A INTEGRAL DE LEBESGUE
por
Luis Adauto Medeiros Eliel Amancio de Mello
Professor da UFRJ Professor da UFPb
SEXTA EDIC¸ ˜
AO
Dedicado `a Mem´oria de Alv´ercio Moreira Gomes
(1916-2003)
Instituto de Matem´atica - UFRJ
Rio de Janeiro – RJ
2008
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A integral de Lebesgue, Notas de estudo de Matemática
A integral de Lebesgue
Tipologia: Notas de estudo
2016
1 / 179
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A INTEGRAL DE LEBESGUE
por
Luis Adauto Medeiros Eliel Amancio de Mello
Professor da UFRJ Professor da UFPb
SEXTA EDIC¸ ˜AO
Dedicado `a Mem´oria de Alv´ercio Moreira Gomes
(1916-2003)
Instituto de Matem´atica - UFRJ Rio de Janeiro – RJ
2008
M488L
Medeiros, Luis Adauto da Justa, 1926 - A Integral de Lebesgue/ Luis Adauto da Justa Medeiros, Eliel Amancio de Mello - 6. Ed. - Rio de Janeiro: UFRJ. IM, 2008. 174p. Inclui ´ındice e bibliografia.
- Lebesgue, Integral de - Tese. I. Mello, Eliel Amancio de. II. Universidade Federal do Rio de Janeiro. Instituto de Matem´atica. III. T´ıtulo. ISBN: 85-87674-11-0 CDD-20a^ 515.
PREF ´ACIO DA 4a¯ EDIC¸ ˜AO
O presente texto vem sendo adotado na disciplina “Integral de Le- besgue”, ministrada no primeiro semestre da P´os-Gradua¸c˜ao do Ins- tituto de Matem´atica da UFRJ. Com a re-integra¸c˜ao do Professor Alv´ercio Moreira Gomes `a Uni- versidade em 1980, ap´os o afastamento de suas atividades docentes em 1964, ele passou a colaborar, de modo substancial, na P´os-Gradua¸c˜ao do IM. Ao ministrar esta disciplina, seguindo o presente texto, suge- riu v´arias modifica¸c˜oes que contribuiram, fortemente, para seu aper- fei¸coamento e clareza. Podemos citar, entre v´arias altera¸c˜oes, as se- guintes:
i) Na defini¸c˜ao da classe L(a, b), fun¸c˜oes integr´aveis, observou que S 1 ´e apenas um cone convexo, sendo L(a, b) o espa¸co vetorial por ele gerado. Da´ı decorre que L(a, b) ´e constitu´ıdo pelas diferen¸cas v − u de objetos de S 1 , como foi definido por F. Riesz. Esta ma- neira de definir L(a, b) torna mais claro e compreens´ıvel o m´etodo adotado.
ii) Incluiu, no texto, o Teorema de Lebesgue caracterizando as fun¸c˜oes integr´aveis `a Riemann.
iii) Corrigiu a demonstra¸c˜ao do teorema de Egoroff tornando-a mais compreens´ıvel e completa.
iv) Reescreveu, modificando, o Cap´ıtulo 5 sobre Deriva¸c˜ao. Por meio do teorema de recobrimento de Vitali, deu outra demonstra¸c˜ao ao teorema fundamental do C´alculo, tornando o cap´ıtulo trans- parente.
Com estas modifica¸c˜oes profundas na edi¸c˜ao anterior, apresenta- se esta quarta edi¸c˜ao, materializando um sonho que aliment´avamos, quando trabalh´avamos no Departamento de Matem´atica da Faculdade
i
PREF ´ACIO
E indiscut´^ ´ ıvel a necessidade do estudo da teoria da integral na forma¸c˜ao dos matem´aticos com tendˆencia para a An´alise Matem´atica e suas aplica¸c˜oes. Por este motivo, surge o problema de como le- var ao conhecimento dos estudantes, de modo simples e intelig´ıvel, as no¸c˜oes iniciais daquela teoria, as quais aparecem sob o t´ıtulo: Inte- gral de Lebesgue. Na realidade, deseja-se, nesta etapa, fazer um estudo cr´ıtico e introdut´orio, seguindo Lebesgue, da no¸c˜ao de inte- gral, previamente idealizada por Cauchy, Riemann, Darboux, assim como de suas aplica¸c˜oes ao estudo da convergˆencia de sucess˜oes de fun¸c˜oes, bem como uma an´alise do teorema fundamental sobre primi- tivas. Entretanto, esta fase que chamar´ıamos preparat´oria a teoria da integral, sempre teve dificuldades pedag´ogicas, as quais se agravaram nos ´ultimos anos em nossas universidades. Em facea necessidade, cada vez maior, da no¸c˜ao de integral segundo Lebesgue, para que o estudante possa prosseguir o estudo da An´alise Matem´atica e suas aplica¸c˜oes, necess´ario foi procurar um m´etodo simples de tornar esta no¸c˜ao presente na forma¸c˜ao dos matem´aticos, com tendˆencia para a An´alise Matem´atica, o mais cedo poss´ıvel. V´arias foram as tentati- vas, sendo uma, razoavelmente simples, adotada no presente texto, idealizada por F. Riesz. Tivemos a oportunidade de ensinar pelo m´etodo original de Le- besgue, segundo o qual faz-se a constru¸c˜ao da medida, dos conjuntos mensur´aveis e posteriormente define-se a integral. Para os estudantes, tal m´etodo parecia desvinculado de seus estudos anteriores e por isso mesmo trazia certa d´uvida, n˜ao compreens˜ao nem localiza¸c˜ao das no- vas id´eias no contexto de sua forma¸c˜ao. Experimentamos o m´etodo de Riesz aqui adotado, nos parecendo mais intelig´ıvel ao estudante, al´em de ir rapidamente `as no¸c˜oes fundamentais e concluir, sem dificuldade, as rela¸c˜oes entre a integral e as sucess˜oes de fun¸c˜oes. A partir de certo ponto os m´etodos de Lebesgue e Riesz se confundem e se equivalem.
iii
A fim de que o leitor tenha uma id´eia do m´etodo de Riesz ´e inte- ressante compar´a-lo ao processo adotado por Cantor, para construir os n´umeros reais a partir de sucess˜oes de n´umeros racionais. De modo um tanto vago, a constru¸c˜ao de Riesz obedece a mesma linha de id´eias, que descreveremos suscintamente. Considera-se o espa¸co vetorial das fun¸c˜oes escada, no qual define-se, de maneira ´obvia, uma no¸c˜ao de in- tegral. Considera-se a classe das sucess˜oes crescentes de fun¸c˜oes escada cujas integrais s˜ao limitadas. Demonstra-se que tais sucess˜oes conver- gem. Define-se uma nova cole¸c˜ao de fun¸c˜oes limites de sucess˜oes nas condi¸c˜oes anteriores. Estende-se a no¸c˜ao de integralas fun¸c˜oes limites. Amplia-se a nova cole¸c˜ao obtida, por inclus˜ao da diferen¸ca de seus ele- mentos, fazendo-se nova extens˜ao da no¸c˜ao de integral. A classe assim obtida, ´e a das fun¸c˜oes integr´aveis a Lebesgue e a integral obtida na nova cole¸c˜ao ´e a de Lebesgue. Nesta constru¸c˜ao desempenha papel fundamental o teorema de Beppo-Levi. Ele afirma que se repetirmos o mesmo processo na classe obtida de fun¸c˜oes integr´aveisa Lebesgue, n˜ao sairemos desta cole¸c˜ao. Resta-nos localizar este texto em nosso Ensino Universit´ario. Dir´ıa- mos que ap´os um curso de An´alise Matem´atica ao n´ıvel da referˆencia [6], ´e compreens´ıvel um curso baseado no presente livro. E acon-´ selh´avel que ap´os a leitura deste texto os estudantes vejam algumas aplica¸c˜oes, como por exemplo: s´eries e transforma¸c˜oes de Fourier, ini- cia¸c˜ao aos espa¸cos de Hilbert com ˆenfase na topologia do espa¸co L^2 , demonstra¸c˜ao de certos teoremas de existˆencia para equa¸c˜oes diferen- ciais em hip´oteses gerais de integrabilidade, etc. Apesar do sum´ario que acompanha o presente livro, n˜ao ser´a perda de tempo um breve resumo do seu conte´udo. Inicia-se com a no¸c˜ao de conjunto de medida nula, para, a seguir, definir-se a no¸c˜ao de con- vergˆencia quase sempre de fun¸c˜oes escada. H´a duas proposi¸c˜oes, de- nominadas Primeiro e Segundo Lema Fundamental, sobre as quais se baseia a defini¸c˜ao de integral. Eles devem ser lidos cuidadosa-
iv
INTRODUC¸ ˜AO
O m´etodo de calcular ´areas e volumes de figuras geom´etricas com- plicadas, por meio de ´areas e volumes de figuras mais simples, j´a era usado por Arquimedes (287-212 A.C.). Tal id´eia foi o germe do que se convencionou chamar c´alculo infinitesimal. Embora esta id´eia seja t˜ao antiga, sua formaliza¸c˜ao matem´atica, denominada teoria da inte- gra¸c˜ao, teve o seu apogeu no s´eculo passado. Podemos afirmar que o conceito de integral aparece, de fato, em forma embrion´aria, nos trabalhos de Arquimedes, ao utilizar o m´etodo de exaust˜ao criado por Eudoxo (408-355 A.C.), no c´alculo do comprimento de curvas, ´areas e volumes de figuras geom´etricas. Newton (1642-1727) e Leibniz (1646-1716), atualmente tidos como os inventores do C´alculo Diferencial, aperfei¸coaram o m´etodo de Ar- quimedes, lan¸cando as bases do C´alculo Integral. Entretanto, Newton e Leibniz n˜ao possuiam com clareza a no¸c˜ao de limite, deixando du- vidosos e obscuros v´arios pontos de seus trabalhos, com a introdu¸c˜ao do conceito de infinit´esimo. Posteriormente, com os trabalhos de Cauchy (1789-1857) e Rie- mann (1826-1866) o conceito de integral foi estabelecido em bases rigorosas, tornando-se um instrumento poderoso, para a ´epoca, na resolu¸c˜ao de in´umeros problemas. Durante muito tempo foi desenvolvida uma teoria da integra¸c˜ao ba- seada nas id´eias de Riemann. Esta teoria, entretanto, cont´em certos inconvenientes que a tornam inadequada ao estudo de v´arios proble- mas da An´alise Matem´atica. No Cap´ıtulo 1 deste texto traremos a luz alguns deles, no par´agrafo dedicadoa integral de Riemann. Evi- dentemente, com fortes hip´oteses sobre as fun¸c˜oes em jogo, alguns dos inconvenientes mencionados desaparecem. Todavia, cumpre-nos notar que, tanto do ponto de vista das aplica¸c˜oes como do ponto de vista est´etico, os resultados contidos em uma teoria matem´atica devem ser
1
resultou o problema pedag´ogico de saber como introduzir, o mais cedo poss´ıvel no ensino acadˆemico, as id´eias de Lebesgue. V´arias foram as tentativas de obter outra defini¸c˜ao da integral de Lebesgue. Entre elas est˜ao algumas que surtiram efeito, tais como a de W.H. Young (1863-1942), baseada no m´etodo das sucess˜oes mon´otonas; a de L. To- nelli (1885-1946), por meio das fun¸c˜oes quase cont´ınuas e, a que teve maior sucesso, n˜ao apenas do ponto de vista de generaliza¸c˜oes como tamb´em do ponto de vista pedag´ogico, foi a idealizada por F. Riesz (1880-1956), a qual ser´a usada neste texto. (Cf. [14]). Dos m´etodos de definir a integral de Lebesgue o que penetrou no ensino foi o original, criado por Lebesgue, baseado na no¸c˜ao de medida de conjuntos. Tal procedimento foi sempre de dif´ıcil assimila¸c˜ao, por parte dos estudantes, porque parecia desvinculado do conhecimento anterior da no¸c˜ao de integral de Cauchy e Riemann. Acreditamos que o caminho originalmente seguido por Lebesgue, isto ´e, desenvol- ver a teoria da medida dos conjuntos para depois definir a integral, tornar-se-ia natural, na gradua¸c˜ao, se fosse feita a rela¸c˜ao entre a integral de Riemann e a medida de Jordan. Esclarecemos esta ob- serva¸c˜ao. Limitando-nos ao caso de fun¸c˜oes reais de uma vari´avel real, identifica-se a integral de Riemann de uma fun¸c˜ao limitada n˜ao negativa u : [a, b] → R, com a medida de Jordan do conjunto dos pares (x, y) do R^2 tais que a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ u(x) (este con- junto ´e denominado conjunto ordenada de u). Assim, uma maneira de introduzir a integral de Lebesgue, relacionada imediatamente com a integral de Riemann, seria generalizar a medida de Jordan dos con- juntos do R^2 , obtendo-se a medida de Lebesgue de tais conjuntos e definir u : [a, b] → R limitada, como integr´avel a Lebesgue quando seu conjunto ordenada fosse mensur´avela Lebesgue. A integral de Lebes- gue de u seria, desta forma, a medida de Lebesgue de seu conjunto ordenada. Assim, facilmente obter´ıamos a rela¸c˜ao entre as integrais de Riemann e de Lebesgue. Este procedimento, entretanto, n˜ao ´e
3
aconselh´avel, pois neste caso ter´ıamos de desenvolver uma teoria da medida de Jordan, com pouca utilidade no est´agio atual da An´alise Matem´atica. Ali´as, n˜ao devemos tamb´em perder muito tempo en- sinando propriedades particulares a integral de Riemann. Devemos, todavia, chamar a aten¸c˜ao dos estudantes para alguns de seus aspectos que servem de motiva¸c˜ao para o estudo da integral de Lebesgue. Da experiˆencia que acumulamos no ensino da Matem´atica em nos- sas Universidades concluimos que, o m´etodo de Riesz, j´a mencionado, ´e de f´acil assimila¸c˜ao por parte dos estudantes que, uma vez iniciados e motivados no estudo da integral de Lebesgue por este m´etodo, po- der˜ao, posteriormente, estudar outros m´etodos de acordo com os seus interesses e necessidades. O m´etodo de Riesz vem exposto tamb´em em [16] e [17]. O texto que aqui apresentamos ´e uma exposi¸c˜ao deste m´etodo, baseada na bibliografia citada, organizada ao nosso gosto e escrita, principalmente, visando os estudantes que nunca tiveram con- tato algum com a no¸c˜ao de integral de Lebesgue.
4
6 Fun¸c˜oes Escada Cap. 1
(i) E ⊂
k=
Ik , isto ´e, {Ik} ´e um recobrimento de E.
(ii)
k=
amp(Ik) < ε.
Decorre imediatamente desta defini¸c˜ao que todo subconjunto de um conjunto de medida nula tem ele mesmo medida nula. Neste texto entendemos como enumer´avel uma cole¸c˜ao que ´e finita ou equipotente ao conjunto N dos n´umeros naturais. 1.2 Exemplo. Seja E = {r 1 , r 2 ,... , rn,... } um subconjunto enu- mer´avel da reta real R. Para cada ε > 0, consideremos os intervalos In = {x ∈ R; rn − (^2) nε+2 < x < rn + (^2) nε+2 } para n = 1, 2 ,.... A fam´ılia {In}n∈N ´e um recobrimento enumer´avel de E e a amplitude de cada In ´e dada por (^2) nε+1 · Logo, a soma das amplitudes dos In ´e menor que ε. Conclui-se que qualquer conjunto enumer´avel tem medida nula. Como conseq¨uˆencia qualquer conjunto finito tem medida nula. 1.3 Exemplo. Consideremos um intervalo compacto I = [a, b], a 6 = b, e seja {Ik}k∈N um recobrimento enumer´avel de I por intervalos abertos. Do teorema de Borel-Lebesgue podemos extrair do recobrimento dado um sub-recobrimento finito {J 1 , J 2 ,... , Jn}. E claro que´
(1.1) b − a ≤
∑^ n
j=
amp(Jj ) ≤
∑^ ∞
k=
amp(Ik).
Decorre de (1.1) que, se 0 < ε < b − a, a soma das amplitudes dos intervalos de (Ik)k∈N ´e maior ou igual a ε. Portanto I n˜ao tem medida nula. 1.4 Proposi¸c˜ao. A uni˜ao de uma fam´ılia enumer´avel de conjuntos de medida nula possui medida nula. Demonstra¸c˜ao: Seja {Ek}k∈N uma fam´ılia de conjuntos de medida nula. Para cada ε > 0 e para cada k ∈ N existe um recobrimento
Se¸c˜ao 1.2 A integral de Riemann 7
enumer´avel de Ek por intervalos abertos {Ink }n∈N , tal que
∑^ ∞
n=
amp(Ink ) < ε 2 k^
Assim, o conjunto E =
k=
Ek ´e recoberto pela fam´ılia de intervalos
{Ink }k,n∈N que ainda ´e enumer´avel e por (1.2) tem-se:
∑^ ∞
k=
∑^ ∞
n=
amp(Ink ) <
∑^ ∞
k=
ε 2 k^
= ε,
mostrando que E tem medida nula. Quando uma propriedade ´e v´alida em um conjunto E exceto em um subconjunto de E com medida nula, diz-se que a propriedade vale quase sempre em E. Por exemplo, suponha que u : (a, b) → R seja uma fun¸c˜ao cont´ınua exceto nos racionais de (a, b). Resulta do Exemplo 1.2 que u ´e cont´ınua quase sempre em (a, b).
1.2 A integral de Riemann
Embora o prop´osito desta se¸c˜ao seja fazer uma revis˜ao das proprieda- des da integral de Riemann, esta n˜ao ser´a pr´e-requisito para a com- preens˜ao da integral de Lebesgue como ser´a apresentada neste texto. Tal revis˜ao, no entanto, ser´a feita para facilitar a sua compara¸c˜ao com a integral de Lebesgue e tamb´em analisar com alguns detalhes as deficiˆencias da integral de Riemann, conforme j´a nos referimos na introdu¸c˜ao deste texto. Seja (a, b) um intervalo aberto e limitado de R (salvo men¸c˜ao expl´ıcita em contr´ario todos os conjuntos considerados daqui at´e o fim do Cap´ıtulo 2 s˜ao subconjuntos de (a, b)). Toda cole¸c˜ao finita {x 0 ,... , xk} de pontos de R tais que a = x 0 < x 1 < · · · < xk = b de- termina k subintervalos I 1 = (x 0 , x 1 ), I 2 = (x 1 , x 2 ),... , Ik = (xk− 1 , xk)
Se¸c˜ao 1.2 A integral de Riemann 9
inferior e superior denominado integral de Riemann de u em (a, b) e representado por (^) ∫ b
a
u(x) dx.
E claro que, para^ ´ u ser integr´avel `a Riemann em (a, b) ´e necess´ario e suficiente que, para cada ε > 0, exista uma decomposi¸c˜ao D de (a, b) satisfazendo a condi¸c˜ao S(u, D) − s(u, D) < ε. Na realidade Bernhard Riemann n˜ao introduziu em sua defini¸c˜ao os conceitos de integral inferior e integral superior. Estes foram introdu- zidos por G. Darboux num artigo intitulado “M´emoire sur les fonctions discontinues”, publicado em Ann. Ecole Norm.´ Sup. (2) IV (1875) pp. 57-112, raz˜ao porque tais integrais s˜ao conhecidas como integrais superior e inferior de Darboux. Em sua defini¸c˜ao, Riemann considera,
para cada decompos¸c˜ao D, a soma S =
∑k j=
∆j u(xj− 1 + εj ∆j ) onde
∆j = xj − xj− 1 , 0 ≤ εj ≤ 1; se S converge para um limite finito quando ∆ = max{∆j } tende a zero, ele diz que u ´e integr´avel e o refe- rido limite ´e a integral de u em (a, b). Demonstra-se que as defini¸c˜oes de Riemann e de Darboux s˜ao equivalentes e as integrais de u obtidas segundo ambas as defini¸c˜oes coincidem.
1.5 Exemplo. Seja I = (0, 1) e u a fun¸c˜ao definida em I por
u(x) =
1 se x ´e um racional de I 0 se x ´e um irracional de I. Seja D uma decomposi¸c˜ao de I pelos pontos 0 = x 0 < x 1 < · · · < xk = 1. Como cada intervalo Ij = (xj− 1 , xj ), j = 1, 2 ,... , k, possui pontos racionais e pontos irracionais, resulta que mj = 0 e Mj = 1 para todo j = 1, 2 ,... , k. Logo,
∫
−
1
0
u(x) dx = 0 e
∫^ −
0
1 u(x) dx = 1,
10 Fun¸c˜oes Escada Cap. 1
portanto u n˜ao ´e integr´avel segundo Riemann em (a, b).
1.6 Exemplo. Seja u : (a, b) → R limitada e crescente. Ent˜ao u ´e integr´avel segundo Riemann em (a, b). (Aqui e em todo este texto uma fun¸c˜ao u diz-se crescente se para todo x > y tem-se u(x) ≥ u(y); quando valer sempre a desigualdade estrita diremos que u ´e estrita- mente crescente. Considera¸c˜oes an´alogas s˜ao feitas no caso decres- cente). A id´eia para provar a validade da afirmativa do Exemplo 1.6 ´e esbo¸cada como segue. Fixado um k ∈ N, considere a decomposi¸c˜ao D de I obtida por meio dos pontos xj = a + j b−k a, j = 0, 1 ,... , k. Considere as somas s(u, D) e S(u, D). Simples ´e verificar que para cada ε > 0 a diferen¸ca S(u, D) − s(u, D) ´e menor do que ε para k sufi- cientemente grande o que implica a integrabilidade segundo Riemann da fun¸c˜ao u.
1.7 Exemplo. Toda fun¸c˜ao cont´ınua e limitada ´e integr´avel segundo Riemann. A afirmativa do exemplo anterior ´e na verdade, um caso particular do resultado a seguir.
1.8 Teorema. Uma condi¸c˜ao necess´aria e suficiente para que uma fun¸c˜ao limitada, u : (a, b) → R, seja integr´avel segundo Riemann em (a, b) ´e que u seja cont´ınua quase sempre em (a, b).
Demonstra¸c˜ao: Para demonstrar esse resultado, recorde-se que: a) a oscila¸c˜ao, ω(J), de u no subintervalo J de (a, b) ´e a diferen¸ca entre o supremo e o ´ınfimo de u em J; b) a oscila¸c˜ao ω(x) de u no ponto x ∈ (a, b) ´e o n´umero inf {ω(J); J ⊂ (a, b), x ∈ J}; c) u ´e cont´ınua no ponto x se e s´o se ω(x) = 0; d) designando por E o conjunto das des- continuidades de u em (a, b) e pondo Em = {x ∈ (a, b); ω(x) ≥ 1 /m}
tem-se E =
m=
Em. Isto posto, mostremos que a condi¸c˜ao ´e necess´aria. Seja, para isto, u integr´avel `a Riemann em (a, b). Pelo que se acaba de dizer, para