Resolução de Equações Quadráticas: Equação da Parábola e Geometria Algébrica, Notas de estudo de Economia

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Capítulo 5

Álgebra

Também, visto que o ponto (4,0) está na curva, tem-se 0 = 16 a + 4 b , isto é, b = –4 a.

Então, seria interessante obter uma outra igualdade envolvendo essas cons- tantes para formar um sistema de duas equações com duas incógnitas que, no caso de ser possível e determinado, nos permitiria conhecer os valores de a e b. É oportuno, então, usarmos outra pista indicada no desenho: a abcissa do vértice da parábola é igual a 2. Como a abcissa do vértice da parábola

temos

Logo, não aparece uma nova relação entre a e b , ficando estabelecido que a equação da parábola é y = ax^2 –4 ax , onde a é desconhecida.

O professor Beremis reconheceu que seus alunos estavam certos: com as informações dadas não era possível achar o valor de a.

Entretanto, com seu costumeiro espírito animado, propôs aproveitar o momento para revisar o conceito de reta tangente. Assim começou:

Seja r uma reta (não vertical), com coeficiente angular m e passando pelo ponto ( x 1 , y 1 ) da parábola dada por y = ax^2 + bx + c , a ≠ 0.

Suponha que ( x 1 , y 1 ) não coincide com o vértice da parábola (ou seja, m ≠0). A equação de r é y – y 1 = m ( x – x 1 ).

Nosso intuito é encontrar m , de modo que a reta r tenha ( x 1 , y 1 ). Como único ponto em comum com a parábola.

Essa reta r é denominada reta tangente à parábola no ponto ( x 1 , Y 1 ) (É bom mencionar que, usando o conceito de derivada, obtém-se uma definição de reta tangente válida para uma curva qualquer, não apenas para parábolas).

Temos, então, o sistema

que deve ter o ponto ( x 1 , y 1 ) como única solução.

Substituindo-se o y da primeira equação na segunda, e usando

y 1 = ax 12 + bx 1 + c,

após agrupar e fatorar, vem

( x – x 1 )[ a ( x + x 1 ) + b – m ] = 0.

Se a única solução dessa equação deve ser x = x 1 , isso nos conduz a

m = 2 ax 1 + b.

Assim, a equação de r fica

y – y 1 = (2 ax 1 + b )( x – x 1 ).

O requerido na tarefa proposta é o valor de x correspondente a y = 0. Chamando esse valor de x 0 , temos

(Lembrar que m = 2 ax 1 + b ≠ 0.)

Também, no nosso caso particular,

x 1 = 1 e y 1 = ax 12 + bx 1 = a + b.

Assim,

.

Nesse instante, os olhos do professor Beremis brilharam e sua face iluminou- se de alegria, pois percebeu que podia resolver o problema mesmo sem conhecer o valor de a. Com efeito, visto que

No final, cada rosto desenhava um sorriso. Não era para menos!

Euclides de Alexandria Com a morte de Alexandre, o Grande, no ano 324 a.C, o império mundial que ele havia construído foi dividido entre os seus generais. O Egito ficou sob o domínio de Ptolomeu. Na cidade de Alexandria, Ptolomeu criou um centro de ensino e pesquisa chamado Museu, que significa refúgio das musas. Mais de 500 mil manus- critos foram guardados na biblioteca do Museu. Muitos dos grandes cientistas da época traba- lharam nesse Museu. Entre eles estava Euclides de Alexandria. O Museu funcionava como uma espécie de universidade moderna. Entre os professores, al- guns se dedicavam à pesquisa, outros eram bons administradores, e uma parte se destacava pela capacidade de ensinar. Euclides fazia parte deste último grupo. Foi, pro- vavelmente, por esta razão que o livro Os Elemen- tos – escrito por Euclides por volta de 300 a.C. e depois copiado e recopiado centenas de vezes – teve uma repercussão tão grande nos meios cientí- ficos. Durante mais de 20 séculos os homens estu- daram a Geometria, segundo Euclides. Todo estudante de Geometria tem uma dívida de gratidão para com Euclides. Mas os estudantes de Álgebra também devem saber algo sobre ele. Para um estudante de hoje, a Álgebra começa quando as quantidades desconhecidas passam a ser representadas por letras.

Visualizando

as equações

Oscar Guelli

Na sua “Álgebra” Euclides representava as quantidades desconhecidas por segmentos de retas, quadrados, retângulos, triângulos, etc.

A Álgebra Geométrica

Veja: nós entendemos o produto notável ( a + b)^2 como “o quadrado do primeiro termo, mais duas vezes o produto do primeiro termo pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo”, isto é,

( a + b )^2 = a^2 + 2 ab + b^2_._

Euclides e seus colegas de Alexandria também manejavam com muita facilidade este produto notável, mas interpretando-o através desta constru- ção geométrica:

Você consegue reconhecer nesta construção geométrica:

o produto notável

( a + b )( a – b ) = a^2 – b 2?

