Introduc¸ ˜
ao `
a Teoria da Medida e
Integral de Lebesgue
Primeira Edi¸c˜ao V0.8
5 de Janeiro de 2010
Marco A. P. Cabral,
PhD Indiana University, EUA
Depto. de Matem´atica Aplicada
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Rio de Janeiro – RJ – Brasil
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Integral de Lebesgue, Notas de estudo de Matemática
Conteúdo sobre integral, desenvolvido pelo professor do IM-UFRJ.
Tipologia: Notas de estudo
2013
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Introduc¸ ˜ao `a Teoria da Medida e
Integral de Lebesgue
Primeira Edi¸c˜ao V0. 5 de Janeiro de 2010
Marco A. P. Cabral,
PhD Indiana University, EUA Depto. de Matem´atica Aplicada Universidade Federal do Rio de Janeiro Rio de Janeiro – RJ – Brasil
ii
iv
Sum´ario
- 1 Espa¸co com Medida
- 1.1 σ-Algebras´
- 1.2 Espa¸cos com Medida
- 1.3 Medida Exterior e M´etodo de Carath´eodory
- 1.4 Medida de Lebesgue em R
- 1.5 Exerc´ıcios
- 1.5.1 σ-Algebras´
- 1.5.2 Espa¸cos com Medida
- 1.5.3 Medida Exterior e M´etodo de Carath´eodory
- 1.5.4 Medida de Lebesgue em R
- 2 Integra¸c˜ao
- 2.1 Fun¸c˜oes Mensur´aveis
- 2.2 Defini¸c˜ao da Integral
- 2.3 Teoremas de Convergˆencia
- 2.4 Integral de Riemann × Lebesgue
- 2.5 Teorema de Radon-Nikod´ym e Fubini
- 2.6 Outras Constru¸c˜oes da Integral
- 2.7 Exerc´ıcios
- 2.7.1 Fun¸c˜oes Mensur´aveis
- 2.7.2 Defini¸c˜ao da Integral
- 2.7.3 Teoremas de Convergˆencia
- 2.7.4 Integral de Riemann × Lebesgue
- 2.7.5 Teorema de Radon-Nikod´ym e Fubini
- 3 Probabilidade e Medida
- Bibliografia
Cap´ıtulo 1
Espac¸o com Medida
Uma medida num conjunto X ´e uma fun¸c˜ao que atribui um n´umero real n˜ao-negativo para subconjuntos de X. Pode ser interpretada como ´area, tamanho, massa, volume, capacidade t´ermica ou qualquer propriedade aditiva, i.e., uma propriedade tal que a medida da uni˜ao de dois conjuntos disjuntos ´e igual a soma de suas medidas. Um exemplo importante ´e a medida de Lebesgue no espa¸co euclidiano, que atribui comprimento, ´area e volume, respectivamente, a subconjuntos de Rn^ com n = 1, 2 , 3. Podemos enxergar a origem do conceito de medida no conceito de contagem. De fato, a ideia de contagem pode ser generalizada de dois modos: (a) como cardinalidade, ou (b) como medida. Existem conjuntos que s˜ao pequenos do ponto de vista da medida mas grandes do ponto de vista da cardinalidade. Um exemplo ´e Q, que possui medida (de Lebesgue) 0 mas possui infinitos pontos (cardinalidade infinita). Gostar´ıamos de atribuir uma medida para cada subconjunto de X mas o axioma da es- colha implica, de forma n˜ao-trivial, que existem subconjuntos de R (conjuntos de Vitali^1 , ver Exerc´ıcio 40, p.17) aos quais n˜ao podemos atribuir medida quando ela generaliza o compri- mento de intervalos de R. De fato ´e imposs´ıvel atribuir comprimento a todos subconjuntos de R preservando a aditividade e invariˆancia por transla¸c˜ao. Por isso temos que considerar uma cole¸c˜ao especial (usualmente menor) de subconjuntos de X onde a medida est´a definida, a chamada σ-´algebra de subconjuntos de X. Elementos da σ-´algebra s˜ao chamados de conjuntos mensur´aveis. Uma fun¸c˜ao ´e dita mensur´avel se a imagem inversa de todo mensur´avel ´e um mensur´avel. Decidimos apresentar a Teoria Geral da Medida, ao inv´es de medida de Lebesgue somente, pois a teoria geral ´e fundamental para a teoria de probabilidade e ´e mais f´acil que a constru¸c˜ao da medida de Lebesgue. De fato, para construir a medida de Lebesgue ´e necess´ario antes introduzir medida exterior e o m´etodo de Carath´eodory. Em resumo, nas duas primeiras se¸c˜oes definimos σ-´algebra e espa¸co de medida e nas duas ´ultimas se¸c˜oes apresentamos medida exterior (uma forma de construir medidas n˜ao-triviais) e a medida de Lebesgue.
