelo auto-regressivo smooth-transition (STAR) e modelo de média incondicional. Similar ao trabalho que compara performance de modelos de Carvalho-Minella (2009), Kapetanios- Labhard-Price (2008), mostram que, muitas vezes, o VAR/BVAR podem ser superiores a outros métodos de previsão. Carvalho-Minella (2009), por exemplo, compararam as expectativas de mercado da taxa de inflação, taxas de juros e câmbio com as previsões dos modelos Auto-Regressivos com Média Móvel (ARMA), VAR e BVAR. Entre outras conclusões, Carvalho-Minella (2009), argumentam que algumas expectativas de mercado tem performance melhor ou superior a modelos de previsão ARMA, VAR e BVAR. O oposto para alguns modelos de previsão ocorre, ou seja, existem modelos de previsão que tem performance melhor do que algumas expectativas de mercado.
ܺ ௧ ܽ∑ ൌ^ ܻ ௧ିଵ ܾ∑ ^ ܺ ௧ିଵ ݑ ௧ (3.2)
ܻ௧ ܿ∑ ൌ^ ܻ ௧ିଵ ݀∑ ^ ܺ ௧ିଵ ݑ ௧ (3.3)
Onde ut são os resíduos que assumimos serem não-correlacionados. A equação (3.2) postula que valores correntes de Xt estão relacionados a valores passados do próprio Xt assim como a valores defasados de Yt ; a equação (3.3), por outro lado, postula um comportamento similar para a variável Yt. Nada impede que as variáveis Xt e Yt sejam representadas na forma de taxas de crescimento, o que aliás tem sido quase que a regra geral na literatura, uma vez que é difícil achar variáveis que sejam estacionárias em seus níveis.
3. Teste de Raiz Unitária – Teste ADF
Um processo estocástico é estacionário quando preenche três requisitos. Primeiro, tem média constante ao longo do tempo; segundo, tem variância constante ao longo do tempo; e terceiro, sua covariância deve indicar que a autocorrelação entre dois valores de uma variável y qualquer tomados a partir de dois períodos de tempo distintos deve depender apenas do intervalo de tempo entre esses dois valores e não do tempo em si. Com o objetivo de determinar se as variáveis analisadas são estacionárias ou processos integrados foi realizado o teste de Dickey - Fuller Aumentado. O teste de raiz unitária ADF utiliza a auto-regressão abaixo.
ܻ߂ ௧ ൌ ߙ ߚ௧ ܻߛ ௧ିଵ ∑^ ିଵୀଵ ߜܻ߂ ௧ିଵ ߝ ௧ (3.4)
Onde: ܻ߂ (^) ௧ = operador de diferenças ܻሺ (^) ௧ ܻെ (^) ௧ିଵ ሻ ߙ = constante; ߚ௧= componente de tendência do modelo;
ܻߛ (^) ௧ିଵ = é o ߩെ 1 que testará a estacionariedade ou não da série ao se regredir a variável ܻ ௧ିଵ ;
∑ ఘୀଵୀଵ ߩାଵ ܻ∆ (^) ௧ି são as defasagens incluídas no modelo ADF para garantir a
não autocorrelação nos resíduos. A partir da equação (3.4) testam-se as seguintes hipóteses: H o : ߜ ൌ 0 e H 1 : ߜ ൏ 0. A estatística de teste é mostrada abaixo.
߬ൌ ఋ^ ഢ
ாሺఋ (^) ഢ ሻ^ (3.5)
Onde: ߜሺܲܧ ప ሻ^ é o erro padrão de ߜప^.
Por meio da estatística ^ (tau) pode-se definir se a série original da variável dependente Y (^) t é ou não estacionária, utilizando a estatística de teste ADF. Se
calculado crítico , rejeita-se H o :ߜ ൌ 0, logo, a série é estacionária; se
calculado crítico , não se rejeita H o : ߜ ൌ 0, e a série é não-estacionária.
Nesse trabalho, foi utilizado o critério de informação de Akaike para selecionar o número de defasagens e incluído no processo auto-regressivo de cada variável tendência e intercepto.
