Baixe 5 - interseccoes e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Civil, somente na Docsity!
INTERSECÇÕES
O estudo das Intersecções é de grande importância para o aprofundamento dos capítulos anteriores. Além disso, os assuntos aqui tratados surgem tam- bém aplicados aos capítulos que se seguem a este. Este capítulo engloba intersecções de planos com planos e de rectas com planos.
Sumário:
- Intersecção de planos projectantes do mesmo género
- Intersecção de planos projectantes de género contrário
- Intersecção do plano oblíquo com planos projectantes
- Intersecção do plano oblíquo com o plano de rampa
- Intersecção entre planos oblíquos
- Intersecção do plano de rampa com planos projectantes
- Intersecção entre planos de rampa
- Intersecção do plano passante com planos projectantes
- Intersecção do plano passante com planos não projectantes
- Intersecções que envolvem planos perpendiculares ao β2/
- Intersecção de planos cujos traços se cruzam apenas num ponto
- Intersecção de planos cujos traços se cruzam ambos fora do papel 14 e 15. Intersecção entre três planos
- Intersecção entre rectas e planos projectantes
- Intersecção entre uma recta e um plano oblíquo
- Intersecção entre uma recta e um plano de rampa 19 e 20. Intersecção da recta de perfil com planos diversos 21 e 22. Intersecção entre uma recta e um plano definido por rectas
- Intersecção da recta de perfil com planos definidos por rectas
- Intersecção de planos projectantes com planos definidos por rectas
- Intersecção do plano oblíquo com planos definidos por rectas
- Intersecção do plano de rampa com planos definidos por rectas 27, 28 e 29. Intersecção entre planos definidos por rectas 30, 31, 32 e 33. Exercícios
Intersecção de planos projectantes do mesmo género
Mostra-se aqui a intersecção entre planos projectantes horizontais e entre planos projectantes fron- tais, de onde resulta uma recta projectante do mesmo género.
Intersecção entre planos projectantes horizontais Quando se intersectam dois planos projectantes horizontais resulta uma recta projectante horizontal, ou seja, uma recta vertical. Neste grupo integra-se também o plano de perfil e o plano frontal, que não surgem no traçado.
x
Intersecção entre planos projectantes frontais Quando se intersectam dois planos projectantes frontais resulta uma recta projectante frontal, ou seja, uma recta de topo. Neste grupo integra-se ainda o plano de perfil e o plano horizontal, que não surgem no traçado.
x
fρ
hρ
(hδ)
fψ
hψ
hθ
hβ
fθ fβ
(fθ)
fω≡hω≡ i 2
fβ≡hβ≡ i 1
fπ
hπ
fα
hα
hσ
fσ
hπ
fπ
H 1 ≡ (i 1 )
i 2
H 2
H 1 ≡ (i 1 )
H 1 ≡ (i 1 )
H 2 H 2
i 2
F 2 ≡ (i 2 ) F 1
i 1 i^1
F 2 ≡ (i 2 )
F 1
F 2 ≡ (i 2 )
Intersecção do plano oblíquo com planos projectantes
Veremos aqui as várias hipóteses de conjugar o plano oblíquo com os planos projectantes, e que tipo de rectas daí resultam.
Intersecção do plano oblíquo com os planos frontal, horizontal e de perfil Da intersecção de um plano oblíquo com um plano frontal resulta uma recta frontal, com um plano horizontal resulta uma recta horizontal, ambas paralelas ao traço homónimo do plano oblíquo. Da intersecção do plano oblíquo com o plano de perfil resulta uma recta de perfil.
x
F 1
(fδ)≡ i 2 F 2
H 2
H 1
hπ
fπ
fπ
hπ
(hβ)≡ i 1
i 2
i 1
Intersecção do plano oblíquo com o plano de topo A intersecção entre estes dois pla- nos pode dar origem a duas situa- ções diferentes. Quando ambos os traços se cruzam resulta uma recta oblíqua; quando os traços frontais são paralelos resulta uma recta frontal.