(^1) Giuseppe Vitali: 1875 Ravenna, Italy – 1932 Bologna, Italy.
2 CAP´ITULO 1. ESPAC¸O COM MEDIDA
1.1 σ-´Algebras
O conceito usual de comprimento, ´area e volume se aplica somente a conjuntos com uma certa regularidade. Por isso para definir o conceito de medida temos que come¸car definindo uma classe de subconjuntos que podem ser medidos, a chamada σ-´algebra.
DEFINIC¸ ˜AO 1.1 Uma σ-´algebra de subconjuntos de X ´e uma fam´ılia Σ de subconjuntos de X tais que: (a) ∅ ∈ Σ; (b) para todo E ∈ Σ, seu complemento E{^ = X \ E ∈ Σ; (c) para toda sequˆencia 〈En〉n∈N em Σ, sua uni˜ao
n∈N
En ∈ Σ.
Elementos de Σ s˜ao chamados de conjuntos mensur´aveis.
Observa¸c˜ao 1.1 Uma ´algebra de conjuntos ´e um subconjunto fechado pelas opera¸c˜oes de complementa¸c˜ao e por uni˜ao finita. O σ da σ-´algebra ´e porque ela ´e fechada tamb´em pela uni˜ao enumer´avel. Note que, ao contr´ario da uni˜ao, n˜ao consideramos a complementa¸c˜ao enumer´avel (porque?).
Exemplo 1.1 Existem duas σ-´algebra de subconjuntos de X que s˜ao canˆonicas: (a) Σ = { ∅, X }, a menor σ-´algebra de X; (b) P(X), a maior σ-´algebra de X.
Exemplo 1.2 Considere X = { 1 , 2 , 3 , 4 }. S˜ao σ-´algebra de X (porque?): (a) Σ = { ∅, { 1 }, { 2 , 3 , 4 }, X }; (b) Σ = { ∅, { 1 , 2 }, { 3 , 4 }, X }.
Exemplo 1.3 O conjunto Σ = {A ∈ P(N); A ´e infinito} ∪ { ∅ } satisfaz algumas das propriedades (quais?) mas n˜ao ´e uma σ-´algebra.
Exemplo 1.4 O conjunto Σ = { ∅, Q, Q{, R } ´e uma σ-´algebra de R (porque?).
Exemplo 1.5 O conjunto Σ = {A ∈ P(R); A ou A{^ ´e enumer´avel} ´e uma σ-´algebra de R (porque?).
Exemplo 1.6 O conjunto Σ = {A ∈ P(R); A ´e um intervalo} n˜ao ´e uma σ-´algebra de R (porque?).
A prova do pr´oximo lema ´e um exerc´ıcio f´acil deixado para o leitor.
LEMA 1.2 (Propriedades Elementares de uma σ-´algebra) Se Σ ´e uma σ-´algebra de subconjuntos de X, ent˜ao para todo E, F ∈ Σ: (a) E ∪ F ∈ Σ; (b) E ∩ F ∈ Σ; (c) E \ F ∈ Σ; (d) se 〈En〉n∈N ´e uma sequˆencia em Σ, ent˜ao
n∈N
En ∈ Σ.