Ou através da figura ao lado você consegue entender por que

Ao invés do retângulo anterior, poderíamos ter desenhado qualquer outro, cujos lados tivessem estas medidas: 10 e 1, 4 e 2,5 , 1,25 e 8 etc. Procuramos traduzir o problema através de área de figuras planas. Esta primeira constru- ção corresponde à seguinte passagem na equação:

• “Anexamos” a este retângulo, era assim que se escrevia antigamente, um novo retângulo de lados 5 e
• Com os passos seguintes vamos construir um outro retângulo de área igual à área do retângulo de lados 5 e 2. Por isso, prolongamos a diagonal do retângulo até ela cortar o prolongamento do lado 5 e formamos um outro retângulo:

x. ( ) = 5. 2

Observe: área de A + área de B + área de C = área de A’ + área de B ’ + área de C Como área de A = área de A ’ e área de C = área de C’ temos que área de B = área de B.

Portanto,

Para os matemáticos de hoje, a resposta do problema é o número real

A “Álgebra” de Euclides significa a construção desta figura

e a solução da “equação” é o segmento AB.

Dois motivos impediram que a Álgebra Geométrica tivesse um papel mui- to mais destacado no estudo das equações na Matemática:

• um motivo político: a sociedade grega desta época era escravocrata e o desenvolvimento da ciência refletia a estrutura social. Assim, os antigos ma- temáticos gregos consideravam os cálculos com números e medidas um as- sunto de escravos, indigno de cidadãos livres;
• o outro motivo era puramente matemático: os antigos matemáticos gregos ficaram surpresos e desnorteados ao descobrirem que havia alguns problemas impossíveis de serem resolvidos por meio da Álgebra Geométrica de Euclides.

Mas não foram somente eles.

Em 1882, um matemático alemão, chamado Lindemann, mostrou a im- possibilidade de se resolver o problema através da Álgebra Geométrica: é impossível construir o segmento , usando-se apenas uma régua e um compasso. A demonstração requer uma Matemática bastante sofisticada.

A Álgebra Geométrica dos antigos matemáticos gregos e a regra da falsa posição do Egito Antigo representaram, de um certo modo, o esforço dos matemáticos da antiguidade para encontrar uma linguagem apropriada para as equações.

Mas os dois métodos apresentavam falhas:

• a Álgebra Geométrica não tinha resposta para vários problemas;
• a regra da falsa posição parecia uma “receita”, sem nenhuma justificação ou explicação.

Por volta do ano 400 d.C, uma idéia simples e audaciosa de um matemático de Alexandria, chamado Diofante, iria começar a mudar todo o aspecto da Matemá- tica: começavam a surgir os primeiros símbolos matemáticos, inicialmente na forma de abreviação de palavras.

Mas, esta já é uma outra história.

H á algum tempo, o professor Sidney Luiz

Cavallanti mostrou-me a equação

e fez a seguinte observação: “Apesar de, no de- correr da resolução, elevarmos as equações so- mente a potências ímpares (duas elevações ao cubo), ainda assim, surpreendentemente, apare- ce uma raiz falsa. Por quê?” Antes de mostrar como o professor Sidney resol- veu a equação, vejamos o porquê da sua surpresa. Sabemos que

mas a recíproca desta afirmação só é verdadeira se n for ímpar. Isto é,

se n for ímpar. É fácil ver que a propriedade xn^ = y n^ ⇒ x = y não vale se n for par – basta observar que

52 = (–5) 2 e 5 ≠ –5.

Estes fatos aparecem nitidamente quando, no final do ensino fundamental, resolvemos com nos- sos alunos as equações irracionais. Vejamos um exemplo: Resolver

Uma equação

interessante

Cláudio Possani

E, portanto, x = 0 ou x = 1 ■ Verifica-se, por substituição em (1), que 1 é solução, mas 0 não é. Onde e por que apareceu esta falsa raiz? Sugiro que o leitor tente responder à esta pergunta antes de prosseguir. Observe que x = 0 não é solução das equações (1), (2) e (3), mas é solução das equações a partir de (4). Na verdade, (1), (2) e (3) são equiva- lentes entre si (possuem o mesmo conjunto solução), e as equações de (4) a (9) também são equivalentes entre si, mas (3) e (4) não são equivalentes. Foi nesta passagem que fizemos algo “ilícito”.

O que fizemos para passar de (3) a (4)? Ora, usamos novamente a equa- ção (1) substituindo

por 1, e este procedimento não gera uma equação equivalente à anterior. Tendo duas equações equivalentes, (1) e (3), se substituirmos uma na outra, obtemos uma nova equação que é conseqüência das anteriores, mas não é, necessariamente, equivalente a elas. Assim (3) ⇒ (4), mas não vale a recíproca.

Vejamos um exemplo onde este fato é mais evidente: x = 2 (o conjunto solução é {2}), 2 = x ( equivalente a de cima). Substituindo uma na outra, obtemos x = x , cujo conjunto solução é IR! Assim, o aparecimento de uma raiz falsa não está ligado ao fato de a equação ser irracional nem às potências que tomamos, e sim. ao procedi- mento da resolução.

Uma palavra sobre a abordagem deste tema em sala de aula: o “truque” utilizado na passagem de (3) para (4) é útil, pois “limpou” a equação, mas não é uma equivalência – não podemos perder de vista a equação original. Situações como esta são comuns, por exemplo, na trigonometria, quando usamos numa equação a identidade sen^2 x + cos^2 x = 1.

Vamos ilustrar o aparecimento de falsas raízes por meio de mais dois exemplos:

x = 1 – x (e, portanto, x = 1/2). Se elevarmos ambos os membros ao cubo, teremos:

x = l – x ⇔ x^3 = (l – x )^3 ⇔ x^3 = 1 – 3 x + 3 x^2 – x^3 ⇒

(substituindo x por 1 – x )

x^3 = 1 – 3(1 – x ) + 3 x^2 – x^3 ⇔ 2 x^3 – 3 x^2 – 3 x + 2 = 0 ⇔ x = 1/2; x = –1; x = 2 ■

Outro exemplo:

x = 1 ⇔ ( x – l)^2 = 0 ⇔ x^2 – 2 x + 1 = 0 ⇒

(substituindo x por 1)

x^2 – 2.^ 1 + 1 = 0 ⇔ x^2 = 1 ⇔ x = l ou x = –l, ■

Em qualquer terna pitagórica reduzida, os números 3 , 4 e 5 estão presentes.

Devemos entender que 3, 4 e 5 estão presentes como fatores dos elementos da terna, eventualmente os três números como fatores de um mesmo elemento. Por exemplo, usando o teorema mencionado anterior- mente com p = 6 e q = 5, obtemos a terna pitagórica reduzida (11, 60, 61) onde 3, 4 e 5 são fatores de 60.

Minha atenção foi despertada por um aluno, Frederico, que me disse ter lido tal afirmação no livro Maravilhas da Matemática, do nosso Malba Tahan.

Para demonstrar a propriedade, usamos o teorema mencionado. Seja en- tão uma terna pitagórica ( p^2 – q^2 , 2 pq, p^2 + q^2 ), com p e q naturais restritos às condições (1), (2) e (3).

• O fator 4 sempre vai estar no elemento 2 pq.

E óbvio por (3), pois um dos números, p ou q, é par.

• Se o fator 3 não ocorrer no elemento 2 pq, então ele estará em p^2 – q^2.

De fato, dividindo p e q por 3, encontraremos resto 1 ou 2, ou seja, estes números são da forma 3 k + 1 ou 3 k + 2. Em qualquer caso, o quadrado é da forma 3 k + 1. Portanto, a diferença p^2 – q^2 de dois números da forma 3 k + 1 é divisível por 3.

• Se o fator 5 não ocorrer no elemento 2 pq , então ele estará em p^2 – q^2 ou em p^2 + q^2_._

De fato, dividindo p e q por 5, encontraremos para resto um dos números: 1, 2, 3 ou 4. Isto é, p e q são de uma das formas: 5 k + 1, 5 k + 2, 5 k + 3, ou 5 k + 4. O quadrado de qualquer um desses números é da forma 5 k + 1 ou 5 k + 4. Assim, se p e q forem do mesmo tipo (5 k + 1 ou 5 k + 4), p^2 – q^2 será múltiplo de 5. Caso contrário, o fator 5 estará em p^2 + q^2.

Moral da história:

Numa terna pitagórica não há como escapar dos números 3, 4 e 5!

N a minha experiência como professora de alu-

nos calouros do curso de Matemática da UFRS, constatei o quanto os alunos vêm presos ao uso de tabelas na construção de gráficos de funções. E isto faz com que percam a idéia mais geral sobre o comportamento da função. Com a tabe- la o problema se reduz à marcação de alguns pontos do gráfico por meio de avaliação em va- lores de x (geralmente, x = 0, +1, –1, +2, –2), tornando-se um exercício meramente compu- tacional, sem muito raciocínio. O que pretendo neste artigo é dar uma idéia de como podemos fazer nossos alunos de ensino mé- dio, através de raciocínios simples, obterem infor- mações sobre gráficos, especialmente sobre for- ma das curvas; a tabela entra como um recurso, mas não como o único recurso. Vamos aqui nos deter no estudo da função quadrática f(x) = ax 2 + bx + c. Começaremos com a função quadrática mais simples e, gradati- vamente, chegaremos à função quadrática geral.

Caso I f ( x ) = x^2

Observamos que conforme o valor absoluto de x aumenta, x^2 aumenta mais rapidamente e, por-

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Maria Alice Gravina