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Universidade Federal da Paraíba
Centro de Ciências Exatas e da Natureza
Departamento de Matemática
Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional - PROFMAT
A Pirâmide e seu Volume †
por
Sandro Antônio Godeiro de Andrade
sob orientação do
Prof. Dr. Pedro Antonio Gomez Venegas
sob coorientação do
Prof. Me. Carlos Alexandre Gomes da Silva
Trabalho de conclusão de curso apresentado ao Corpo Docente do Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional PROFMAT CCEN-UFPB, como requisito parcial para ob- tenção do título de Mestre em Matemática.
Agosto/ João Pessoa - PB
† (^) O presente trabalho foi realizado com apoio financeiro da CAPES.
Ao Professor Carlos Alexandre Gomes (Coorientador), por ter apresentado e su- gerido o tema dessa trabalho e seus ensinamentos valiosos ao longo dessa jornada.
Ao Professor Pedro Venegas (Orientador) pela disponibilidade em ajudar, pela excelente colaboração em contribuir, melhorando de forma eficaz o tratamento ma- temático desse trabalho.
Aos amigos Thiago Valentim e Emanuel Lourenço pelo apoio nessa fase final do trabalho e uma gratidão especial ao Professor Aldrin Rufino e sua Família por me receber em sua residência, aos domingos, normalmente durante muitas horas para discutir e melhorar a apresentação desse trabalho, na intenção de representar uma referência para o professor de matemática do ensino básico.
Dedicatória
Dedico este trabalho:
Aos meus Pais, Antônio Andrade e Maria de Lourdes, que me deram a vida e estão ao meu lado, incentivando, em todos os momentos. A minha esposa e companheira, Silvana Pinheiro, por compreender o meu esforço em trabalhar e continuar es- tudando.
Aos meus filhos, Sofia e Kleberson, que me ajudam, de forma indireta, a jamais desistir.
Abstract
This study aims to present alternative didactic that facilitate and make possible the teacher, the student of mathematics and the student’s primary education, lear- ning methods to justify and demonstrate the validity of the formula for the volume of the pyramid. It proceeds to approach these reasons and demonstrations within orders prospects for geometric, algebraic and ludic when calculating formula of vo- lume of the pyramid. Therefore, in five chapters, we discuss the historical aspects and algebraic pyramid,a survey of teachers on how we approach the volume of the pyramid in the classroom. There are some of the main methods used to demonstrate the validity of the formula for the volume of the pyramid. Solid material was used as a tool to verify intuitive formula for the volume of the pyramid, and finally we have presented some problems involving the subject in this pyramid education.
Keywords: Space Geometry, Pyramid, Volume.
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Sumário
Introdução
A proposta desse trabalho é de, após investigar a forma de como é abordado pelos professores do ensino básico o cálculo do volume de uma pirâmide, apresentar alter- nativas didáticas que facilitem e possibilitem ao professor, ao aluno de matemática e ao aluno do ensino básico, o aprendizado de métodos de justificar e demonstrar a validade da fórmula do volume da pirâmide. Nesse sentido, foram abordados mé- todos com enfoque Geométrico, Algébrico e Lúdico para diversificar a maneira de apresentar o volume da pirâmide. No primeiro capítulo desse trabalho, destacamos aspectos históricos e geométri- cos da pirâmide, dando enfase à definição, aos elementos, à classificação, às áreas ao volume e ao tronco da pirâmide. No segundo capítulo, foi registrada uma pesquisa com professores de escolas públicas federais, escolas públicas estaduais e escolas particulares. O objetivo da pesquisa era verificar a forma como o cálculo do volume de uma pirâmide é abordado em sala de aula. Os dados foram catalogados e registrados em gráficos de colunas com resultados percentuais. Baseado no resultado da pesquisa, no terceiro capítulo, abordamos, o princípio de Cavalieri como o método mais usado pelos professores pesquisados para justificar a fórmula do volume da pirâmide, além do cálculo do volume de uma pirâmide, usando integrais. No entanto, neste mesmo capítulo sugerimos passo a passo uma alternativa de demonstrar a fórmula do volume da pirâmide, usando o método do limite da soma de uma série geométrica. Julgamos que tal alternativa venha facilitar a abordagem pelo professor do volume de uma pirâmide em sala de aula. No quarto capítulo, procuramos diversificar os métodos lúdicos para justificar a validade da fórmula do volume da pirâmide, utilizando material manipulável. Um dos métodos busca esclarecer como um prisma de base triangular é dividido em três pirâmides de mesma base e mesma altura. Da mesma forma um cubo se transforma
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em três pirâmides de base igual à face do cubo e altura igual à aresta do cubo. Para facilitar o trabalho do professor, colocamos no final deste capítulo a planificação das três pirâmides de base triangular que, quando unidas, formam um prisma de base triangular e da mesma forma colocamos também a planificação de três pirâmides de base quadrangular que, quando unidas, formam um cubo. Convém destacar também que para enriquecer a demonstração da fórmula do volume da pirâmide através do limite da soma de uma série geométrica visto no capítulo 3 , foi apresentado um material manipulável formado por uma pirâmide de base triangular e 14 prismas em que a soma de seus volumes de forma alinhada, representa uma série geométrica, e quando colocamos os 14 prismas no interior da pirâmide, verificamos de forma intuitiva que a soma infinita dos volumes dos primas é igual ao volume da pirâmide. Por fim, apresentamos, no quinto capítulo, alguns problemas que envolvem o estudo do tema pirâmide presentes no ensino básico. Todas as questões estão resol- vidas com a finalidade de que o leitor aprenda ou aprimore mais sobre os conceitos ou procedimentos envolvidos.
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Aspectos Históricos das Pirâmides do Egito Capítulo 1
Figura 1.1: Mapa antigo do Egito
A sua sociedade era extremamente rígida e estava dividida em várias camadas composta por: o faraó, que era a autoridade máxima, Sacerdotes, militares e es- cribas. Era sustentada pelo trabalho e impostos pagos por camponeses, artesãos e pequenos comerciantes. Os escravos também compunham a sociedade egípcia e, ge- ralmente, eram pessoas capturadas em guerras que trabalhavam apenas por comida e água. Nesse trabalho destacamos as contribuições valiosas dos egípcios na matemá- tica, desenvolvendo as quatro operações matemáticas básicas - adição, subtração,
Aspectos Históricos das Pirâmides do Egito Capítulo 1
multiplicação e divisão. Inventaram o sistema numeração totalmente desenvolvido, usavam frações, calculavam volumes de caixas e pirâmides, além de calcularem áreas de retângulos, triângulos, círculos e até mesmo da superfície de esferas. Porém, o maior destaque dos egípcios foi na construção de pirâmides, túmulos, erguidos como um monumento à memória dos faraós já mortos.
Figura 1.2: Pirâmides do Egito
Ao falarmos de pirâmides, geralmente nos restringimos ao estudo dos três gran- des monumentos de Gizé: Quéops^1 , Quéfrem e Miquerinos. As pirâmides foram construídas pelos egípcios há certa de 2.600 anos a.C., (desde o início do antigo reinado até perto do período ptolomaico). Nota-se, a partir da construção destas pirâmides, o grande avanço de engenharia e da matemática nas construções do Egito para a época. Segundo consta, o erro relativo, envolvendo os lados da base quadrada é inferior a (^14).^1000 e o erro relativo envolvendo os ângulos retos dos vértices da base não excede 1
- Em EVES (vide[5]). Baseado neste e em outros dados, diversos matemáticos fascinados com esses dados dedicaram-se ao estudo da pirâmide.
(^1) Uma das sete maravilhas do mundo antigo.
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Aspectos Históricos das Pirâmides do Egito Capítulo 1
Seja o retângulo ABCD de lados a e b com (b < a) tal que o retângulo ADEF de lados b e a − b seja semelhante ao retângulo ABCD.
Figura 1.4: Retângulo áureo
Resulta que a − b < b e que ab é igual à razão áurea. Um retângulo ABCD com estas propriedades é chamado retângulo áureo. A equação Φ^2 = Φ + 1 nos mostra que um triângulo de lados 1 ,
Φ e Φ é um triângulo retângulo com catetos 1 e
Φ e hipotenusa Φ.
Definição 1 Um triângulo é áureo quando ele é semelhante ao triângulo retângulo com hipotenusa Φ e catetos 1 e
Proposição 1 Um triângulo retângulo com hipotenusa a e catetos b e c com (b > c) é áureo se, e somente se, bc =
Definição 2 Seja uma pirâmide reta de altura h com base quadrada de lado a e seja H a altura de suas faces. Dizemos que a pirâmide é áurea quando o triângulo de lados H, h e a 2 for um triângulo áureo.
O historiador grego Heródoto (cerca de 500 a.C.) relata que aprendeu com os sacerdotes que as grandes pirâmides do Egito satisfazem a seguinte propriedade: (P ) : A área de cada face triangular é igual à área de um quadrado cujo lado é a altura da pirâmide. SARAIVA (vide[14]).
Aspectos Históricos das Pirâmides do Egito Capítulo 1
Com a notação da definição 2 , uma pirâmide reta de base quadrada satisfaz a propriedade (P ) se e somente se aH 2 = h^2.
Proposição 2 Uma pirâmide reta com base quadrada satisfaz a propriedade (P ) se, e somente se, ela for uma pirâmide áurea.
Demonstração:
Suponha que a pirâmide é áurea, isto é, que o triângulo retângulo com hipotenusa H e catetos h e a 2 , (supondo h > a 2 ) é áureo. Então temos que: h = a
H = a 2 Φ
e portanto,
h = aH 2 =
(a 2
a
isto é, a pirâmide satisfaz a propriedade (P ). Reciprocamente, suponhamos que a pirâmide satisfaça a propriedade (P ). Das relações: H^2 = h^2 +
a^2 4 e aH = 2h^2
obtemos
H^2 = h^2 + a
2 4
= h^2 +^4 h
4 4 H^2
que implica
( H h
H
h
Aspectos Geométricos da Pirâmide Capítulo 1
Agora abordaremos a definição, os elementos, a classificação, as áreas, volume da pirâmide e do tronco da pirâmide, segundo alguns autores contemporâneos.
1.2 Aspectos Geométricos da Pirâmide
1.2.1 Definição, elementos e nomenclatura
Definição 3 Consideremos um polígono convexo A 1 A 2 A 3 ...An situado num plano α e um ponto V fora de α. Chama-se pirâmide a reunião dos segmentos com uma extremidade em V e a outra nos pontos do polígono. O ponto V é chamado de vértice e o polígono A 1 A 2 A 3 ...An, a base da pirâmide.
Figura 1.5: Pirâmide
Na Figura 1. 5 , temos que:
Xa distância do vértice V ao plano da base, que indicamos por h, é chamada altura da pirâmide; Xos segmentos A 1 V , A 2 V , A 3 V , ..., An− 1 V e AnV são chamados de arestas laterais; Xe as regiões triangulares A 1 A 2 V , A 2 A 3 V , A 3 A 4 V , ..., An− 1 AnV e An− 1 A 1 V são chamadas faces laterais da pirâmide.
Aspectos Geométricos da Pirâmide Capítulo 1
Note que a pirâmide da definição possui uma base, n faces laterais (triângulos), n + 1 faces, n arestas laterais, 2 n arestas e n + 1 vértices. Vejamos alguns exemplos de pirâmides:
Figura 1.6: Exemplos de pirâmides
A nomenclatura das pirâmides depende da sua base. Baseando-se na Figura 1. 6 temos que:
X a pirâmide ABCDE é chamada de pirâmide de base quadrangular (pirâmide quadrangular), pois a sua base é um quadrilátero; X a pirâmide ABCDEF é chamada de pirâmide de base pentagonal (pirâmide pentagonal), pois a sua base é um quadrilátero; X e a pirâmide ABCD é chamada de pirâmide de base triangular (pirâmide triangular ou tetraedro), pois a sua base é um triângulo.
1.2.2 Pirâmide regular
Pirâmide regular é uma pirâmide cuja base é um polígono regular e a projeção ortogonal do vértice sobre o plano da base é o centro da base. (Numa pirâmide regular as arestas laterais são congruentes, e as faces laterais são triângulos isósceles congruentes).
Definição 4 Chama-se apótema da base de uma pirâmide regular a reta traçada do centro do polígono da base até o meio de sua aresta.
Definição 5 Chama-se apótema da pirâmide de uma pirâmide regular a altura (re- lativa ao lado da base) de uma face lateral.