4 CAP´ITULO 1. ESPAC¸O COM MEDIDA
DEFINIC¸ ˜AO 1.6 A σ-´algebra gerada pela fam´ılia de abertos de R (ou Rn) ´e conhecida como σ-´algebra de Borel. Seus elementos s˜ao os conjuntos de Borel^2 ou borelianos.
Observa¸c˜ao 1.2 Veremos no Exerc´ıcio 4, p.13 que a σ-´algebra de Borel de R ´e gerada tamb´em pelos intervalos abertos ou fechados, limitados ou ilimitados.
Esta defini¸c˜ao ´e generalizada para um espa¸co topol´ogico (conjunto munido de uma topologia, um subconjunto das partes satisfazendo algumas propriedades, similar a defini¸c˜ao de σ-´algebra) qualquer. Caso n˜ao saiba o que ´e um espa¸co topol´ogico, n˜ao se preocupe, pois esta defini¸c˜ao n˜ao ser´a utilizada neste texto.
DEFINIC¸ ˜AO 1.7 Seja X um espa¸co topol´ogico. A σ-´algebra gerada pela fam´ılia de conjun- tos abertos de X ´e conhecida como σ-´algebra de Borel. Seus elementos s˜ao os conjuntos de Borel^3 ou borelianos de X.
1.2 Espa¸cos com Medida
A teoria da medida foi desenvolvida no final do s´eculo XIX e no in´ıcio do s´eculo XX por Emile Borel, Henri Lebesgue^4 , Johann Radon^5 and Maurice Fr´echet^6 , entre outros. As principais aplica¸c˜oes s˜ao:
- na fundamenta¸c˜ao da integral de Lebesgue, que generaliza (com vantagens) a integral de Riemann.
- na axiomatiza¸c˜ao da teoria de probabilidade feita por Andrey Kolmogorov;
- na defini¸c˜ao de integral em espa¸cos mais gerais do que os euclidianos.
DEFINIC¸ ˜AO 1.8 Dizemos que a sequˆencia 〈En〉n∈N ´e disjunta se nenhum ponto pertence a mais do que um En, isto ´e, se Em
En = ∅ para todos m, n ∈ N distintos. De forma an´aloga, se 〈Ei〉i∈I ´e uma fam´ılia de conjuntos indexada por um conjunto arbitr´ario I, ent˜ao ele ´e disjunto se Ei
Ej = ∅ para todos i, j ∈ I distintos.
Para definir medida precisamos dizer o que significa uma fun¸c˜ao assumir valores em [0, ∞]. Este conjunto ´e a uni˜ao do elemento ‘∞’ com o intervalo [0, ∞) ⊂ R: um novo significado para o ∞ em Matem´atica. Em medida ele significa comprimento, ´area ou volume infinito. Precisamos definir as opera¸c˜oes aritm´eticas b´asicas envolvendo ∞: (a) adi¸c˜ao: ∞ + ∞ = ∞ + a = a + ∞ = ∞ para todo a ∈ R; (b) subtra¸c˜ao: ∞ − a = ∞ para todo a ∈ R; mas ∞ − ∞ n˜ao est´a definido; (c) multiplica¸c˜ao: ∞ · ∞ = a · ∞ = ∞ · a = ∞ para todo a > 0 e convencionamos (em medida, confronte com c´alculo) 0 · ∞ = ∞ · 0 = 0.
(^2) ´Emile Borel: 1871 Saint Affrique, France – 1956 Paris, France. (^4) Henri Lebesgue: 1875 Beauvais, France–1941 Paris, France. (^5) Johann Radon: 1887 Tetschen, Bohemia (now Decin, Czech Republic) – 1956 Vienna, Austria. (^6) Maurice Fr´echet: 1878 Maligny, France – 1973 Paris, France.
1.2. ESPAC¸OS COM MEDIDA 5
Finalmente podemos estender a rela¸c˜ao de ordem usual para incluir ∞: a < ∞ para todo a ∈ R. Com isto podemos definir o sup e o inf de subconjuntos de R ∪ { ∞ }. A conven¸c˜ao usual ´e que inf ∅ = ∞.
Outro ponto ´e: como interpretar
∑^ ∞
n=
xn com xn ∈ [0, ∞]?
(a) se todos os xn s˜ao finitos, trata-se de uma s´erie de termos n˜ao-negativos: ou converge para um n´umero real, ou ´e ilimitada, quando diremos que converge para ∞ (porque?).
(b) se um dos xn’s ´e igual a ∞, escrevemos que
∑^ ∞
n=
xn = ∞.
DEFINIC¸ ˜AO 1.9 Um espa¸co de medida ´e uma tripla (X, Σ, μ) onde: (a) X ´e um conjunto; (b) Σ ´e uma σ-´algebra de subconjuntos de X; (c) μ : Σ → [0, ∞] ´e uma fun¸c˜ao tal que: (c1) μ(∅) = 0;
(c2) se 〈En〉n∈N ´e uma sequˆencia disjunta em Σ, ent˜ao μ
n∈N
En
∑^ ∞
n=
μ(En).
Os elementos de Σ s˜ao chamados de conjuntos mensur´aveis (ou μ-mensur´aveis), e μ ´e chamado de uma medida em X. A propriedade (c2) ´e chamada de σ-aditividade ou aditividade cont´avel.
Observa¸c˜ao 1.3 Uma medida definida numa σ-´algebra de Borel (ver Defini¸c˜ao 1.6, p.4) ´e conhecida como medida de Borel.
Em linguagem informal, uma fun¸c˜ao ´e chamada de medida se atribui um n´umero real n˜ao-negativo ou infinito para cada conjunto, ´e aditiva (medida da soma ´e igual a soma das medidas de conjuntos disjuntos) e vale zero no conjunto vazio. Como j´a dissemos, ´e necess´ario se restringir a uma σ-´algebra pois ´e imposs´ıvel, de forma geral, se atribuir uma medida a TODOS os subconjuntos, a n˜ao ser para algumas medidas triviais que apresentamos na sequˆencia (por exemplo a medida delta de Dirac do Exemplo 1.11, p.6 e a medida de contagem do Exemplo 1.12, p.6), definidas na σ-´algebra trivial P(X).
DEFINIC¸ ˜AO 1.10 Seja h : X → [0, ∞] uma fun¸c˜ao qualquer. Dado E ⊂ X, defina:
μh(E) ,
x∈E
h(x) , sup
x∈I
h(x); I ⊂ E ´e finito
Ent˜ao μh ´e uma medida em P(X) (porque?). Dizemos que ´e uma medida pontual.
Observa¸c˜ao 1.4 Definimos
x∈∅
h(x) , 0.
1.2. ESPAC¸OS COM MEDIDA 7
Finalmente, lim n→∞ μ(En) = sup n∈N
μ(En) porque (por (b)) 〈μ(En)〉n∈N ´e n˜ao-decrescente.
(f) Suponha que μ(Ek) < ∞. Defina Fn , Ek \ Ek+n para n ∈ N, F =
n∈N
Fn; ent˜ao
〈Fn〉n∈N ´e uma sequˆencia n˜ao-decrescente em Σ e μ(F ) = lim n→∞ μ(Fn), por (e) acima. Temos
que μ(Fn) + μ(Ek+n) = μ(Ek); como μ(Ek) < ∞, n´os podemos escrever que μ(Fn) = μ(Ek) − μ(Ek+n), e portanto
μ(F ) = lim n→∞ (μ(Ek) − μ(Ek+n)) = μ(Ek) − lim n→∞ μ(En).
Agora, F ⊂ Ek, ent˜ao μ(F ) + μ(Ek \ F ) = μ(Ek), e (novamente pois μ(Ek) ´e finito) μ(F ) = μ(Ek) − μ(Ek \ F ). Portanto nos temos que μ(Ek \ F ) = lim n→∞ μ(En). Mas Ek \ F
´e somente
n∈N
En.
Finalmente, lim n→∞ μ(En) = inf n∈N μ(En) pois 〈μ(En)〉n∈N ´e n˜ao-crescente.
Observa¸c˜ao 1.5 Observe que em (f) acima ´e essencial ter que inf n∈N
μ(En) < ∞. De fato, tome X = N e seja μ a medida de contagem em X do Exemplo 1.12, p.6. Defina En , {i ∈ N; i ≥ n} para cada n. Ent˜ao En+1 ⊂ En para cada n, mas
μ
n∈N
En
= μ(∅) = 0 < ∞ = lim n→∞ μ(En).
DEFINIC¸ ˜AO 1.12 Seja (X, Σ, μ) um espa¸co de medida. Um conjunto A ⊂ X possui medida nula se existe um conjunto E ∈ Σ tal que A ⊂ E e μ(E) = 0.
Observa¸c˜ao 1.6 Um conjunto de medida nula n˜ao precisa ser mensur´avel, embora esteja contida em um conjunto mensur´avel de medida nula.
DEFINIC¸ ˜AO 1.13 Espa¸cos de medida em que todos os conjuntos de medida nula s˜ao men- sur´aveis ´e chamado de completo.
Deixamos a demonstra¸c˜ao do pr´oximo lema como exerc´ıcio.
LEMA 1.14 (Ideal de Conjuntos de Medida Nula) Seja N a fam´ılia de conjuntos de medida nula de um espa¸co de medida (X, Σ, μ). Ent˜ao: (a) ∅ ∈ N ; (b) se A ⊂ B ∈ N , ent˜ao A ∈ N ; (c) se 〈An〉n∈N ´e uma sequˆencia em N , ent˜ao
n∈N
An ∈ N.
LEMA 1.15 Dado um espa¸co de medida (X, Σ, μ), existe um espa¸co de medida completo
(X, Σ˜, ˜μ) tal que Σ ⊂ Σ˜ e μ = μ˜ em Σ.
8 CAP´ITULO 1. ESPAC¸O COM MEDIDA
Demonstra¸c˜ao. Seja N a fam´ılia de conjuntos de medida nula de (X, Σ, μ). Considere Σ^ ˜ , {X ∪ Z ∈ P(X); X ∈ Σ, Z ∈ N }. Para cada Y ∈ Σ˜, Y = X ∪ Z, defina μ ˜(Y ) , μ(X). Complete o argumento.
Exemplo 1. (a) para a medida de contagem, o ´unico conjunto de medida nula ´e o ∅. (b) para a medida δa de Dirac, um conjunto A possui medida nula se, e somente se, a 6 ∈ A.
DEFINIC¸ ˜AO 1.16 Se uma afirma¸c˜ao P (x) pode ser aplicada aos elementos x ∈ X de um espa¸co com medida μ, n´os dizemos que
P (x) para (μ-)quase todo ponto x ∈ X
significando que o conjunto {x ∈ X; P (x) ´e falso} possui medida nula com rela¸c˜ao a medida μ.
Observa¸c˜ao 1.7 As express˜oes ‘quase todo ponto’ (qtp), ‘quase sempre’, ‘almost everywhere’ (a.e.), ‘almost surely’ (a.s.), ‘presque partout’ (p.p.) significam a mesma coisa.
Exemplo 1.15 Se f, g, fn : X → R s˜ao fun¸c˜oes: (a) ‘f > 0 qtp.’ significa que {x ∈ X; f (x) ≤ 0 } possui medida nula; (b) ‘f = g qtp.’, significa que {x ∈ X; f (x) 6 = g(x)} possui medida nula; (c) ‘f < g qtp.’, significa que {x ∈ X; f (x) ≥ g(x)} possui medida nula; (d) ‘f ≥ g qtp.’, significa que {x ∈ X; f (x) < g(x)} possui medida nula; (f) ‘fn → g qtp.’, significa que {x ∈ X; fn(x) 6 → g(x)} possui medida nula.
Se o conjunto onde est´a definido a medida ´e um espa¸co topol´ogico (conjunto munido de uma topologia, similar a defini¸c˜ao de σ-´algebra), podemos colocar condi¸c˜oes de compa- tibilidade entre a medida e a topologia. O exemplo importante ´e uma medida definida na σ-´algebra gerada pelos abertos, (σ-´algebra de Borel, ver Defini¸c˜ao 1.7, p.4), conhecida como medida de Borel.
1.3 Medida Exterior e M´etodo de Carath´eodory
A teoria geral de Medida Exterior (tamb´em chamado de pr´e-medida) foi introduzida por Cara- th´eodory^8. E um m´´ etodo fundamental para se definir medidas n˜ao-triviais, incluindo a medida de Lebesgue. Vamos ilustrar como esta constru¸c˜ao abstrata surge quando se tenta estender a medida de intervalos para um subconjunto qualquer de R. Podemos proceder da seguinte forma:
(^8) Constantin Carath´eodory: 1873 Berlin, Germany – 1950 Munich, Germany.
10 CAP´ITULO 1. ESPAC¸O COM MEDIDA
Observe que o conjunto A decomp˜oe qualquer E em duas partes disjuntas (E ∩ A) e (E \ A) (ver Figura 1.1). Como θ∗^ ´e somente subaditiva (se fosse aditiva ter´ıamos igualdade) n´os temos que
θ∗(E) ≤ θ∗(E ∩ A) + θ∗(E \ A).
Se a igualdade ocorrer para todo E, ent˜ao o conjunto A ser´a mensur´avel com rela¸c˜ao a medida μ.
A
E 1
E 1 ∩ A
E 1 \ A
A
E 2
E 2 ∩ A
E 2 \ A
A
E 3
E 3 ∩ A
E 3 \ A
A
E 4
E 4 ∩ A
E 4 \ A
Figura 1.1: A ´e mensur´avel sse θ∗(Ei) = θ∗(Ei ∩ A) + θ∗(Ei \ A) para todo Ei.
1.4 Medida de Lebesgue em R
A medida de Lebesgue, al´em de ser a mais importante para aplica¸c˜oes, foi, historicamente, o guia para a Teoria Geral da Medida, onde os resultados inicialmente foram desenvolvidos. O roteiro que vamos seguir ´e definir o comprimento de intervalos e utiliz´a-los para definir uma medida exterior. Aplicando o Teorema de Extens˜ao de Carath´eodory obtemos uma medida e uma σ-´algebra, chamadas de medida e σ-´algebra de Lebesgue. Esta ser´a a primeira medida n˜ao-trivial que definiremos. Nos exerc´ıcios existem diversas outras medidas constru´ıdas de forma semelhante como por exemplo (Exerc´ıcio 41, p.17) a medida de Lebesgue-Stieltjes, muita usada em Probabilidade.
DEFINIC¸ ˜AO 1.19 Seja I = [a, b) ⊂ R um intervalo semiaberto. Definimos seu compri- mento λ(I) por λ(∅) , 0 , λ([a, b)) , b − a se a < b.
1.4. MEDIDA DE LEBESGUE EM R 11
DEFINIC¸ ˜AO 1.20 Definimos θ∗^ : P(R) → [0, ∞], a medida exterior de Lebesgue por
θ∗(A) , inf
j=
λ(Ij ); 〈Ij 〉j∈N ´e uma seq. de intervalos semiabertos t.q. A ⊂
j∈N
Ij
Observa¸c˜ao 1.9 Observe que θ∗^ est´a bem definida pois todo A pode ser coberto por alguma sequˆencia de intervalos semiabertos – por exemplo A ⊂
n∈N
[−n, n); portanto n´os
sempre temos um conjunto n˜ao-vazio para tomar o infimum, e θ∗(A) est´a sempre definida em [0, ∞].
O fato que θ∗^ ´e uma medida exterior ´e justificado pelo item (a) da pr´oxima Proposi¸c˜ao. Deixamos como exerc´ıcio provar (a) e parte de (b).
PROPOSIC¸ ˜AO 1.21 (Medida exterior de Lebesgue) Seja θ∗^ dada pela Defini¸c˜ao 1.20. (a) θ∗^ ´e uma medida exterior em R. (b) θ∗^ ´e uma extens˜ao de λ, isto ´e, θ∗(I) = λ(I) para todo intervalo semiaberto I ⊂ R.
Como a medida exterior de Lebesgue ´e uma medida exterior, podemos us´a-la para construir a medida μ usando o m´etodo de Carath´eodory.
DEFINIC¸ ˜AO 1.22 A medida μ obtida pela aplica¸c˜ao do Teorema 1.18 `a medida exterior θ∗ ´e chamada de medida de Lebesgue em R. Os conjuntos E ⊂ R tais que
θ∗(A ∩ E) + θ∗(A \ E) = θ∗(A), para todo A ⊂ R,
s˜ao chamados de conjuntos mensur´aveis a Lebesgue.
No caso da medida de Lebesgue, em livros de an´alise aparece a defini¸c˜ao abaixo, equiva- lente a defini¸c˜ao geral de conjunto de medida nula j´a apresentado (porque?).
DEFINIC¸ ˜AO 1.23 Dizemos que A ⊂ R tem medida (de Lebesgue) nula se para todo ε > 0 , existe uma sequˆencia (In)n∈N de intervalos abertos e limitados tal que
A ⊂
n=
In e
∑^ +∞
n=
|In| ≤ ε, (1.1)
sendo que |I| representa o comprimento do intervalo I, ou seja, |I| = b − a se I = (a, b).
Terminamos apresentando (sem demonstra¸c˜ao) um Teorema que relaciona conjuntos de Borel com conjuntos mensur´aveis a Lebesgue. Sua importˆancia ´e garantir que utilizando o m´etodo de Carath´eodory obtemos uma σ-´algebra grande o suficiente para incluir os conjuntos de Borel.
? TEOREMA 1.24 (Conjuntos de Borel s˜ao mensur´aveis a Lebesgue) Todo conjunto de Borel de R ´e mensur´avel a Lebesgue.
1.5. EXERC´ICIOS 13
θ∗^ : P(X) → [0, ∞] por
θ∗(A) , inf
j=
λ(Ij ); 〈Ij 〉j∈N ´e uma seq. in I t.q. A ⊂
j∈N
Ij
interpretando inf ∅ como ∞, de modo que θ∗(A) = ∞ se A n˜ao ´e coberto por qualquer sequˆencia em I (na caso da medida de Lebesgue isto n˜ao acontece). Podemo provar que θ∗^ ´e uma medida exterior em X. No Exerc´ıcio 31, p.16 exploramos uma constru¸c˜ao similar por´em mais simples. Outros exemplos importantes que utilizam esta constru¸c˜ao abstrata ´e: (a) A medida de Lebesgue-Stieltjes, apresentada no Exerc´ıcio 41, p.17, muita usada em Probabilidade. (b) A medida exterior de Hausdorff referida acima.
1.5 Exerc´ıcios
1.5.1 σ-´Algebras
=⇒ 1. Porque n˜ao precisamos considerar a opera¸c˜ao de complementa¸c˜ao enumer´avel na De- fini¸c˜ao 1.1, p.2?
=⇒ 2. Considere Σ = {A ⊂ R; A ´e enumer´avel ou A{^ ´e enumer´avel} e A = {{ x }; x ∈ R} (subconjuntos de R unit´arios). Prove que: (a) Σ ´e uma σ-´algebra; (b) a σ-´algebra gerada por A ´e igual a Σ.
=⇒ 3. Considere X = { 1 , 2 , 3 , 5 , 6 }. Determine a σ-´algebra gerada por: (a) A 1 = { { 2 } }; (b) A 2 = { { 1 , 2 } }; (c) A 3 = { { 1 , 2 , 3 } }; (d) A 4 = { { 1 , 2 }, { 1 , 3 } }; (e) A 5 = { { 1 }, { 2 , 3 } }.