Teste de Cointegração
Ao trabalhar com dados de séries temporais existe a possibilidade de, ao estimar uma regressão com séries que apresentam uma mesma tendência, obter resultados que aparentemente sejam satisfatórios, mas que na realidade não tenham nenhum significado econômico. Ou seja, é possível encontrar relações econométricas entre duas ou mais séries, com R 2 elevado e estatística t significante, sem que necessariamente exista alguma relação de causalidade entre elas. Neste tipo de situação, os estimadores obtidos por MQO são ineficientes e o desvio-padrão dos resíduos é inconsistente.
O Modelo VAR
A utilização de modelos de equações simultâneas, em virtude das limitações verificadas na crítica de Lucas (1976) e Sims (1980), deixou de ser o centro das atenções no que tange à metodologia utilizada para a resolução de problemas econométricos e cedeu espaço a novos modelos. Lucas (1976) notou que a ocorrência de alterações nas políticas econômicas influenciava profundamente os resultados dos modelos estruturais. Com isso, ocorriam modificações nos coeficientes analisados, o que implicava na quebra estrutural da série. Outra crítica aos modelos estruturados partiu de Sims (1980). Para ele, na tentativa de tornar os modelos identificáveis, muitas vezes utilizavam-se restrições demasiadamente fortes, o que diminuía a qualidade e a eficácia da previsão. Através do Modelo Vetorial Auto-Regressivo (VAR), introduzido por Sims (1980), tornou-se possível expressar modelos econômicos completos, bem como estimar seus parâmetros. Nesse modelo as variáveis são conjuntamente determinadas, ou seja, são explicadas por suas defasagens e pelas defasagens das demais variáveis. A vantagem dessa forma de especificação é que ela torna possível analisar o efeito da variação ao longo do tempo de determinada variável sobre as demais. Outros aspectos positivos da metodologia VAR são a não necessidade de impor qualquer restrição inicial de causalidade entre as variáveis - uma vez que isso pode ser verificado pelo teste de Granger - bem como o fato de não ser preciso assumir alguma relação de longo prazo entre as variáveis - o que também pode ser testado pelo método proposto por Johansen. A metodologia VAR, pelas razões acima mencionadas, mostrou-se superior em muitos testes de previsão aos modelos estruturados. Suponha que as inter-relações entre duas variáveis, y e z, possam ser descritas pelo seguinte modelo:
ݕ௧ୀ ߙ (^) ߙ ଵ ݖ௧ ߙ (^) ଶ ݖ௧ିଵ ݁ (^) ௧௬^ (3.7)
ݖ௧ୀ ࣜ ߚ ଵ ݕ௧ ߚ ଶ ݕ௧ିଵ ݁ (^) ௧௭^ (3.8)
Substituindo z t na primeira equação por sua definição dada na segunda equação e remanejando os termos, obtemos a seguinte expressão para yt:
ݕ௧ୀ ߙ ߙ ଵ ߚ ሺ ߚ ଵ ݕ௧ ߚ ଶ ݕ௧ିଵ ݁ ௭^ ݁ ሻ ௧௬^ (3.9)
่ ݕ௧ୀ ఈଵିఈబ^ ାఈ భభ ఉ^ ఉభబ ቀ ଵିఈఈభ ఉభమ ఉభݕ ቁ௧ିଵ ቀ ଵିఈఈ మభ ఉభݖ ቁ௧ିଵ ݁ ௬^ ఈభ^
(^) ା ଵିఈ (^) భ ఉభ^ (3.10)
Usando essa expressão para eliminar y (^) t da segunda equação do modelo estrutural, obtemos:
ݖ௧ୀ ߚ ߚ ଵ ఈଵିఈ^ బ^ ାఈ (^) భ^ భ ఉ^ ఉభబ ቀ^ ଵିఈఈ^ భ ఉభ మఉభݕ ቁ௧ିଵ ቀ^ ଵିఈఈ మభ ఉభݖ ቁ௧ିଵ ݁ ௬^ ఈ^ భ^
(^) ା ଵିఈ (^) భ ఉభ൨ ߚଶ^ ݕ௧ିଵ^ ݁^ ௧௭ (3.11)
่ ݖ௧ୀ ߚ ሺఈబଵିఈ^ ାఈ భభ^ ఉ ఉబሻభ^ ఉభ ሺ ଵିఈఈభ^ ఉ మభ^ ఉ ఉభభߚ ଶ ݕሻ௧ିଵ ቀ ଵିఈఈ మ^ ఉభభ ఉభݖ ቁ௧ିଵ ఈభ^
(^) ା ଵିఈ (^) భ ఉభ
(3.12)
Logo, pode-se escrever a “forma reduzida” do modelo (isto é, a “solução” do modelo em função das variáveis predeterminadas e dos choques) como:
ݕ௧ୀ ߎଵ^ ߎ ଵଵ^ ݕ௧ିଵ ߎ ଶଵ^ ݖ௧ିଵ ݑ ௧ଵ^ (3.13)
ݖ௧ୀ ߎଶ^ ߎ ଵଶ^ ݕ௧ିଵ ߎ ଶଶ^ ݖ௧ିଵ ݑ ௧ଶ^ (3.14)
Note que se trata de um sistema onde y e z dependem apenas de suas defasagens, além de choques que correspondem a combinações lineares dos choques do modelo estrutural. Definindo:
ଵ
ߎଶ^ ቇ,^ ߎଵ^ ൌ ቆ
ߎଵଵ^ ߎଶଵ
ߎଵଶ^ ߎଶଶ^ ቇ^ ܷ ௧^ ൌ ቆ
ݑ ௧ଶ^ ቇ^ (3.15)
A matriz de variância-covariância dos resíduos também pode ser estimada da forma usual, a partir dos resíduos da estimação por MQO.
