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Universidade Federal do Amazonas
Inferˆencia Estat´ıstica I - Aula 2
Prof. Dr. Jhonnata Carvalho
Defini¸c˜ao 1. (Defini¸c˜ao 13) Para qualquer vari´avel aleat´oria X, temos que
V ar(X) = E(X − E(X))^2 = E(X^2 ) − [E(X)]^2.
Propriedades: considere a, b ∈ R (constantes)
1- E(a + bX) = a + bE(X).
2- Se X = a (constante), ent˜ao E(X) = E(a) = a. O valor esperado de uma constante ´e a pr´opria constante.
3- V ar(a + bX) = b^2 V ar(X).
4- Se X = a (constante), ent˜ao V ar(X) = V ar(a) = 0. A variˆancia de uma constante ´e igual a zero.
1 Distribui¸c˜ao Conjunta
Em muitas situa¸c˜oes, ao descrevermos os resultados de um experimento, atribu´ımos a um mesmo ponto amostral os valores de duas ou mais vari´aveis aleat´orias. Por exemplo: suponha que 5 moedas ser˜ao lan¸cadas em um superf´ıcie plana. Considere a vari´avel aleat´oria Xi como sendo a i-´esima moeda, para i = 1, 2 , 3. Note que, os valores poss´ıveis para Xi s˜ao 0 ou 1. Da´ı, temos o interesse em calcular
P (X 1 = x 1 , X 2 = x 2 , X 3 = x 3 ),
em que xi ∈ { 0 , 1 } para i = 1, 2 , 3. Essa fun¸c˜ao de probabilidade ´e chamada de fun¸c˜ao de probabilidade conjunta para as vari´aveis aleat´orias X 1 , X 2 , X 3.
Defini¸c˜ao 2 (Distribui¸c˜ao conjunta: caso discreto). A fun¸c˜ao de probabilidade conjunta para as vari´aveis aleat´orias X 1 , X 2 ,... , Xn para n > 1 ´e definida por
P (X 1 = x 2 , X 2 = x 2 ,... , Xn = xn),
e deve satisfazer
P (X 1 = x 1 , X 2 = x 2 ,... , Xn = xn) ≥ 0 ∀xi ∈ Rx
e
X^ ∞
i=
X^ ∞
j=
X^ ∞
k=
P (X 1 = xi, X 2 = xj ,... , Xn = xk) = 1.
Defini¸c˜ao 3 (Distribui¸c˜ao conjunta: caso cont´ınuo). A fun¸c˜ao de densidade de probabilidade conjunta para as vari´aveis aleat´orias X 1 , X 2 ,... , Xn para n > 1 ´e definida por como sendo uma fun¸c˜ao fX 1 ,X 2 ,...,Xn (x 1 , x 2 ,... , xn) ≥ 0 (n˜ao negativa), tal que
Z^ ∞
−∞
Z∞
−∞
Z^ ∞
−∞
f (x 1 , x 2 ,... , xn)dx 1 dx 2 · · · dxn = 1.
Teorema 1. Sejam X 1 , X 2 ,... , Xn vari´aveis aleat´orias independentes. Ent˜ao, temos
Caso discreto:
P (X 1 = x 1 , X 2 = x 2 ,... , Xn = xn) = P (X 1 = x 2 )P (X 2 = x 2 ),... , P (Xn = xn) =
Y^ n
i=
P (Xi = xi).
Caso cont´ınuo:
fX 1 ,X 2 ,...,Xn (x 1 , x 2 ,... , xn) = f (x 1 )f (x 2 )... f (xn) =
Y^ n
i=
f (xi).
Defini¸c˜ao 4. Defini¸c˜ao O conjunto de valores de uma caracter´ıstica (observ´avel) associada a uma cole¸c˜ao de indiv´ıduos ou objetos de interesse ´e dito ser uma popula¸c˜ao.
Ex: popula¸c˜ao ind´ıgena, pe¸cas produzidas em dia de uma linha de produ¸c˜ao etc.
Defini¸c˜ao 5. Defini¸c˜ao A amostra ´e qualquer fra¸c˜ao (subconjunto) da popula¸c˜ao em estudo.
Ilustra¸c˜ao Popula¸c˜ao, amostra e inferˆencia. Modelos especiais. Normal, exponencial, uniforme, bernoulli, binomial e Poisson.
Defini¸c˜ao 6. Seja X uma vari´avel aleat´oria (v.a.) com fdp ou fp que denotamos por f (x|θ), em que θ ´e um parˆametro desconhecido. Chamamos de inferˆencia estat´ıstica o problema que consiste em especificar um ou mais valores para θ, baseado em um conjunto de valores observados de X.
Defini¸c˜ao 7. Defini¸c˜ao Sejam X 1 , X 2 ,... , Xn uma sequˆencia de n v.a.’s aleat´orias independentes e identicamente distribu´ıdas (iid) com fdp ou fp, f (x|θ) ´e dita ser uma amostra aleat´oria de tamanho n da distribui¸c˜ao de X. Isto ´e comumente abreviado como vari´aveis aleat´orias iid.
Vamos denotar as vari´aveis aleat´orias com letras do final do alfabeto, ex: X, Y, Z, U, W , em mai´usculo. Para representar os valores ”observados”das vari´aveis aleat´orias, vamos usar as letras correspondentes em min´usculo.
Amostra aleat´oria (representa¸c˜ao abstrata): X 1 , X 2 ,... , X 5 Amostra observada: x 1 , x 2 ,... , x 5.
Suponha que estamos estudando a popula¸c˜ao de pessoas em Manaus e uma amostra de n = 5 foi extra´ıda, o peso em kg foi registrado resultando em: x 1 = 80; x 2 = 75; x 3 = 78, 8; x 4 = 88; x 5 = 69, 5
