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AMPLITUDE DO INTERVALO DE CLASSE: é obtida através da diferença entre o limite superior e inferior da classe e é simbolizada por hi = Li - li. Ex: na tabela anterior hi = 53
- 49 = 4. Obs : Na distribuição de freqüência c/ classe o hi será igual em todas as classes.
AMPLITUDE TOTAL DA DISTRIBUIÇÃO: é a diferença entre o limite superior da última classe e o limite inferior da primeira classe. AT = L(max) - l(min). Ex: na tabela anterior AT = 61 - 41= 20.
AMPLITUDE TOTAL DA AMOSTRA (ROL): é a diferença entre o valor máximo e o valor mínimo da amostra (ROL). Onde AA = Xmax - Xmin. Em nosso exemplo AA = 60 - 41 = 19. Obs : AT sempre será maior que AA.
PONTO MÉDIO DE CLASSE : é o ponto que divide o intervalo de classe em duas partes iguais. .......Ex: em 49 |------- 53 o ponto médio x3 = (53+49)/2 = 51, ou seja x3=( l3 + L3 )/2.
Método prático para construção de uma Distribuição de Freqüências c/ Classe
1º - Organize os dados brutos em um ROL.
2º - Calcule a amplitude amostral AA. No nosso exmplo: AA = 60 - 41 = 19
3º - Calcule o número de classes através da " Regra de Sturges":
n
I
nº de classes 3 |-----| 5 3 6 |-----| 11 4 12 |-----| 22 5 23 |-----| 46 6 47 |-----| 90 7 91 |-----| 181 8 182 |-----| 362 9
Obs: Qualquer regra para determinação do nº de classes da tabela não nos levam a uma decisão final; esta vai depender, na realidade de um julgamento pessoal, que deve estar ligado à natureza dos dados.
No nosso exemplo: n = 20 dados, então ,a princípio, a regra sugere a adoção de 5 classes.
4º - Decidido o nº de classes, calcule então a amplitude do intervalo de classe h > AA / i. No nosso exemplo: AA/i = 19/5 = 3,8. Obs: Como h > AA/i um valor ligeiramente superior para haver folga na última classe. Utilizaremos então h = 4
5º - Temos então o menor nº da amostra, o nº de classes e a amplitude do intervalo. Podemos montar a tabela, com o cuidado para não aparecer classes com freqüência = 0 (zero). No nosso exemplo: o menor nº da amostra = 41 + h = 45, logo a primeira classe será representada por ...... 41 |------- 45. As classes seguintes respeitarão o mesmo procedimento. O primeiro elemento das classes seguintes sempre serão formadas pelo último elemento da classe anterior.
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE UMA DISTRIBUIÇÃO
Histograma, Polígono de freqüência e Polígono de freqüência acumulada
Em todos os gráficos acima utilizamos o primeiro quadrante do sistema de eixos coordenados cartesianos ortogonais. Na linha horizontal (eixo das abscissas) colocamos os valores da variável e na linha vertical (eixo das ordenadas), as freqüências. . Histograma: é formado por um conjunto de retângulos justapostos, cujas bases se localizam sobre o eixo horizontal, de tal modo que seus pontos médios coincidam com os pontos médios dos intervalos de classe. A área de um histograma é proporcional à soma das freqüências simples ou absolutas. Freqüências simples ou absoluta: são os valores que realmente representam o número de dados de cada classe. A soma das freqüências simples é igual ao número total dos dados da distribuição.
Freqüências relativas: são os valores das razões entre as freqüência absolutas de cada classe e a freqüência total da distribuição. A soma das freqüências relativas é igual a 1 (100 %). .
Polígono de freqüência: é um gráfico em linha, sendo as freqüências marcadas sobre perpendiculares ao eixo horizontal, levantadas pelos pontos médios dos intervalos de classe. Para realmente obtermos um polígono (linha fechada), devemos completar a figura, ligando os extremos da linha obtida aos pontos médios da classe anterior à primeira e da posterior à última, da distribuição. .
Polígono de freqüência acumulada: é traçado marcando-se as freqüências acumuladas sobre perpendiculares ao eixo horizontal, levantadas nos pontos correspondentes aos limites superiores dos intervalos de classe.
Freqüência simples acumulada de uma classe: é o total das freqüências de todos os valores inferiores ao limite superior do intervalo de uma determinada classe.
Dados não-agrupados: Quando desejamos conhecer a média dos dados não-agrupados em tabelas de freqüências, determinamos a média aritmética simples.
Ex: Sabendo-se que a venda diária de arroz tipo A, durante uma semana, foi de 10, 14, 13, 15, 16, 18 e 12 kilos, temos, para venda média diária na semana de: .= (10+14+13+15+16+18+12) / 7 = 14 kilos
Desvio em relação à média : é a diferença entre cada elemento de um conjunto de valores e a média aritmética, ou seja:.
. di = Xi -
No exemplo anterior temos sete desvios:... d1 = 10 - 14 = - 4 , ...d2 = 14 - 14 = 0 , d3 = 13 - 14 = - 1 , ...d4 = 15 - 14 = 1 ,... d5 = 16 - 14 = 2 ,... d6 = 18 - 14 = 4 ...e. .. d7 = 12 - 14 = - 2. .
Propriedades da média aritmética (^)
1ª propriedade: A soma algébrica dos desvios em relação à média é nula.
- No exemplo anterior : d1+d2+d3+d4+d5+d6+d7 = 0
2ª propriedade: Somando-se (ou subtraindo-se) uma constante (c) a todos os valores de uma variável, a média do conjunto fica aumentada ( ou diminuída) dessa constante.
- Se no exemplo original somarmos a constante 2 a cada um dos valores da variável temos:
Y = 12+16+15+17+18+20+14 / 7 = 16 kilos ou
Y = .+ 2 = 14 +2 = 16 kilos
3ª propriedade: Multiplicando-se (ou dividindo-se) todos os valores de uma variável por uma constante (c), a média do conjunto fica multiplicada ( ou dividida) por essa constante.
- Se no exemplo original multiplicarmos a constante 3 a cada um dos valores da variável temos:
Y = 30+42+39+45+48+54+36 / 7 = 42 kilos ou Y = x 3 = 14 x 3 = 42 kilos
Dados agrupados:
Sem intervalos de classe Consideremos a distribuição relativa a 34 famílias de quatro filhos, tomando para variável o número de filhos do sexo masculino. Calcularemos a quantidade média de meninos por família:
Nº de meninos freqüência = fi 0 2 1 6 2 10 3 12 4 4 total 34
- Como as freqüências são números indicadores da intensidade de cada valor da variável, elas funcionam como fatores de ponderação, o que nos leva a calcular a média aritmética ponderada , dada pela fórmula:
..xi. ..fi. ..xi.fi. 0 2 0 1 6 6 2 10 20 3 12 36 4 4 16 total 34 78
onde 78 / 34 = 2,3 meninos por família Com intervalos de classe Neste caso, convencionamos que todos os valores incluídos em um determinado intervalo de classe coincidem com o seu ponto médio, e determinamos a média aritmética ponderada por meio da fórmula:
onde Xi é o ponto médio da classe.
Ex: Calcular a estatura média de bebês conforme a tabela abaixo.
Estaturas (cm) freqüência = fi ponto médio = xi ..xi.fi. 50 |------------ 54 4 52 208 54 |------------ 58 9 56 504 58 |------------ 62 11 60 660 62 |------------ 66 8 64 512 66 |------------ 70 5 68 340 70 |------------ 74 3 72 216 Total 40 2.
Ex.: Calcular a média harmônica dos valores da tabela abaixo:
classes ....fi.... ....xi.... ........fi/xi........ 1 |--------- 3 2 2 2/2 = 1, 3 |--------- 5 4 4 4/4 = 1, 5 |--------- 7 8 6 8/6 = 1, 7 |--------- 9 4 8 4/8 = 0, 9 |--------- 11 2 10 2/10 = 0, total 20 4,
Resp: 20 / 4,03 = 4,
OBS: A média harmônica não aceita valores iguais a zero como dados de uma série.
- A igualdade g = h.= ....só ocorrerá quando todos os valores da série forem iguais.
OBS: Quando os valores da variável não forem muito diferentes, verifica-se aproximadamente a seguinte relação:
g = ( .+ h ) /. 2
- Demonstraremos a relação acima com os seguintes dados:
z = { 10,1 ; 10,1 ; 10,2 ; 10,4 ; 10,5 }
Média aritmética = 51,3 / 5 = 10, Média geométrica= = 10,
Média harmônica = 5 / 0,4874508 = 10,
Comprovando a relação: 10,2600 + 10,2574 / 2 = 10,2587 = média geométrica .
MODA - Mo
É o valor que ocorre com maior freqüência em uma série de valores.
- Desse modo, o salário modal dos empregados de uma fábrica é o salário mais comum, isto é, o salário recebido pelo maior número de empregados dessa fábrica.
. A Moda quando os dados não estão agrupados
- A moda é facilmente reconhecida: basta, de acordo com definição, procurar o valor que mais se repete.
Ex: Na série { 7 , 8 , 9 , 10 , 10 , 10 , 11 , 12 } a moda é igual a 10.
- Há séries nas quais não exista valor modal, isto é, nas quais nenhum valor apareça mais vezes que outros.
Ex: { 3 , 5 , 8 , 10 , 12 } não apresenta moda. A série é amodal.
- .Em outros casos, pode haver dois ou mais valores de concentração. Dizemos, então, que a série tem dois ou mais valores modais.
Ex: { 2 , 3 , 4 , 4 , 4 , 5 , 6 , 7 , 7 , 7 , 8 , 9 } apresenta duas modas : 4 e 7. A série é bimodal. .
A Moda quando os dados estão agrupados
a) Sem intervalos de classe: Uma vez agrupados os dados, é possível determinar imediatamente a moda: basta fixar o valor da variável de maior freqüência.
Ex: Qual a temperatura mais comum medida no mês abaixo:
Temperaturas Freqüência 0º C 3 1º C 9 2º C 12 3º C 6
Resp: 2º C é a temperatura modal, pois é a de maior freqüência. . b) Com intervalos de classe: A classe que apresenta a maior freqüência é denominada classe modal. Pela definição, podemos afirmar que a moda , neste caso, é o valor dominante que está compreendido entre os limites da classe modal. O método mais simples para o cálculo da moda consiste em tomar o ponto médio da classe modal. Damos a esse valor a denominação de moda bruta.
Mo = ( l + L ) / 2**
onde l* = limite inferior da classe modal e L =* limite superior da classe modal.
Ex: Calcule a estatura modal conforme a tabela abaixo.
Classes (em cm) Freqüência 54 |------------ 58 9 58 |------------ 62 11 62 |------------ 66 8 66 |------------ 70 5
Resposta: a classe modal é 58|-------- 62 , pois é a de maior freqüência. l = 58* e L = 62 Mo = (58+62) / 2 = 60 cm* ( este valor é estimado, pois não conhecemos o valor real da moda).
Ex: Calcule a mediana da série { 1, 3, 0, 0, 2, 4, 1, 3, 5, 6 } 1º - ordenar a série { 0, 0, 1, 1, 2, 3, 3, 4, 5, 6 } n = 10 logo a fórmula ficará: [( 10/2 ) + (10/2 + 1)] / 2 [( 5 + 6)] / 2 será na realidade (5º termo+ 6º termo) / 2 5º termo = 2 6º termo = 3 A mediana será = (2+3) / 2 ou seja, Md = 2,5. A mediana no exemplo será a média aritmética do 5º e 6º termos da série.
Notas:
- Quando o número de elementos da série estatística for ímpar, haverá coincidência da mediana com um dos elementos da série.
- Quando o número de elementos da série estatística for par, nunca haverá coincidência da mediana com um dos elementos da série. A mediana será sempre a média aritmética dos 2 elementos centrais da série.
- Em uma série a mediana, a média e a moda não têm, necessariamente, o mesmo valor.
- A mediana, depende da posição e não dos valores dos elementos na série ordenada. Essa é uma da diferenças marcantes entre mediana e média ( que se deixa influenciar, e muito, pelos valores extremos). Vejamos:
Em { 5, 7, 10, 13, 15 } a média = 10 e a mediana = 10 Em { 5, 7, 10, 13, 65 } a média = 20 e a mediana = 10
- isto é, a média do segundo conjunto de valores é maior do que a do primeiro, por influência dos valores extremos, ao passo que a mediana permanece a mesma.
A mediana em dados agrupados
a) Sem intervalos de classe: Neste caso, é o bastante identificar a freqüência acumulada imediatamente superior à metade da soma das freqüências. A mediana será aquele valor da variável que corresponde a tal freqüência acumulada.
Ex.: conforme tabela abaixo:
Variável xi Freqüência fi Freqüência acumulada 0 2 2 1 6 8 2 9 17 3 13 30 4 5 35 total 35
- Quando o somatório das freqüências for ímpar o valor mediano será o termo de ordem dado pela fórmula : .
- Como o somatório das freqüências = 35 a fórmula ficará: ( 35+1 ) / 2 = 18º termo = 3 ..
- Quando o somatório das freqüências for par o valor mediano será o termo de ordem dado pela fórmula:
Ex: Calcule Mediana da tabela abaixo:
Variável xi Freqüência fi Freqüência acumulada 12 1 1 14 2 3 15 1 4 16 2 6 17 1 7 20 1 8 total 8
- Aplicando fórmula acima teremos:[(8/2)+ (8/2+1)]/2 = (4º termo + 5º termo) / 2 = (15 +
- / 2 = 15,
b) Com intervalos de classe: Devemos seguir os seguintes passos:
1º) Determinamos as freqüências acumuladas ;
2º) Calculamos ;
3º) Marcamos a classe correspondente à freqüência acumulada imediatamente superior à
. Tal classe será a classe mediana ;
4º) Calculamos a Mediana pela seguinte fórmula:. M Md = l* + [( - FAA ) x h] / f
l* = é o limite inferior da classe mediana. FAA = é a freqüência acumulada da classe anterior à classe mediana. f* = é a freqüência simples da classe mediana. h = é a amplitude* do intervalo da classe mediana.
Ex : classes freqüência = fi Freqüência acumulada 50 |------------ 54 4 4 54 |------------ 58 9 13 58 |------------ 62 11 24 62 |------------ 66 8 32 66 |------------ 70 5 37 70 |------------ 74 3 40 total 40
= 40 / 2 =. 20 ........... logo.a classe mediana será 58 |---------- 62