x H 2
H 1
hπ
fπ
fπ
hρ hπ
Intersecção do plano oblíquo com o plano vertical A intersecção entre estes dois pla- nos pode dar origem a duas situa- ções diferentes. Quando ambos os traços se cruzam resulta uma recta oblíqua; quando os traços horizon- tais são paralelos resulta uma rec- ta horizontal.
x
F 1
F 2
i 2
H 2
H 1
hπ
fπ
fπ
hπ
hω≡ i 1
fθ≡ i 2
i 1
hθ
H 2
H 1
fρ≡ i 2
i 1
F 2
F 1
F 1
F 2
fω i 2
hσ≡ i 1
fσ
H 1
F 2
hπ
fπ
F 1 ≡H 2
fα≡hα≡ i 2 ≡ i 1
i 1 // hπ
i 2 // fπ
hσ // hπ i 1 // hπ
fθ // fπ i 2 // fπ
Intersecção do plano oblíquo com o plano de rampa
Mostra-se aqui a intersecção entre um plano oblíquo e um plano de rampa, o que pode dar origem a dois tipos de rectas.
Intersecção do plano oblíquo com o plano de rampa, resultando uma recta oblíqua Quando os traços da recta de intersecção têm diferentes abcissas, essa recta será oblíqua. Mostram-se dois exemplos dessa situação.
x
hβ
fβ
i 2
hπ
fπ
F 2
F 1
H 1
H 2
i 1
hδ
fδ
hπ
fπ F 2
H 1
H 2 ≡F 1
i 1 ≡ i 2
Intersecção do plano oblíquo com o plano de rampa, resultando uma recta de perfil Quando os traços da recta de intersecção têm abcissas iguais, essa recta será de perfil. Mostram-se dois exemplos dessa situação.
x
F (^2) i 2
F 1
H 1
H 2
i 1
F 2
H 1
i 1 ≡ i 2
fρ
hρ
fα
hα
fω
hω
hθ (^) fθ
H 2 ≡F 1
Intersecção do plano de rampa com planos projectantes
Apresentam-se aqui intersecções entre um plano de rampa e cada um dos planos projectantes.
Intersecção do plano de rampa com os planos de topo, vertical e de perfil Para a determinação destas intersecções basta determinar os traços da recta de intersecção e uni-los. Devido ao facto de um dos planos ser projectante, existe coincidência entre uma projecção da recta e um traço do pla- no, os dois no caso do plano de perfil.
Intersecção do plano de rampa com os planos frontal e horizontal Da intersecção do plano de rampa com os planos frontal e horizontal resulta uma recta fronto-horizontal. Para a determinar recorre-se aqui aos traços laterais dos planos, uma vez que o ponto onde se cruzam é o traço lateral da recta. Estes casos podem resolver-se recorrendo a um plano auxiliar, como se mostra na página seguinte.
x
fβ
fα
hα
i 2
hα hα
fα fα
hβ≡ i 1
F 2
F 1
H 1
i 2
H 2
F 2
F 1
i 1
fθ≡ i 2
H 2
H 1
hθ
hρ≡fρ≡ i 1 ≡ i 2
F 2
H 1
F 1 ≡H 2
x x
fα
hα
L 3 ≡(i 3 )
(hδ)≡ i 1
y≡z
lα
lδ
L 2
L 1
(fσ)≡lσ≡ i 2
fα
hα
L 3
i 1
y≡z
lα
L 2
L 1
Intersecções entre planos de rampa
Da intersecção entre dois planos de rampa resulta uma recta fronto-horizontal. Como os traços do plano de rampa são paralelos não se consegue determinar directamente a recta de intersecção. Apresentam-se aqui três maneiras de resolver a mesma situação.
Intersecção entre planos de rampa, recorrendo a planos auxiliares Utilizando um plano auxiliar (aqui um vertical e um de perfil) cujos traços intersectem os dos planos de rampa, obtém-se também a recta de intersecção. Começa-se por determinar as rectas de intersecção desse plano com os de rampa (rectas a e b na primeira situação, rectas p e p’ na segunda). Pelo ponto I, onde essas rectas se cruzam, passa a recta de intersecção i. De notar que, na segunda situação, se rebateu o plano de perfil para se determinar esse ponto. Normalmente utilizam-se planos projectantes, mas também se poderia utilizar um plano oblíquo.
x
y≡z
hπ
fπ
lπ fα
hα
lα
x≡fδR
fδ≡hδ≡p 2 ≡p 1 ≡p’ 2 ≡p’ 1 ≡hδR
hπ
fπ
fα
hα
F 2
F 1 ≡F’ 1 ≡H 2 ≡H’ 2
F’ 2
H 1 ≡HR
H’ 1 ≡H’R
F’R FR
p’R
pR
i 2
i 1
i 1
i 2 I 2
I 1 IR
L 2 L 3
L 1
Intersecção entre planos de rampa, recorrendo aos traços laterais Os traços principais dos planos de rampa são paralelos, mas os seus traços laterais cruzam-se. O ponto desse cruzamento é o ponto L, traço lateral da recta de intersecção.
x
hπ
fπ
fβ
fα
hα
i 2
i 1
I 2
I 1
hβ≡a 1 ≡b 1
F 2
F’ 2
H 1
H’ 1
F 1 ≡F’ 1
H’ 2 H 2
a 2
b 2
Intersecção do plano passante com planos não projectantes
Apresentam-se aqui dois exercícios, cada um resolvido por dois processos diferentes; uma vez recorrendo a um plano projectante, a outra utilizando os traços laterais dos planos.
Intersecção do plano passante com o plano de rampa Também aqui se mostra a mesma situação resolvida de duas maneiras. No primeiro caso recorreu-se ao cruza- mento dos traços laterais, onde se encontra o ponto L, traço lateral da recta de intersecção. No segundo utilizou -se um plano auxiliar de topo. As rectas a e b, de intersecção desse plano com os planos dados, cruzam-se no ponto I, contido na recta i. Da intersecção entre os planos de rampa e passante resulta uma recta fronto- horizontal, bastando determinar um ponto.
Intersecção do plano passante com o plano oblíquo À esquerda utiliza-se um plano auxiliar horizontal que cruza os planos dados nas rectas a e n; onde essas rec- tas se cruzam surge o ponto I, contido na recta i. No segundo caso recorre-se aos traços laterais dos planos, que se cruzam no ponto L, traço lateral da recta i. Da intersecção entre estes planos resulta uma recta oblíqua passante.
hβ
i 2
P 2
P 1
x≡hπ≡fπ
y≡z
lβ P 3 lπ
L 2 L^3
L 1
fβ
i 1
hβ
i 2
P 2
P 1
x≡hπ≡fπ
fβ
i 1
I 2
I 1
F 2
F 1
H 2 ≡H’ 1 ≡H’ 2 ≡F’ 1 ≡F’ 2
H 1
b 1
fδ≡a 2 ≡b 2
a 1 hδ
i 2
P 2
P 1
x≡hπ≡fπ
y≡z
P 3
lπ
lα
L^ L^3
2
L 1
i 1
fα
hα
H 1 ≡H 2 ≡F 1 ≡F 2
i 2
P 2
P 1
x≡hπ≡fπ
F 2 I 2
I 1
i 1
fα
hα
F 1
H 1 ≡H 2 ≡F 1 ≡F 2
(fδ)≡n 2 ≡a 2
n 1
a 1
Intersecções que envolvem planos perpendiculares ao β2/
Os primeiros casos aqui apresentados envolvem dois planos perpendiculares ao β2/4; os restantes envolvem um plano passante e um plano perpendicular ao β2/4.
Intersecção entre planos perpendiculares ao β2/ A intersecção de dois planos perpendiculares ao β2/4 determina-se recorrendo aos traços da recta de intersec- ção. Como se pode verificar, destas intersecções resulta uma recta perpendicular ao β2/4, ou seja, de perfil.
x fα≡hα
fω≡hω
fα≡hα
fβ≡hβ≡ i 1 ≡ i 2
i 1 ≡ i 2^ fα≡hα^ fπ≡hπ
F 1 ≡H 2
F 2 ≡H 1
i 1 ≡ i 2
F 2 ≡H 1
F 1 ≡H 2
F 2 ≡H 1
F 1 ≡H 2
x≡hπ≡fπ
(fδ)≡n 2 ≡a 2 I 2
F’ 1
P 2 F’ 2
P 1 I 1
i 2
i 1
a 1
fβ≡hβ
F 1 ≡F 2 ≡H 1 ≡H 2
x≡hπ≡fπ
I 2
H’ 1
P 2
P 1
I 1
i 2
i 1
fα≡hα
fδ≡r 2 ≡s 2
F’ 2
F’ 1
x≡hπ≡fπ
P 2
P 1
fβ≡hβ≡ i 1 ≡ i 2
F 1 ≡F 2 ≡H 1 ≡H 2 ≡H’ 2
P’ 2
P’ 1
F 1 ≡F 2 ≡H 1 ≡H 2
Intersecção do plano passante com planos perpendiculares ao β2/ Nestas três situações, o plano passante está defini- do pelo ponto P e pelo eixo x. No primeiro caso, com o plano oblíquo, recorreu-se a um plano auxiliar horizontal, que cruza os outros nas rectas a e n. No segundo caso, com o plano de rampa, utilizou-se um plano auxiliar de topo, que cruza os outros nas rectas r e s. Onde essas rectas se cruzam surge o ponto I, contido na recta i. No terceiro caso colocou-se o ponto P’, idêntico a P (que define o plano passante), no plano de perfil. Esse ponto, juntamente com os traços H e F, defi- nem a recta i.
n 1 s (^1) hδ
r 1
Intersecção de planos cujos traços se cruzam ambos fora do papel
Considera-se nestas situações que o cruzamento dos traços se faz fora dos limites do papel, de modo a que não haja acesso aos traços da recta de intersecção. Para determinar estas intersecções utilizam-se aqui planos auxiliares horizontais e frontais.
Planos cujos traços se cruzam fora dos limites do papel Em cima, à esquerda, temos a inter- secção de dois planos oblíquos resolvida com a utilização de planos auxiliares horizontais. Em cima, à direita, está a intersecção de um plano oblíquo com um de topo resolvida com dois planos frontais. Ao lado temos a intersecção entre dois planos oblíquos resolvida com planos auxiliares de rampa. Este método utiliza-se quando os traços dos planos dados têm grandes aber- turas ou cruzam o eixo x em pontos muito distantes. Dada a quantidade de traçado que produz, mostra-se aqui apenas como se determina uma das projecções da recta de intersec- ção; para determinar a outra aplicam- se mais dois planos rampa, posicio- nados de forma inversa. Nos três casos, os planos auxiliares permitem determinar os pontos I e I’, contidos na recta i.
x
fπ
hα
I’ 1
(fσ)≡a’ 2 ≡b’ 2
F’ 1
F’ 2
i 1
i 2 (fδ)≡a 2 ≡b 2
G’ 2
G’ 1
F 2 G 2
G 1
F 1
I 1
I’ 2
I 2
a’ 1
a 1 b’ 1
b 1
fα
hπ (^) (hω)≡a 1 ≡b 1
I 1
J 2 ≡J’ 2
J 1
H 1
I’ 1
fβ
hβ
fθ≡b 2 ≡b’ 2 ≡ i 2
hθ
(hρ)≡a’ 1 ≡b’ 1 H’ 1 J’ 1
H 2 H’ 2
I’ 2
a^ I^2 2
a’ 2
i 1
fπ
hα
G 1
G 2
i 1
hδ≡hβ
G’ 2
G’ 1
F 2
F’ 2
H 1 ≡H´ 1
F’ 1
I’ 1
fα
hπ
fβ
fδ
J 1 ≡J’ 1
F 1
I 1
x
Intersecção entre três planos
Surgem algumas possibilidades diferentes quando se intersectam três planos. Mostram-se aqui três delas, com recurso a planos oblíquos definidos pelos seus traços.
Intersecção entre três planos oblíquos, resultando uma recta Se os três traços horizontais dos planos se encon- traram num mesmo ponto, e a mesma coisa suce- der entre os três traços horizontais, da intersecção entre esses planos resulta uma recta.
x
hβ
i 2^ fβ
hπ
fπ
F 2
F 1
H 1
H 2
i 1
Intersecção entre três planos oblíquos, resultando duas rectas paralelas Dos três planos que estão à direita, dois são con- correntes, dois são paralelos, resultam daí duas rectas paralelas entre si. Em relação ao exercício anterior, em vez do plano β, está θ, paralelo a α.
fα
hα
x
hθ
fθ i 2
hπ
fπ
F 2
F 1
H 1
H 2
i 1
fα
hα
i’ 2
i’ 1
H’ 1
H’ 2 F’ 1
F’ 2
θ // α
Intersecção entre três planos oblíquos, resultando três rectas paralelas Esta situação é idêntica à anterior, mas o plano α é utilizado como auxiliar para garantir duas rectas paralelas. O plano ρ, contendo uma dessas rectas, cruza-se com θ numa terceira recta, que será para- lelas às outras.
x
hθ
fθ
i 2
hπ
fπ
F 2
F 1
H 1
H 2
i 1
fα
hα
i’ 2
i’ 1
H’ 1
H’ 2 F’ 1
F’ 2
θ // α
fρ
hρ
i” 1
F” 2
F” 1
H” 1
H” 2
i” 2
Intersecção entre rectas e planos projectantes
A intersecção entre rectas e planos projectantes determina-se directamente, exceptuando no caso da recta de perfil.
Intersecção entre rectas e os planos horizontal, frontal e de perfil O plano horizontal é projectante frontal, pelo que a projecção frontal do ponto I se determina no cruzamento do seu traço com a projecção frontal da recta. No caso do plano frontal, que é projectante horizontal, é a projecção horizontal do ponto I que se determina em primeiro lugar. No caso do plano de perfil, que é duplamente projec- tante, basta indicar as projecções do ponto I nos cruzamentos das projecções da recta com os traços do plano.
x
I 2^ (fα)
I 1
fθ≡hθ
Intersecção entre rectas e os planos de topo e vertical O plano de topo é projectante frontal, pelo que a projecção frontal do ponto I se determina no cruzamento entre o traço frontal do plano e a projecção frontal da recta. No caso do plano vertical, que é projectante horizontal, é a projecção horizontal que se determina em primeiro lugar.
x
fβ
hβ
(hψ)
fδ
hδ
r 2
r 1
n 2
n 1
I 1
I 2
t 1
I 1
(t 2 )≡ I 2
I 2
I 1
I 2
(v 1 )≡ I 1
f 1
f 2
v 2
Intersecção entre uma recta e um plano oblíquo
Exceptuando a recta de perfil, a intersecção de qualquer recta com o plano oblíquo pode-se resolver utilizando qualquer plano auxiliar projectante que contenha a recta.
x
hω
fω
hρ
r 2 ≡fρ≡i 2
r 1
I 2
I 1
i 1
F 1
F 2
H 2
H 1
Intersecção entre diferentes rectas e o plano oblíquo No primeiro caso, com a recta oblíqua, utilizou-se um plano auxiliar de topo. No segundo, com uma recta hori- zontal, utilizou-se um plano horizontal. No último caso, onde a recta é vertical, utilizou-se um plano frontal. Em qualquer das situações se podia ter utilizado um plano vertical contendo a recta. O plano auxiliar cruza o plano dado na recta i; essa recta, por sua vez, vai cruzar a recta dada no ponto I.
x
fα
hα
n 2 ≡(fδ)≡i 2
i 1 n 1
F 1
F 2
I 2
I 1
fπ
hπ
i 2
H 1
H 2
(hρ)≡i 2
v 2
I 2
(v 1 )≡ I 1
Intersecção da recta de perfil com planos diversos
Caso a recta de perfil esteja definida pelos seus traços, é preferível a utilização de planos auxiliares oblíquos, independentemente de o plano dado ser projectante ou não.
x
Intersecção de uma recta de perfil com planos projectantes No primeiro caso temos um plano frontal, no segundo um plano de topo. Onde o plano auxiliar oblíquo cruza o plano dado surge a recta i, que se cruza com a recta de perfil no ponto I. Devido ao facto de os planos serem projectantes, sabe-se de antemão uma das projecções do ponto I, contudo é necessária a utilização do plano auxiliar para determinar a projecção em falta.
(hπ)≡i 1
Intersecção de uma recta de perfil com planos não projectantes À esquerda temos um plano oblíquo, à direita um plano de rampa. Onde o plano auxiliar oblíquo cruza o plano dado surge a recta i, que se cruza com a recta de perfil no ponto I.
fα
hσ
F 2
H’ 2
H’ 1
I 2
I 1
fσ
i 2
fρ
I 1
hρ
H 1
F 1 ≡H 2
p 2 ≡p 1 F 2 I 2
H 1
F 1 ≡H 2
p 2 ≡p 1
hα
H’ 1
F’ 1 H’ 2
F’ 2
x
hπ hσ
F 2
H’ 2
H’ 1
I 2
I 1
fσ
i 2
H 1
F 1 ≡H 2
p 2 ≡p 1
F’ 2
F’ 1
fπ
i 1 hθ
hρ
F 2
H’ 2
H’ 1
I 2
I 1
fρ
i 2
H 1
F 1 ≡H 2
p 2 ≡p 1 F’ 2 fθ
i 1
F’ 1
Aqui a recta de perfil está definida por dois pontos que não os seus traços. Recorre-se ao plano late- ral de projecção e ao plano auxiliar de perfil. Embora se mostre apenas os planos de rampa e oblí- quo, qualquer dos processos se pode aplicar à recta de perfil, seja qual for o plano dado, esteja a recta definida pelos traços ou não.
x
Intersecção da recta de perfil com o plano de rampa Achando a intersecção da projecção lateral da recta com o traço lateral do plano, descobre-se a projecção lateral do ponto I. A partir dela, indicam-se as projecções principais desse ponto.
fπ
B 2
A 2
A 1
I 2
I 1
p 3
B 1
p 2 ≡p 1
y≡x
hπ
A 3
B 3
I 3
lπ
Intersecção da recta de perfil com o plano oblíquo Aqui utilizou-se um plano auxiliar de perfil, contendo a recta dada. Esse pla- no intersecta o plano dado na recta i, também de perfil. No rebatimento do plano auxiliar determina-se o ponto IR, que, contra-rebatido, permite determinar as suas projecções.
x≡fδR
B 2
A 2
A 1
B 1
p 2 ≡p 1 ≡hδ≡fδ≡i 1 ≡i 2 ≡hδR
H 1 ≡HR
F 2
I 1^ IR
AR
BR
fα
hα
pR
iR
H 2 ≡F 1 FR
I 2
Intersecção da recta de perfil com o plano passante Procedendo como na situação anterior, facilmente se determina o ponto de inter- secção da recta de perfil com o plano passante, aqui definido pelo ponto P.
x≡hβ≡fβ
B 2
A 2
A 1
I 2
I 1
p 3
B 1
p 2 ≡p 1
y≡x
A 3
B 3
I 3
lβ P 2
P 1
P 3
