álgebra computacional, Notas de estudo de Informática

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COLÉGIO DO INSTITUTO BATISTA AMERICANO

PROF. ABIMAILTON PRATTI DA SILVA

Rua Mariana N.º 70 Retiro Volta Redonda –

Telefone: (24) 33381279

SOLICITAÇÃO

Não temos direito autoral reservado para o presente trabalho.

Portanto em caso de utilização de qualquer parte desta apostila, o

que solicitamos é a divulgação desta como fonte.

Eng.

o

Abimailton Pratti da Silva

MENSAGEMMENSAGEMMENSAGEMMENSAGEM

" O saber só é valorizado, quando nos orgulhamos" O saber só é valorizado, quando nos orgulhamos" O saber só é valorizado, quando nos orgulhamos" O saber só é valorizado, quando nos orgulhamos

dos esforços feitos para alcançados esforços feitos para alcançados esforços feitos para alcançados esforços feitos para alcança####lo."lo."lo."lo."

Patrícia MontinePatrícia MontinePatrícia MontinePatrícia Montine

1.0 INTRODUÇÃO A ELETRÔNICA DIGITAL

O homem através dos tempos sentiu a necessidade da utilização de sistemas de numeração, dentre os quais se destacam: o decimal, o binário, o octal e o hexadecimal. O sistema decimal é utilizado no dia a dia e é sem dúvida, o mais importante dos sistemas numéricos. Os sistemas o binário, o octal e o hexadecimal são muito importantes na área de técnicas digitais, que ao decorrer desta apostila vamos perceber a ligação existente entre eles.

1.1 SISTEMA BINÁRIO DE NUMERAÇÃO

O sistema binário de numeração é um sistema no qual existem apenas os algarismos 0(zero) e 1 (um). Para representarmos uma quantidade no sistema binário, devemos utilizar o mesmo princípio de formação usado no sistema decimal.

DECIMAL BINÁRIO 0 001 1 010 2 011 3 100 4 101 5 110 ... ...

1.2 CONVERSÃO DO SISTEMA BINÁRIO PARA O SISTEMA DECIMAL

Utilizamos um número decimal como exemplo : 479

4 X 100 + 7 X 10 + 9 X 1 = 479 centena dezena unidade

4 X 10^2 + 7 X 10^1 + 9 X 10^0 = 479

Vemos que cada algarismo possui um valor absoluto e outro relativo, que decorre de sua posição. Cada posição corresponde a uma potência de 10, que é o sistema decimal comumente usado. A base do sistema é o número 2 (dois). Tomemos como exemplo o número binário 101 , e utilizando o conceito de formação de números:

2 2 21 20 1 0 1

1 x 2^2 + 0 X 2^1 + 1 X 2^0 = 1 X 4 + 0 X 2 + 1 X 1 = 5

Logo o número 101 na base 2 é igual ao número 5 na base 10. Então 5 10 = 101 2

1.2.1 TABELA DA POTÊNCIA DE DOIS

0

2

4

7

9

12

14

1.2.2 CONVERSÃO DO SISTEMA DECIMAL PARA O SISTEMA BINÁRIO

Tomemos o exemplo o número 3710 :

1.2.3 CONVERSÃO DE BINÁRIO FRACIONÁRIO PARA DECIMAL

Tomemos como exemplo o número binário fracionário 101,

2 2 2 1 2 0 2 -1^2 -2^2 -

1 x 2

2

+ 0 x 2

1

+ 1 x 2

0

+ 1 x 2

+ 0 x 2

+ 1 x 2

= 1 x 4 + 0 x 2 + 1 x 1 + 1

x 0,5 + 0 x 0,25 + 1 x 0,125 = 5,

1.2.8 CONVERSÃO DO SISTEMA BINÁRIO PARA O OCTAL

Utilizaremos como exemplo o número (^110010) 2. Para transformarmos esse número em octal, vamos separa-lo em grupo de três algarismos a partir da direita:

Esta conversão irá resultar no número 62 8.

1.2.9 CONVERSÃO DO SISTEMA DECIMAL PARA O OCTAL

Existem 2 métodos para efetuarmos esta conversão.

1.3 SISTEMA HEXADECIMAL DE NUMERAÇÃO

É o sistema que possui 16 algarismos.

DECIMAL 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ... HEXADECIMAL 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F ...

1.3.3 CONVERSÃO DO SISTEMA HEXADECIMAL PARA OCTAL

Usemos como exemplo o número 3F 16.

Primeiro:

92 8 (^4 11 ) 3 1

Segundo:

2 2

3 F

3 x 16^1 + 15 x 16^0 = 63 (^10)

1.3.2 CONVERSÃO DO SISTEMA HEXADECIMAL PARA BINÁRIO

Tomemos como exemplo o número C13 16

1.3.3 CONVERSÃO DO SISTEMA BINÁRIO PARA HEXADECIMAL

Neste caso agrupamos o número binário de quatro em quatro algarismo, e usaremos como

exemplo o número 1100011 2.

1.3.4 CONVERSÃO DO SISTEMA DECIMAL PARA HEXADECIMAL

Existem dois métodos para fazer esta conversão:

Segundo:

C 1 3

C13 16 = 110000010011 2

Primeiro:

1000 16 (^8 62 ) 14 3

Como 1410 = E

1000 10 = 3E8 16

100010 = 3E8 16

2.4 DIVISÃO NO SISTEMA BINÁRIO

Como a multiplicação, a divisão binária é mais simples. No exemplo, como divisor tem três dígitos, perguntamos se o divisor “cabe” nos três primeiros dígitos do dividendo. Verificando que isto não ocorre, usamos os quatro primeiros dígitos do dividendo. Não é necessário estimar qual o dígito do quociente. Como não é 0 deve ser 1. A continuação da divisão segue exatamente os passos da divisão decimal.

(r e s t o)

3.0 PORTAS LÓGICAS E FUNÇÕES LÓGICAS

3.1 ÁLGEBRA DE BOOLE

Em eletrônica trabalhamos com grandezas que assumem apenas dois valore, isto é, grandezas binárias. A ferramenta matemática utilizada no tratamento deste tipo de grandeza, é a Álgebra Booleana, desenvolvida pelo matemático George Boole.

3.2 VARIÁVEIS LÓGICAS

Variáveis lógicas são aquelas que somente assumem dois estados distintos: 0 (zero) ou 1(um). Devemos enfatizar que o 0 e 1 usados aqui, não são números, mas estados lógicos. Utilizaremos o circuito da figura 1 para conceituar variável lógica.

3.3 LÓGICA POSITIVA E LÓGICA NEGATIVA

No circuito da figura 1, verificamos que a tensão pode ser igual a 5V ou a 0V, conforme a posição da chave. Podemos escolher qual dos valores de tensão chamaremos de “1” ou de “0” , o que definira se a lógica é positiva ou negativa.

5 Volts – estado lógico “1” } Lógica positiva 0 Volts – estado lógico “0” }

5 Volts – estado lógico “0” } Lógica negativa 0 Volts – estado lógico “1” }

3.4 PORTA E (AND)

A porta E é um circuito que executa a função E. A função E é aquela que a multiplicação de duas ou mais variáveis binárias.

S = A.B onde se lê S = A e B

Tabela Verdade da função E :

Podemos estender este conceito para qualquer número de entradas. Neste caso uma porta E de N entradas e somente uma saída.

A B S

A B C S

Tabela da verdade da função COMPLEMENTO

3.7 PORTA NÃO E (NAND ou NE)

Essa porta é a composição da porta E com o inversor, ou seja teremos a função E invertida. S = A. B , este traço indica que teremos a inversão do produto A.B

Tabela Verdade da função NE ou NAND :

Podemos estender este conceito para qualquer número de entradas. Neste caso uma porta NAND de N entradas e somente uma saída.

A A

A B S

A B C S

3.8 PORTA NÃO OU (NOU ou NOR)

Essa porta é a composição da porta OU com o inversor, ou seja teremos a função OU invertida.

S = A + B , este traço indica que teremos a inversão do produto A + B

Tabela Verdade da função NOR ou NOU :

Podemos estender este conceito para qualquer número de entradas. Neste caso uma porta NOR de N entradas e somente uma saída.

4.0 EXPRESSÕES, TABELAS VERDADES E INTERLIGAÇÕES ENTRE

CIRCUITOS

4.1 EXPRESSÕES BOOLEANAS GERADAS POR CIRCUITOS LÓGICOS

Podemos escrever a expressão Booleana que é executada por qualquer circuito lógico.  Exemplo 1 :

A B S

A B C S

4.2 CIRCUITOS OBTIDOS DE EXPRESSÕES BOOLEANAS

Podemos desenhar um circuito lógico que execute uma expressão qualquer.

 Exemplo 1:

S = (A + B). C. (B + D)

Iniciamos pelos parênteses, fazendo primeiro as somas dentro destes para depois fazermos as multiplicações.

O circuito completo será:

4.3 TABELAS VERDADES DE EXPRESSÕES BOOLEANAS OU CIRCUITOS

4.3.1 TABELAS VERDADES DE UMA EXPRESSÃO

Utilizamos a tabela verdade para representar o comportamento tanto do circuito como de sua expressão característica.

 Exemplo 1:

S = A + B + A .B. C

A B C (^) A C A .B. C S 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1

 Exemplo 2:

S = A. B. C + A. D + A. B. D

A B C D A. B .C A .D A. B. D S