3.6. Especificação
Usualmente, como no caso univariado, utilizam-se critérios de informação para determinar a ordem de defasagens de um modelo VAR. O argumento para a utilização do critério de informação consiste no seguinte fato: cada regressor que é adicionado ao modelo faz com que a soma dos resíduos não aumente e, muitas vezes, diminua. Isso implica que a redução da soma dos resíduos ocorre devido ao aumento do número de regressores. Para balancear a redução dos erros e o aumento do número de regressores, é associada uma penalidade a esse aumento. Quando a penalidade decorrente da incorporação de um regressor adicional for menor que a diminuição da soma de resíduos, deve-se adicioná-lo ao modelo. Caso contrário, o regressor não deve ser utilizado. Dado um modelo VAR(p), onde m = 0,1,2,...p, deve-se escolher a ordem p que minimiza a seguinte fórmula geral do critério de informação: Os critérios de informação mais utilizados na literatura são os de Akaike (AIC), Hannan-Quinn (HQ) e Schwartz (SIC ou BIC). Sendo n o tamanho da amostra, p a ordem do defasamento, e Σ da matriz de covariância dos resíduos. Tais critérios são generalizações diretas dos modelos uniequacionais.
AIC=ൣ݈݊ det ሺߑ ሻ൧ Tଶ pn ଶ^ (3.18)
HQ=ൣ݈݊ det ሺߑ ሻ൧ ୪୬ ሺ୪୬ሺTሻሻT pn ଶ^ (3.19)
BIC=ൣ݈݊ det ሺߑ ሻ൧ ୪୬ ሺTሻT pn ଶ^ (3.20)
Quanto mais regressores são incorporados no mesmo período da amostra, menor será o erro estimado. Por outro lado, esse maior número de regressores sofrerá uma penalidade na segunda parte da estatística, o que confirma que a escolha de um modelo mais parcimonioso – no sentido da utilização de menos parâmetros – produz menos imprecisão das estimativas.
Em relação ao comportamento entre si dos critérios mencionados tem-se que para grandes amostras o critério BIC é o mais consistente, tendendo a escolher um modelo mais parcimonioso que o AIC. Por outro lado, para pequenas amostras, o AIC funciona melhor que o BIC e o HQ.
3.6. Modelos Vetoriais de Correção de Erros (MVEC)
Para a especificação correta do modelo, o primeiro passo é testar se as variáveis são estacionárias ou processos integrados. O teste utilizado para analisar a presença ou não de raiz unitária foi o de Dickey-Fuller Aumentado (ADF). Através desse teste é possível verificar o comportamento da série, identificando a presença de não-estacionariedade pela incidência de tendências estocástica, determinísticas ou pela junção de ambas. Caso as variáveis analisadas sejam não-estacionárias, I(1)^1 por exemplo, o VAR deve ser estimado em primeiras diferenças. Contudo, o resultado obtido por meio de primeiras diferenças nem sempre é razoável (HARVEY, 1989) uma vez que existem informações nos níveis que são desconsideradas. Ao optar por trabalhar com variáveis em nível, duas dificuldades podem aparecer: o aparecimento de regressões espúrias em séries não estacionárias e o fato de que as estimações e testes para regressões não estacionárias não serem padronizados. Um caso particular surge quando as séries em nível são co-integradas. Nessa situação é possível mostrar que os estimadores são superconsistentes, isto é, convergem mais rapidamente que o usual, e as informações sobre os níveis continuam mantidas (HOLLAUER, BAHIA, ISSLER, 2006). Na presença de co- integração Engle e Granger (1987) recomendam utilizar uma representação MCE, que explicita a utilização do modelo de correção de erro, o qual representa o comportamento de longo prazo. O Modelo de Correção de Erros (MCE) pode ser escrito da maneira a seguir.
(^1) Ou seja, as séries são estacionárias na primeira diferença.
Teste para Quebra Estrutural
Estacionariedade no processo de geração de dados é uma importante condição para derivar as propriedades dos estimadores e elaborar previsões pontuais e intervalares. Também é uma propriedade que garante que as médias, variâncias e covariâncias são constantes ao longo do tempo. Muitas séries econômicas não são estacionárias. Podem conter sazonalidades e tendências que fazem com que a variância seja heterocedástica ao longo do tempo. Estes componentes podem ser eliminados através de algumas transformações simples, por exemplo, diferenciando as séries e incluindo dummies sazonais. No entanto outra grande origem da não estacionariedade das séries econômicas são eventos que causam turbulência no sistema econômico em um país ou no conjunto de países. São eventos que não exibem tendências de longo prazo, não são sazonais, porém podem causar quebra econômica estrutural. Estes eventos ocorrem em alguns períodos específicos como guerras, implementação de pacotes econômicos fiscais e de política monetária, mudanças de governo, choques de preços do petróleo, mudanças de cambiais e crises financeiras. O teste para de Chow para quebra estrutural examina se uma variação nos parâmetros ocorreu em algum ponto do tempo pela comparação de parâmetros estimados antes e depois da possível data da quebra estrutural. Supõe-se que existe uma suspeita de uma variação nos parâmetros do processo VAR(p), após o período T 1 >T. No teste de Chow são requeridas dois conjuntos de amostras Y 1 e Y 2. O primeiro conjunto são amostras y 1 ,... , y (^) T, usualmente inseridas no VAR e o conjunto Y(2) são as amostras da previsão pelo VAR. Conseqüentemente, tem-se as matrizes dos coeficientes estimados, B 1 e B 2. O teste de Chow é montado com a seguinte estimação:
[Y 1 : Y 2 ]=[B 1 :B 2 ] Z +[U 1 : U 2 ]=B Z +U (3.22)
Onde:
Z =
Z(1)=[Z 0 ,……Z T-1 ]
Z(2)=[Z T1 ,……ZT-1 ]
Z’ (^) t =[1,yt ……Yt-p+1 ]
A hipótese nula e alternativa baseia-se na verificação das matrizes dos parâmetros dos dois conjuntos de amostras, B 1 e B 2. As hipóteses para teste são:
Pelo método de estimação MQ ou MV, B 1 e B 2 podem ser facilmente obtidos. O Teste de Chow de quebra no ponto ou break point testa se existe uma quebra estrutural em um período TB qualquer. O modelo em consideração é calculado usando todas as amostras, do primeiro a última observação, T 1 e T 2 , onde
T 1 <TB e T 2 ≤T-TB. Denotando os resíduos resultantes do VAR, ݑො ௧ ݑ ௧ሺଵሻ ݁^ ݑ ௧ሺଶሻ^ e
usando as seguintes notações para matriz de covariância Σu.
^
௨
^
ଵ,ଶ
∑ ଵܶ௧ୀଵ̂ߤ ௧ ̂ߤଵ^ ′^ ∑ ்ଵ௧ୀ்ି்ଶାଵ் ̂ߤ ௧ ̂ߤଵ^ ′
ଵ ܶ^ ଶ
ሺଵሻ
∑ ்ଵܶ௧ୀଵ̂ߤଵሺଵሻ^ ̂ߤଵሺଵሻ ′
ଵ (3.25)
ሺଶሻ
∑ ்௧ୀ்ି்ଶାଵ௧ୀଵܶ ̂ߤଵሺଶሻ^ ̂ߤଵሺଶሻ ′
ଶ (3.26)
Teste Multiplicadores de Lagrange
O teste LM Breusch-Godfrey para auto-correlação residual foi proposto por Breusch (1978) e Godfrey (1978), com modificação de Godfrey (1988). O teste parte do modelo VAR. Assumindo um vetor de erros, Ut =D 1 Ut-1 + D 2 Ut-2 +....+Dh ut-h + vt é um ruído branco, o teste tem como hipótese nula a não correlação residual. A Hipótese nula e alternativa do teste são:
H 0 : D 1 =D 2 =.........= Dh =
H 1 : D (^) j≠ 0 para pelo menos um j ∈ {0, 1, 2, ... , h}
O teste estatístico é determinado com ajuda da regressão auxiliar, dado por:
Para t=1,2,...T
Em particular os resíduos ݑො ௧ são obtidos do VAR estimado por MQ.
Caso ݑො ௧ = 0, ݐ 0. Matricialmente, o modelo de regressão auxiliar é:
Onde D(kxKh)=[D 1 ,...Dh ]; अෝ ൌ ൫ܫ ٔ ܷ ൯ܨ; ߝ௫௧ ߝሾ ൌଵ … … … ߝ௧ ሿ.
O Estimador MQ de [B:D], do modelo auxiliar é:
ܼሾ ܷൌ ሿܦ :ܤሾ ᇱ^ : अሿ ቀ൫ अෝ ܼሺ ൯^ अෞሻି^ ଵ^ ቁ ( 3.30)
Aplicando regras de partição de matrizes^2 , chega-se a:
ܦ ൌܷ अෞ൫ሺअෝअෞ ᇱ^ െ अܼෞ ᇱ^ ܼܼሺ ᇱ^ ሻିܼଵ^ अෞሻ൯ି ଵ^ (3.31)
(^2) Ver Lutkepohl(2005,p659,regra2).
Sob a hipótese nula, a estatística do teste LM Breusch-Godfrey segue uma
distribuição ࣲ ଶ.^ Formalmente, temos:
ܯܮ ߣ ൌ ெ ܿܶൌ ෝ Ԣ ∑ ሺ݄ሻି ^ ̂ܿଵ^
ௗ
՜ࣲ ଶ^ ܭ݄ሺ ଶ^ ሻ (3.32)
Onde:
̂ܿ ܷ൫ ܶൌ अ݁ෞ൯ ሺ ݄ሻ ൌܶି ଵ^ अڿෝअෞ ᇱ^ െ अܼෞ ᇱ^ ܼܼሺ ᇱ^ ሻିܼଵ^ ିۀअෞଵٔ
^
௨
3.6.6. Teste para Normalidade dos Resíduos do VAR
Para montar intervalos de previsão, a normalidade dos dados yt gerados por processos é uma condição clássica desejada. Resíduos que não seguem a normalidade gaussiana indicam, geralmente, que o modelo VAR não é uma boa representação do processo de geração de dados yt. A normalidade de yt pode ser observada pelos resíduos ut. Na prática os resíduos verdadeiros são substituídos por resíduos do modelo VAR. Para fazer a verificação, testa-se a hipótese de normalidade sobre a distribuição de probabilidade dos resíduos do VAR. Apresenta-se nesta seção testes para normalidade dos resíduos. Especificamente será mostrado o teste Jarque-Bera para normalidade multivariada. O teste Jarque-Bera (1987) para normalidade é baseado no terceiro e quarto momentos centrais da distribuição normal padronizada, respectivamente assimetria e curtose. O teste verifica se os momentos da série univariada estimada, x, são iguais aos da distribuição normal padronizada. Sob esta hipótese, a assimetria é igual a 0, E(x^3 )=0, e a curtose é igual a 3, E(x^4 )=3. Tecnicamente, testam-se as duas hipóteses conjuntamente. Dado yt estacionário, K-dimensional, com processo VAR gaussiano estável, onde ut é um processo ruído branco gaussiano de média zero, com matriz de covariância não singular Σu e  1 .....Âp os estimadores dos coeficientes, consistentes e assintoticamente normalmente distribuídos, calculados por MV ou MQO, baseados nas amostras y 1 , y2 , ..., yT, os resíduos do VAR e a matriz de covariância são:
