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INTERSEÇÕES
O estudo das Interseções é de grande importância para o aprofundamento dos capítulos anteriores. Além disso, os assuntos aqui tratados surgem tam- bém aplicados aos capítulos que se seguem a este. Este capítulo engloba intersecções de planos com planos e de retas com pla- nos.
Sumário:
- Interseção de planos projetantes do mesmo género
- Interseção de planos projetantes de género contrário
- Interseção do plano oblíquo com planos projetantes
- Interseção do plano oblíquo com o plano de rampa
- Interseção entre planos oblíquos
- Interseção do plano de rampa com planos projetantes
- Interseção entre planos de rampa
- Interseção do plano passante com planos projetantes
- Interseção do plano passante com planos não projetantes
- Interseções que envolvem planos perpendiculares ao β2/
- Interseção de planos cujos traços se cruzam apenas num ponto
- Interseção de planos cujos traços se cruzam ambos fora do papel 14 e 15. Interseção entre três planos
- Interseção entre retas e planos projetantes
- Interseção entre uma reta e um plano oblíquo
- Interseção entre uma reta e um plano de rampa 19 e 20. Interseção da reta de perfil com planos diversos 21 e 22. Interseção entre uma reta e um plano definido por retas
- Interseção da reta de perfil com planos definidos por retas
- Interseção de planos projetantes com planos definidos por retas
- Interseção do plano oblíquo com planos definidos por retas
- Interseção do plano de rampa com planos definidos por retas 27, 28 e 29. Interseção entre planos definidos por retas 30, 31, 32 e 33. Exercícios
Intersecção de planos projetantes do mesmo género
Mostra-se aqui a intersecção entre planos projetantes horizontais e entre planos projetantes frontais, de onde resulta uma reta projetante do mesmo género.
Interseção entre planos projetantes horizontais Quando se intersectam dois planos projetantes horizontais resulta uma reta projetante horizontal, ou seja, uma reta vertical. Neste grupo integra-se também o plano de perfil e o plano frontal, que não surgem no traçado.
x
Interseção entre planos projetantes frontais Quando se intersetam dois planos projetantes frontais resulta uma reta projetante frontal, ou seja, uma reta de topo. Neste grupo integra-se ainda o plano de perfil e o plano horizontal, que não surgem no traçado.
x
fρ
hρ
(hδ)
fψ
hψ
hθ
hβ
fθ fβ
(fθ)
fω≡hω≡ i 2
fβ≡hβ≡ i 1
fπ
hπ
fα
hα
hσ
fσ
hπ
fπ
H 1 ≡ (i 1 )
i 2
H 2
H 1 ≡ (i 1 )
H 1 ≡ (i 1 )
H 2 H 2
i 2
F 2 ≡ (i 2 ) F 1
i 1 i^1
F 2 ≡ (i 2 )
F 1
F 2 ≡ (i 2 )
Interseção do plano oblíquo com planos projetantes
Veremos aqui as várias hipóteses de conjugar o plano oblíquo com os planos projetantes, e que tipo de retas daí resultam.
Interseção do plano oblíquo com os planos frontal, horizontal e de perfil Da interseção de um plano oblíquo com um plano frontal resulta uma reta frontal, com um plano horizontal resulta uma reta horizontal, ambas paralelas ao traço homónimo do plano oblíquo. Da interseção do plano oblí- quo com o plano de perfil resulta uma reta de perfil.
x
F 1
(fδ)≡ i 2 F 2
H 2
H 1
hπ
fπ
fπ
hπ
(hβ)≡ i 1
i 2
i 1
Interseção do plano oblíquo com o plano de topo A interseção entre estes dois pla- nos pode dar origem a duas situa- ções diferentes. Quando ambos os traços se cruzam resulta uma reta oblíqua; quando os traços frontais são paralelos resulta uma reta frontal.
x H 2
H 1
hπ
fπ
fπ
hρ hπ
Interseção do plano oblíquo com o plano vertical A interseção entre estes dois pla- nos pode dar origem a duas situa- ções diferentes. Quando ambos os traços se cruzam resulta uma reta oblíqua; quando os traços horizon- tais são paralelos resulta uma reta horizontal.
x
F 1
F 2
i 2
H 2
H 1
hπ
fπ
fπ
hπ
hω≡ i 1
fθ≡ i 2
i 1
hθ
H 2
H 1
fρ≡ i 2
i 1
F 2
F 1
F 1
F 2
fω i 2
hσ≡ i 1
fσ
H 1
F 2
hπ
fπ
F 1 ≡H 2
fα≡hα≡ i 2 ≡ i 1
i 1 // hπ
i 2 // fπ
hσ // hπ i 1 // hπ
fθ // fπ i 2 // fπ
Interseção do plano oblíquo com o plano de rampa
Mostra-se aqui a interseção entre um plano oblíquo e um plano de rampa, o que pode dar origem a dois tipos de retas.
Intersecção do plano oblíquo com o plano de rampa, resultando uma reta oblíqua Quando os traços da reta de interseção têm diferentes abcissas, essa reta será oblíqua. Mostram-se dois exemplos dessa situação.
x
hβ
fβ
i 2
hπ
fπ
F 2
F 1
H 1
H 2
i 1
hδ
fδ
hπ
fπ F 2
H 1
H 2 ≡F 1
i 1 ≡ i 2
Interseção do plano oblíquo com o plano de rampa, resultando uma reta de perfil Quando os traços da reta de intersecção têm abcissas iguais, essa reta será de perfil. Mostram-se dois exem- plos dessa situação.
x
F (^2) i 2
F 1
H 1
H 2
i 1
F 2
H 1
i 1 ≡ i 2
fρ
hρ
fα
hα
fω
hω
hθ (^) fθ
H 2 ≡F 1
Interseção do plano de rampa com planos projetantes
Apresentam-se aqui interseções entre um plano de rampa e cada um dos planos projetantes.
Interseção do plano de rampa com os planos de topo, vertical e de perfil Para a determinação destas interseções basta determinar os traços da reta de intersecção e uni-los. Devido ao facto de um dos planos ser projetante, existe coincidência entre uma projeção da reta e um traço do plano, os dois no caso do plano de perfil.
Interseção do plano de rampa com os planos frontal e horizontal Da interseção do plano de rampa com os planos frontal e horizontal resulta uma reta fronto-horizontal. Para a determinar recorre-se aqui aos traços laterais dos planos, uma vez que o ponto onde se cruzam é o traço lateral da reta. Estes casos podem resolver-se recorrendo a um plano auxiliar, como se mostra na página seguinte.
x
fβ
fα
hα
i 2
hα hα
fα fα
hβ≡ i 1
F 2
F 1
H 1
i 2
H 2
F 2
F 1
i 1
fθ≡ i 2
H 2
H 1
hθ
hρ≡fρ≡ i 1 ≡ i 2
F 2
H 1
F 1 ≡H 2
x x
fα
hα
L 3 ≡(i 3 )
(hδ)≡ i 1
y≡z
lα
lδ
L 2
L 1
(fσ)≡lσ≡ i 2
fα
hα
L 3
i 1
y≡z
lα
L 2
L 1
Interseções entre planos de rampa
Da interseção entre dois planos de rampa resulta uma reta fronto-horizontal. Como os traços do pla- no de rampa são paralelos não se consegue determinar diretamente a reta de interseção. Apresen- tam-se aqui três maneiras de resolver a mesma situação.
Interseção entre planos de rampa, recorrendo a planos auxiliares Utilizando um plano auxiliar (aqui um vertical e um de perfil) cujos traços intersetem os dos planos de rampa, obtém-se também a reta de interseção. Começa-se por determinar as retas de interseção desse plano com os de rampa (retas a e b na primeira situação, retas p e p’ na segunda). Pelo ponto I, onde essas retas se cruzam, passa a reta de interseção i. De notar que, na segunda situação, se rebateu o plano de perfil para se determi- nar esse ponto. Normalmente utilizam-se planos projetantes, mas também se poderia utilizar um plano oblíquo.
x
y≡z
hπ
fπ
lπ fα
hα
lα
x≡fδR
fδ≡hδ≡p 2 ≡p 1 ≡p’ 2 ≡p’ 1 ≡hδR
hπ
fπ
fα
hα
F 2
F 1 ≡F’ 1 ≡H 2 ≡H’ 2
F’ 2
H 1 ≡HR
H’ 1 ≡H’R
F’R FR
p’R
pR
i 2
i 1
i 1
i 2 I 2
I 1 IR
L 2 L 3
L 1
Interseção entre planos de rampa, recorrendo aos traços laterais Os traços principais dos planos de rampa são paralelos, mas os seus traços laterais cruzam-se. O ponto desse cruzamento é o ponto L, traço lateral da reta de interseção.
x
hπ
fπ
fβ
fα
hα
i 2
i 1
I 2
I 1
hβ≡a 1 ≡b 1
F 2
F’ 2
H 1
H’ 1
F 1 ≡F’ 1
H’ 2 H 2
a 2
b 2
Interseção do plano passante com planos não projetantes
Apresentam-se aqui dois exercícios, cada um resolvido por dois processos diferentes; uma vez recorrendo a um plano projetante, a outra utilizando os traços laterais dos planos.
Interseção do plano passante com o plano de rampa Também aqui se mostra a mesma situação resolvida de duas maneiras. No primeiro caso recorreu-se ao cruza- mento dos traços laterais, onde se encontra o ponto L, traço lateral da reta de interseção. No segundo utilizou- se um plano auxiliar de topo. As retas a e b, de interseção desse plano com os planos dados, cruzam-se no ponto I, contido na reta i. Da intersecção entre os planos de rampa e passante resulta uma reta fronto- horizontal, bastando determinar um ponto.
Interseção do plano passante com o plano oblíquo À esquerda utiliza-se um plano auxiliar horizontal que cruza os planos dados nas retas a e n; onde essas retas se cruzam surge o ponto I, contido na reta i. No segundo caso recorre-se aos traços laterais dos planos, que se cruzam no ponto L, traço lateral da reta i. Da intersecção entre estes planos resulta uma reta oblíqua passante.
hβ
i 2
P 2
P 1
x≡hπ≡fπ
y≡z
lβ P 3 lπ
L 2 L^3
L 1
fβ
i 1
hβ
i 2
P 2
P 1
x≡hπ≡fπ
fβ
i 1
I 2
I 1
F 2
F 1
H 2 ≡H’ 1 ≡H’ 2 ≡F’ 1 ≡F’ 2
H 1
b 1
fδ≡a 2 ≡b 2
a 1 hδ
i 2
P 2
P 1
x≡hπ≡fπ
y≡z
P 3
lπ
lα
L^ L^3
2
L 1
i 1
fα
hα
H 1 ≡H 2 ≡F 1 ≡F 2
i 2
P 2
P 1
x≡hπ≡fπ
F 2 I 2
I 1
i 1
fα
hα
F 1
H 1 ≡H 2 ≡F 1 ≡F 2
(fδ)≡n 2 ≡a 2
n 1
a 1
Interseções que envolvem planos perpendiculares ao β2/
Os primeiros casos aqui apresentados envolvem dois planos perpendiculares ao β2/4; os restantes envolvem um plano passante e um plano perpendicular ao β2/4.
Interseção entre planos perpendiculares ao β2/ A interseção de dois planos perpendiculares ao β2/4 determina-se recorrendo aos traços da reta de interseção. Como se pode verificar, destas interseções resulta uma reta perpendicular ao β2/4, ou seja, de perfil.
x fα≡hα
fω≡hω
fα≡hα
fβ≡hβ≡ i 1 ≡ i 2
i 1 ≡ i 2^ fα≡hα^ fπ≡hπ
F 1 ≡H 2
F 2 ≡H 1
i 1 ≡ i 2
F 2 ≡H 1
F 1 ≡H 2
F 2 ≡H 1
F 1 ≡H 2
x≡hπ≡fπ
(fδ)≡n 2 ≡a 2 I 2
F’ 1
P 2 F’ 2
P 1 I 1
i 2
i 1
a 1
fβ≡hβ
F 1 ≡F 2 ≡H 1 ≡H 2
x≡hπ≡fπ
I 2
H’ 1
P 2
P 1
I 1
i 2
i 1
fα≡hα
fδ≡r 2 ≡s 2
F’ 2
F’ 1
x≡hπ≡fπ
P 2
P 1
fβ≡hβ≡ i 1 ≡ i 2
F 1 ≡F 2 ≡H 1 ≡H 2 ≡H’ 2
P’ 2
P’ 1
F 1 ≡F 2 ≡H 1 ≡H 2
Interseção do plano passante com planos perpendiculares ao β2/ Nestas três situações, o plano passante está defini- do pelo ponto P e pelo eixo x. No primeiro caso, com o plano oblíquo, recorreu-se a um plano auxiliar horizontal, que cruza os outros nas retas a e n. No segundo caso, com o plano de rampa, utilizou-se um plano auxiliar de topo, que cruza os outros nas retas r e s. Onde essas retas se cruzam surge o ponto I, contido na reta i. No terceiro caso colocou-se o ponto P’, idêntico a P (que define o plano passante), no plano de perfil. Esse ponto, juntamente com os traços H e F, defi- nem a reta i.
n 1 s (^1) hδ
r 1
Interseção de planos cujos traços se cruzam ambos fora do papel
Considera-se nestas situações que o cruzamento dos traços se faz fora dos limites do papel, de modo a que não haja acesso aos traços da reta de interseção. Para determinar estas interseções utilizam-se aqui planos auxiliares horizontais e frontais.
Planos cujos traços se cruzam fora dos limites do papel Em cima, à esquerda, temos a inter- secção de dois planos oblíquos resolvida com a utilização de planos auxiliares horizontais. Em cima, à direita, está a interseção de um plano oblíquo com um de topo resolvida com dois planos frontais. Ao lado temos a interseção entre dois planos oblíquos resolvida com planos auxiliares de rampa. Este método utiliza-se quando os traços dos planos dados têm grandes aber- turas ou cruzam o eixo x em pontos muito distantes. Dada a quantidade de traçado que produz, mostra-se aqui apenas como se determina uma das projeções da reta de interseção; para determinar a outra aplicam-se mais dois planos rampa, posiciona- dos de forma inversa. Nos três casos, os planos auxiliares permitem determinar os pontos I e I’, contidos na reta i.
x
fπ
hα
I’ 1
(fσ)≡a’ 2 ≡b’ 2
F’ 1
F’ 2
i 1
i 2 (fδ)≡a 2 ≡b 2
G’ 2
G’ 1
F 2 G 2
G 1
F 1
I 1
I’ 2
I 2
a’ 1
a 1 b’ 1
b 1
fα
hπ (^) (hω)≡a 1 ≡b 1
I 1
J 2 ≡J’ 2
J 1
H 1
I’ 1
fβ
hβ
fθ≡b 2 ≡b’ 2 ≡ i 2
hθ
(hρ)≡a’ 1 ≡b’ 1 H’ 1 J’ 1
H 2 H’ 2
I’ 2
a^ I^2 2
a’ 2
i 1
fπ
hα
G 1
G 2
i 1
hδ≡hβ
G’ 2
G’ 1
F 2
F’ 2
H 1 ≡H´ 1
F’ 1
I’ 1
fα
hπ
fβ
fδ
J 1 ≡J’ 1
F 1
I 1
x
Interseção entre três planos
Surgem algumas possibilidades diferentes quando se intersetam três planos. Mostram-se aqui três delas, com recurso a planos oblíquos definidos pelos seus traços.
Interseção entre três planos oblíquos, resultando uma reta Se os três traços horizontais dos planos se encon- traram num mesmo ponto, e a mesma coisa suce- der entre os três traços horizontais, da interseção entre esses planos resulta uma reta.
x
hβ
i 2^ fβ
hπ
fπ
F 2
F 1
H 1
H 2
i 1
Interseção entre três planos oblíquos, resultando duas retas paralelas Dos três planos que estão à direita, dois são con- correntes, dois são paralelos, resultam daí duas retas paralelas entre si. Em relação ao exercício anterior, em vez do plano β, está θ, paralelo a α.
fα
hα
x
hθ
fθ i 2
hπ
fπ
F 2
F 1
H 1
H 2
i 1
fα
hα
i’ 2
i’ 1
H’ 1
H’ 2 F’ 1
F’ 2
θ // α
Interseção entre três planos oblíquos, resultando três retas paralelas Esta situação é idêntica à anterior, mas o plano α é utilizado como auxiliar para garantir duas retas paralelas. O plano ρ, contendo uma dessas retas, cruza-se com θ numa terceira reta, que será paralelas às outras.
x
hθ
fθ
i 2
hπ
fπ
F 2
F 1
H 1
H 2
i 1
fα
hα
i’ 2
i’ 1
H’ 1
H’ 2 F’ 1
F’ 2
θ // α
fρ
hρ
i” 1
F” 2
F” 1
H” 1
H” 2
i” 2
Interseção entre retas e planos projetantes
A interseção entre retas e planos projetantes determina-se diretamente, excetuando no caso da reta de perfil.
Interseção entre retas e os planos horizontal, frontal e de perfil O plano horizontal é projetante frontal, pelo que a projeção frontal do ponto I se determina no cruzamento do seu traço com a projeção frontal da reta. No caso do plano frontal, que é projetante horizontal, é a projeção horizontal do ponto I que se determina em primeiro lugar. No caso do plano de perfil, que é duplamente proje- tante, basta indicar as projeções do ponto I nos cruzamentos das projeções da reta com os traços do plano.
x
I 2^ (fα)
I 1
fθ≡hθ
Interseção entre retas e os planos de topo e vertical O plano de topo é projetante frontal, pelo que a projeção frontal do ponto I se determina no cruzamento entre o traço frontal do plano e a projeção frontal da reta. No caso do plano vertical, que é projetante horizontal, é a projeção horizontal que se determina em primeiro lugar.
x
fβ
hβ
(hψ)
fδ
hδ
r 2
r 1
n 2
n 1
I 1
I 2
t 1
I 1
(t 2 )≡ I 2
I 2
I 1
I 2
(v 1 )≡ I 1
f 1
f 2
v 2
Interseção entre uma reta e um plano oblíquo
Excetuando a reta de perfil, a intersecção de qualquer reta com o plano oblíquo pode-se resolver utilizando qualquer plano auxiliar projetante que contenha a reta.
x
hω
fω
hρ
r 2 ≡fρ≡i 2
r 1
I 2
I 1
i 1
F 1
F 2
H 2
H 1
Interseção entre diferentes retas e o plano oblíquo No primeiro caso, com a reta oblíqua, utilizou-se um plano auxiliar de topo. No segundo, com uma reta horizon- tal, utilizou-se um plano horizontal. No último caso, onde a reta é vertical, utilizou-se um plano frontal. Em qual- quer das situações se podia ter utilizado um plano vertical contendo a reta. O plano auxiliar cruza o plano dado na reta i; essa reta, por sua vez, vai cruzar a reta dada no ponto I.
x
fα
hα
n 2 ≡(fδ)≡i 2
i 1 n 1
F 1
F 2
I 2
I 1
fπ
hπ
i 2
H 1
H 2
(hρ)≡i 2
v 2
I 2
(v 1 )≡ I 1
Interseção da reta de perfil com planos diversos
Caso a reta de perfil esteja definida pelos seus traços, é preferível a utilização de planos auxiliares oblíquos, independentemente de o plano dado ser projetante ou não.
x
Interseção de uma reta de perfil com planos projetantes No primeiro caso temos um plano frontal, no segundo um plano de topo. Onde o plano auxiliar oblíquo cruza o plano dado surge a reta i, que se cruza com a reta de perfil no ponto I. Devido ao facto de os planos serem projetantes, sabe-se de antemão uma das projeções do ponto I, contudo é necessária a utilização do plano auxiliar para determinar a projeção em falta.
(hπ)≡i 1
Interseção de uma reta de perfil com planos não projetantes À esquerda temos um plano oblíquo, à direita um plano de rampa. Onde o plano auxiliar oblíquo cruza o plano dado surge a reta i, que se cruza com a reta de perfil no ponto I.
fα
hσ
F 2
H’ 2
H’ 1
I 2
I 1
fσ
i 2
fρ
I 1
hρ
H 1
F 1 ≡H 2
p 2 ≡p 1 F 2 I 2
H 1
F 1 ≡H 2
p 2 ≡p 1
hα
H’ 1
F’ 1 H’ 2
F’ 2
x
hπ hσ
F 2
H’ 2
H’ 1
I 2
I 1
fσ
i 2
H 1
F 1 ≡H 2
p 2 ≡p 1
F’ 2
F’ 1
fπ
i 1 hθ
hρ
F 2
H’ 2
H’ 1
I 2
I 1
fρ
i 2
H 1
F 1 ≡H 2
p 2 ≡p 1 F’ 2 fθ
i 1
F’ 1
Aqui a reta de perfil está definida por dois pontos que não os seus traços. Recorre-se ao plano late- ral de projeção e ao plano auxiliar de perfil. Embora se mostre apenas os planos de rampa e oblí- quo, qualquer dos processos se pode aplicar à reta de perfil, seja qual for o plano dado, esteja a reta definida pelos traços ou não.
x
Interseção da reta de perfil com o plano de rampa Achando a interseção da projeção late- ral da reta com o traço lateral do plano, descobre-se a projeção lateral do ponto I. A partir dela, indicam-se as projeções principais desse ponto.
fπ
B 2
A 2
A 1
I 2
I 1
p 3
B 1
p 2 ≡p 1
y≡x
hπ
A 3
B 3
I 3
lπ
Interseção da reta de perfil com o plano oblíquo Aqui utilizou-se um plano auxiliar de perfil, contendo a reta dada. Esse plano intersecta o plano dado na reta i, tam- bém de perfil. No rebatimento do plano auxiliar determina-se o ponto IR, que, contrarrebatido, permite determinar as suas projeções.
x≡fδR
B 2
A 2
A 1
B 1
p 2 ≡p 1 ≡hδ≡fδ≡i 1 ≡i 2 ≡hδR
H 1 ≡HR
F 2
I 1^ IR
AR
BR
fα
hα
pR
iR
H 2 ≡F 1 FR
I 2
Interseção da reta de perfil com o plano passante Procedendo como na situação anterior, facilmente se determina o ponto de inter- secção da reta de perfil com o plano passante, aqui definido pelo ponto P.
x≡hβ≡fβ
B 2
A 2
A 1
I 2
I 1
p 3
B 1
p 2 ≡p 1
y≡x
A 3
B 3
I 3
lβ P 2
P 1
P 3