=⇒ 4. Considere as seguintes fam´ılias de intervalos de R: A 1 = {(−∞, a) ; a ∈ R}, A 2 = {[a, ∞) ; a ∈ R}, A 3 = {[a, b); a, b ∈ R}, A 4 = {[a, b]; a, b ∈ R}. (a) Prove que todo intervalo I ∈ Ai, para algum i, ´e um conjunto de Borel. (b) Prove que a σ-´algebra gerada por Ai, para cada i, ´e a σ-´algebra de Borel. → 5. Seja Σ uma σ-´algebra de subconjuntos de X e A ⊂ X. Prove que
{(E ∩ A) ∪ (F \ A); E, F ∈ Σ}
´e uma σ-´algebra de subconjuntos de X gerada por Σ ∪ { A }. Dica: Prove a uni˜ao primeiro. Prove a interse¸c˜ao e use leis de Morgan para o complemen- tar.
- Prove o Lema 1.2, p.2.
- Prove o Lema 1.3, p.3.
- Complete o argumento do Corol´ario 1.4, p.3.
14 CAP´ITULO 1. ESPAC¸O COM MEDIDA
- Prove que todo G ⊂ R aberto pode ser escrito de forma ´unica como a uni˜ao enumer´avel de intervalos abertos. Dica: Para cada x, y ∈ G, defina a rela¸c˜ao x ∼ y se o intervalo [x, y] ⊂ G (se x ≤ y) ou [y, x] ⊂ G (caso contr´ario). Prove que ∼ ´e uma rela¸c˜ao de equivalˆencia. Defina I como o conjunto das classes de equivalˆencia. Prove que existe uma fun¸c˜ao injetiva de I em Q. Cada classe ´e um intervalo aberto. ý 10. (extra) Prove que dado a ∈ R e um conjunto de Borel E ⊂ R, E + a ´e um conjunto de Borel. Dica: Prove que {E; E + a ´e Borel} ´e uma σ-´algebra contendo os abertos. ý 11. (extra) Seja E ⊂ R^2 um conjunto de Borel e P : R^2 → R definida por P (x, y) , x (proje¸c˜ao ortogonal no eixo-x). Prove que P (E) ´e um conjunto de Borel em R.
1.5.2 Espa¸cos com Medida
- Prove que se (An)n∈N ´e uma sequˆencia de conjuntos de medida nula (veja Defini¸c˜ao 1.12,
p.7), ent˜ao
n=
An tem medida nula.
=⇒ 13. Prove que para a medida: (a) de contagem, o ´unico conjunto de medida nula ´e o ∅; (b) δa de Dirac, um conjunto A possui medida nula se, e somente se, a 6 ∈ A.
=⇒ 14. Explique o significado das express˜oes abaixo para a medida de contagem e para a medida δa de Dirac: (a) f = 0 quase todo ponto; (b) f > 0 quase todo ponto.
- Considere μh a medida pontual do Exemplo 1.10, p.5 com h = | sen |. Ent˜ao μh(A) = 0 se, e somente se, A......... (complete a lacuna).
=⇒ 16. Considere μh a medida pontual do Exemplo 1.10, p.5 com h = I{ x> 0 }. Determine se ´e Verdadeiro ou Falso: (a) I{ x<− 3 } = 0 μh-qtp; (b) I{ x< 1 } = I{ 0 ≤x< 1 } μh-qtp. → 17. Considere μh a medida pontual do Exemplo 1.10, p.5. Chamamos de suporte de uma fun¸c˜ao f o conjunto dos pontos onde f se anula. Utilize o conceito de suporte para determinar condi¸c˜oes equivalentes a: (a) μh(A) = 0; (b) g = 0 qtp. com rela¸c˜ao a μh.
- Prove que a medida pontual μh da Defini¸c˜ao 1.10, p.5 ´e uma medida.
- Prove os itens (a), (b), (c) e (d) do Lema 1.11, p.6.
- Prove o Lema 1.14, p.7.
- Considere a prova do Lema 1.15, p.7. Prove que (a) Σ˜ ´e uma σ-´algebra; (b) (X, Σ˜, μ˜) ´e completo. → 22. Seja (X, Σ, μ) um espa¸co de medida. Prove que: