Defini¸c˜ao 1. Experimentos que ao serem repetidos nas mesmas condi¸c˜oes e n˜ao produzirem o mesmo resultado, s˜ao denominados de experimentos aleat´orios.

Ex: lan¸car uma moeda. Lan¸car um dado.

Defini¸c˜ao 2. Denominamos de espa¸co amostral, o conjunto Ω, que cont´em os poss´ıveis resultados de um experimento aleat´orio.

Do Exemplo 1: Ω = {C, K}, no qual C: ”cara”e K: ”coroa”.

Do Exemplo 2: Ω = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }.

Defini¸c˜ao 3. Um probabilidade ´e uma fun¸c˜ao P , definida na σ-´algebra A de subconjuntos de Ω, que satisfaz as seguintes condi¸c˜oes:

Ax 1 P (Ω) = 1

Ax 2 P (A) ≥ 0 ∀ ∈ A

Ax 3 Se A 1 , A 2... (sequˆencia infinita) ´e uma sequˆencia de eventos de A e s˜ao mutuamente exclusivos, ent˜ao

P (

[^ ∞

i=

Ai) =

X^ ∞

i=

P (Ai).

Essas condi¸c˜oes s˜ao chamadas de axiomas de Kolmogorov.

Defini¸c˜ao 4 (Probabilidade condicional). Sejam A e B dois eventos de um espa¸co amostral Ω e supondo que P (A) > 0, a probabilidade condicional de B dado A ´e definida por:

P (B|A) =

P (A ∩ B)

P (A)

Defini¸c˜ao 5. Independˆencia para v´arios eventos Considere os eventos A 1 , A 2 ,... , An. Dizemos que esses eventos s˜ao mutuamente independentes se

P (Ai 1 ∩ Ai 2 ∩ · · · ∩ Aik ) = P (Ai 1 )P (Ai 2 ) · · · P (Aik ),

com k = 2, 3 , · · · , n e todo {i 1 , i 2 ,... , ik} ⊂ { 1 , 2 , 3 ,... , n}, tal que i 1 < i 2 <... < ik.

Defini¸c˜ao 6. Defini¸c˜ao: Vari´avel aleat´oria Seja ϵ um experimento e Ω o espa¸co amostral associado ao ex- perimento. Uma fun¸c˜ao X, que associa a cada elemento ω ∈ Ω um n´umero real (R) denotado por X(ω), ´e denominada de vari´avel aleat´oria.

Ex: Lan¸camento de um dado. Vamos denotar por Rx ou χ como sendo o espa¸co amostral da vari´avel aleat´oria (contra dom´ınio).

Defini¸c˜ao 7. Defini¸c˜ao: fun¸c˜ao de probabilidade Seja X uma vari´avel aleat´oria discreta, com Rx = {x 1 , x 2 ,.. .}. A cada poss´ıvel valor xi, associaremos o n´umero p(xi) = P (X = xi), ou seja, a probabilidade de xi ocorrer. Al´em disso, p(xi) deve satisfazer

p(xi) ≥ 0 ∀ i (probabilidade n˜ao negativa).

Pn i=

p(xi) = 1.

A fun¸c˜ao p(x) ´e chamada de fun¸c˜ao de probabilidade (fp) da vari´avel aleat´oria X.

Defini¸c˜ao 8. Defini¸c˜ao: densidade Seja X uma vari´avel aleat´oria cont´ınua. A fun¸c˜ao de densidade de proba- bilidade (fdp) da vari´avel aleat´oria ´e uma fun¸c˜ao f (x) ≥ 0 (n˜ao negativa) tal que

Z^ +∞

−∞

f (x)dx = 1,

e, para quaisquer valores de a e b, temos que

P (a ≤ X ≤ b) =

Z^ b

a

f (x)dx.

Defini¸c˜ao 9. Defini¸c˜ao: Fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao Seja X uma vari´avel aleat´oria. A fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao acumulada (fda) (ou simplesmente, fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao) ´e dada por

F (x) = P (X ≤ x), ∀x ∈ R.

Defini¸c˜ao 10. Defini¸c˜ao: Esperan¸ca Seja X uma vari´avel aleat´oria discreta, que assume os valores x 1 , x 2 ,.. ., com as respectivas probabilidades P (X = xi), para i = 1, 2 , 3 ,.. .. A esperan¸ca matem´atica (ou valor esperado) ´e definida por

E(X) =

X^ ∞

i=

xiP (X = xi).

Defini¸c˜ao 11. Defini¸c˜ao Seja X uma vari´avel aleat´oria cont´ınua com fdp f (x). O valor esperado ´e dado por

E(X) =

Z^ +∞

−∞

xf (x)dx.

Defini¸c˜ao 12. Defini¸c˜ao Seja X uma vari´avel aleat´oria e g ma fun¸c˜ao, ent˜ao Caso discreto:

E(g(X)) =

X^ ∞

i=

g(xi)P (X = xi).

E(g(X)) =

Z^ +∞

−∞

g(x)f (x)dx.

Defini¸c˜ao 13. Resultado Para qualquer vari´avel aleat´oria X, temos que

V ar(X) = E(X − E(X))^2 = E(X^2 ) − [E(X)]^2.

Propriedades: considere a, b ∈ R (constantes)

1- E(a + bX) = a + bE(X).

2- Se X = a (constante), ent˜ao E(X) = E(a) = a. O valor esperado de uma constante ´e a pr´opria constante.

3- V ar(a + bX) = b^2 V ar(X).

4- Se X = a (constante), ent˜ao V ar(X) = V ar(a) = 0. A variˆancia de uma constante ´e igual a zero.

Defini¸c˜ao 14. Defini¸c˜ao O conjunto de valores de uma caracter´ıstica (observ´avel) associada a uma cole¸c˜ao de indiv´ıduos ou objetos de interesse ´e dito ser uma popula¸c˜ao.

Defini¸c˜ao 15. Defini¸c˜ao A amostra ´e qualquer fra¸c˜ao (subconjunto) da popula¸c˜ao em estudo.

Ilustra¸c˜ao Popula¸c˜ao, amostra e inferˆencia. Modelos especiais.