Universidade Federal da Bahia
MATB98
Instituto de Matemática
UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA
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Joseph Nee Anyah Yartey
Álgebra II
Álgebra II
Licenciatura em Matemática
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Ebook Algebra, livro da UFBA - licenciatura em matemática
Tipologia: Trabalhos
2019
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MATB
Instituto de Matemática
UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA
Joseph Nee Anyah Yartey
Álgebra II
UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA
LICENCIATURA EM MATEMÁTICA INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA
ÁLGEBRA II
Joseph Nee Anyah Yartey
Sumário
CARTA DE APRESENTAÇÃO
Caro (a)s aluno (a)s,
Sejam bem vindos ao curso de Álgebra II.
A disciplina de Álgebra II - MATB98 é uma continuação natural da disciplina Álgebra I - MATB91 que vocês estudaram no 4o^ semestre. Nesta disciplina de Álgebra II, estudaremos com um certo rigor matemático os conceitos de anéis comutativos com unidade, anéis de po- linômios e uma introdução à teoria dos grupos.
Bom aprendizado e sucesso!!
MATB98 - Álgebra II
UNIDADE 1
TEORIA DOS GRUPOS
Definição 1.1.2 ( Grupo ). Sejam G um conjunto não vazio e ∗ : G × G → G uma operação binária. Dizemos que ( G , ∗) é um grupo se as condições são satisfeitas:
(G1) A operação ∗ definida em G é associativa, ou seja,
( a ∗ b ) ∗ c = a ∗ ( b ∗ c ), ∀ a , b , c ∈ G ;
(G2) Existe um elemento neutro em G , ou seja,
∃ e ∈ G tal que a ∗ e = e ∗ a = a , ∀ a ∈ G ;
(G3) Existe elemento inverso para todo elemento de G , ou seja,
∀ a ∈ G , ∃ b ∈ G tal que a ∗ b = b ∗ a = e.
Observações.
(1) Em geral, denotaremos um grupo ( G , ∗) simplesmente por G , ficando a operação subentendida, e a ∗ b por ab.
(2) Estabeleçamos dois tipos de notações para grupos que serão utilizadas no decorrer destas aulas: (a) Grupo Aditivo: Neste tipo de notação temos:
- Operação: “ + ”;
- Elemento Neutro: “0”;
- Inverso de a ∈ G : “ − a ′′.
(b) Grupo Multiplicativo: Neste tipo de notação temos:
- Operação: “ · ” ou “ ∗ ”;
- Elemento Neutro: “e” ou “1′′ ;
- Inverso de a ∈ G : “ a −^1 ”.
Joseph Nee Anyah Yartey
Definição 1.1.3 ( Grupo Abeliano ). Um grupo G é chamado de grupo abeliano (ou grupo comutativo) se a operação ∗ for comutativa, ou seja,
a ∗ b = b ∗ a para todo a , b ∈ G.
Definição 1.1.4 ( Grupo Finito ). Um grupo G é chamado de grupo finito , quando G contiver um número finito de elementos. Neste caso, definimos a ordem de G , denotada por | G |, sendo o número de elementos de G. Quando G não é um grupo finito, dizemos que G é um grupo de ordem infinita, ou seja, isto ocorre quando o grupo G contém infinitos elementos.
Agora ilustramos como grupos surgem em varias áreas de matemática fornecendo uma variedade de exemplos.
Exemplo 1.1.2 ( Grupo de Números).
(a) Considere o conjunto dos números inteiros Z com a operação usual de soma +. Temos que (Z , +) é um grupo, pois
- a soma de 2 inteiros é um inteiro, logo + é uma operação binária em Z;
- a soma é associativa, pois
x + ( y + z ) = ( x + y ) + z , ∀ x , y , z ∈ Z;
- o elemento neutro é 0 , pois
x + 0 = 0 + x = x , ∀ x ∈ Z;
- o inverso de x é − x , pois
x + (− x ) = (− x ) + x = 0 , ∀ x ∈ Z.
MATB98 - Álgebra II
Exemplo 1.1.3 ( Classes residuais módulo n ).
(a) O conjunto Z n = { 0 , 1 , · · · , n − 1 } de classes residuais módulo n com a operação da soma
a + b = a + b
é um grupo aditivo abeliano finito, ordem n com elemento neutro 0 e o inverso de a é ( n − a ). (b) O conjunto U n = { a ∈ Z n : mdc( a , n ) = 1 } dos elementos invertíveis de Z n com a operação
a · b = ab
é um grupo multiplicativo abeliano finito, ordem ϕ( n ) com elemento neutro 1 e o inverso multiplicativo de a ∈ U ( n ) é o elemento b tal que a · b = 1 ou a · b ≡ n 1. Por exemplo ϕ(28) = ϕ(2^2 )ϕ(7) = 2 · 6 = 12. Portanto
U 28 = { 1 , 3 , 5 , 9 , 11 , 13 , 15 , 17 , 19 , 23 , 25 , 27 }.
Como 3 · 19 = 57 ≡ 28 1 temos que 19 é o inverso multiplicativo de 3 5 · 17 = 85 ≡ 28 1 temos que 17 é o inverso multiplicativo de 5 9 · 25 = 225 ≡ 28 1 temos que 25 é o inverso multiplicativo de 5 11 · 23 = 253 ≡ 28 1 temos que 23 é o inverso multiplicativo de 11 13 · 13 = 169 ≡ 28 1 temos que 13 é seu proprio inverso multiplicativo 15 · 15 = 225 ≡ 28 1 temos que 15 é seu proprio inverso multiplicativo 27 · 27 = 729 ≡ 28 1 temos que 27 é seu proprio inverso multiplicativo
MATB98 - Álgebra II
Exemplo 1.1.4 ( Matrizes).
(a) ( Mn ( X ), +) o conjunto de matrizes n × n com entradas em X , com a operação usual de soma é um grupo aditivo abeliano. (b) ( GLn ( X ), ·) o conjunto de matrizes n × n inversíveis com entradas em X , isto é
GLn ( X ) = { A ∈ Mn ( X ), det( A ) , 0 }
com a operação usual de produto é um grupo multiplicativo. (c) ( SLn ( X ), ·) o conjunto de matrizes n × n com determinante igual 1, isto é
SLn ( X ) = { A ∈ GLn ( X ), det( A ) = 1 }
com a operação usual de produto é um grupo multiplicativo. Faremos alguns exercícios variados com intuito de trabalhar as operações que poderemos definir para que um determinado conjunto não vazio seja grupo.
Exemplo 1.1.5. Verifique quais dos conjuntos abaixo G é um grupo sob a operação ∗ :
(i) G = R; a ∗ b = a + b − 1 , ∀ a , b ∈ G = R. (ii) G = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 }; a ∗ b = ab ( mod 6), ∀ a , b ∈ G.
Solução.
(i) G = R; a ∗ b = a + b − 1
- Seja a , b ∈ G. Então a ∗ b = a + b + 1 ∈ G. Portanto, G é fechado com relação ao ∗.
- G1: Associativa Seja a , b , c ∈ G. Então
( a ∗ b ) ∗ c = ( a + b − 1) ∗ c = ( a + b − 1) + c − 1 = a + ( b + c − 1) − 1 = a + ( b ∗ c ) − 1 = a ∗ ( b ∗ c ).
Joseph Nee Anyah Yartey
∗ e a 1 a 2 · · · an − 1 e e e e e e a 1 e a 1 ∗ a 1 a 1 ∗ a 2 · · · a 1 ∗ an − 1 a 2 e a 2 ∗ a 1 a 2 ∗ a 2 · · · a 2 ∗ an − 1 ... e ... ... ... ... an − 1 e an − 1 ∗ a 1 an − 1 ∗ a 2 · · · an − 1 ∗ an − 1
Esta tabela é chamada a tabela de Cayley para o grupo ( G , ∗). Observemos que na construção da tabela não podemos ter repetições de elementos nem nas linhas e nem nas colunas.
Exemplo 1.1.6. Construa a tabela de Cayley para o grupo multiplicativo U 5.
Solução. U 5 = { x ∈ Z 5 , mdc ( x , 5) = 1 } = { 1 , 2 , 3 , 4 } ∗ 1 2 3 4 1 1 2 3 4 2 2 4 1 3 3 3 1 4 2 4 4 3 2 1
Exemplo 1.1.7. Construa as tabelas de Cayley de grupos finitos de ordens 1, 2, 3 e 4.
Solução.
(a) Seja G um grupo de ordem 1. Logo G contém somente o elemento neutro, isto é, G = { e }. A tabela de Cayley do grupo G está no lado. Neste caso G é abeliano.
∗ e e e
(b) Seja G um grupo de ordem 2. Logo G contém o elemento neutro e mais outro elemento. Vamos representar G por G = { e , a }. A tabela de Cayley do grupo G está no lado. Neste caso G é abeliano.
∗ e a e e a a a e
Joseph Nee Anyah Yartey
(c) Seja G um grupo de ordem 3. Logo G possui o elemento neutro mais 2 outros elementos. Vamos representar G por G = { e , a , b }.
- a ∗ b pode ser e ou a ou b. Se a ∗ b = a então b = e impossível. Da mesma forma a ∗ b , b. Portanto a ∗ b = e e a = b −^1.
- a ∗ a , a (a fim de que não temos a = e) e a ∗ a , e (a fim de que não temos a = a −^1 = b). Portanto a ∗ a = b.
- Da mesma forma b ∗ a = e e b ∗ b = a.
Portanto G possui a tabela de Cayley no lado. Neste caso G é abeliano.
∗ e a b e e a b a a b e b b e a
(d) Seja G um grupo de ordem 4. Logo G possui o elemento neutro e mais 3 outros elementos. Vamos representar G por G = { e , a , b , c }. Temos 2 possíveis tabelas de Cayley para G:
- Se a ∗ a = b ∗ b = c ∗ c = e então a ∗ b = b ∗ a = c , a ∗ c = c ∗ a = b e b ∗ c = c ∗ b = a. Portanto G possui a tabela de Cayley abaixo. Este grupo é chamado de grupo-4 de Klein , ou simplesmente grupo de Klein. Neste caso G é abeliano. ∗ e a b c e e a b c a a e c b b b c e a c c b a e
- Agora suponha que a ∗ a , e. Então a ∗ a pode ser b ou c. Vamos suponha que a ∗ a = b. Então a ∗ b ou igual a e ou c. Se a ∗ b = e então
a ∗ c , e (a fim de que não temos c = a −^1 = b ) a ∗ c , b (a fim de que não temos c = a ) a ∗ c , a (a fim de que não temos c = e ) a ∗ c , c (a fim de que não temos a = e )
Portanto não podemos ter a ∗ b = e , logo a ∗ b = c. Portanto G possui a tabela de Cayley
MATB98 - Álgebra II
· 1 i j k -i -j -k - 1 1 i j k -i -j -k - i i -1 k -j 1 -k j -i j j -k -1 i k 1 -i -j k k j -i -1 -j i 1 -k -i -i 1 -k j -1 k -j i -j -j k 1 -i -k -1 i j -k -k -j i 1 j -i -1 k -1 -1 -i -j -k i j k 1
Vantagens da tabela de Cayley:
- Fácil de entender.
- Elemento neutro e inversos são relativamente fácil de encontrar.
- É fácil de determinar se o grupo é abeliano ou não ( basta observar simetria do diagonal).
Desvantagens da tabela de Cayley:
- Só pode ser usados para grupos finitos de ordens pequenos.
1.1.3 Propriedades básicas de grupos
Proposição 1.1.1. Sejam ( G , ·) um grupo e a , b , c ∈ G. (1) O elemento neutro é único. (2) O elemento inverso é único. (3) A equação a · x = b admite uma única solução em G , a saber, x = a −^1 · b. (4) ( a · b )−^1 = b −^1 · a −^1 Observe que se G é um grupo abeliano, então ( a · b )−^1 = a −^1 · b −^1. (5) (Lei do Cancelamento) Se a · b = a · c , então b = c ou Se b · a = c · a , então b = c.
MATB98 - Álgebra II
Demonstração.
(1) Suponha que e e e ′^ são 2 elementos neutros de G , isto é a · e = a · e ′^ = a , ∀ a ∈ G. Em particular
e ′^ = e · e ′^ = e.
(2) Suponha que a ′^ e a ′′^ são inversos de a ∈ G , isto é a · a ′^ = a ′^ · a = e e a · a ′′^ = a ′′^ · a = e onde e é o elemento neutro de G. Então
a ′′^ = e · a ′′; pois e é o elemento neutro = ( a ′^ · a ) · a ′′; pois a ′^ é um elemento inverso de a = a ′^ · ( a · a ′′); pois a operação é associativa = a ′^ · e ; pois a ′′^ é um elemento inverso de a = a ′; pois e é o elemento neutro
Portanto o elemento inverso de a ∈ G é único.
(3) ax = b =⇒ a −^1 ax = a −^1 b Portanto x = a −^1 b.
(4) Devemos provar que ( ab ) · ( b −^1 a −^1 ) = e e ( b −^1 a −^1 ) · ( ab ) = e. Agora
( ab ) · ( b −^1 a −^1 ) = a ( bb −^1 ) a −^1 = a · e · a −^1 = aa −^1 = e.
e
( b −^1 a −^1 )( ab ) = b −^1 ( a −^1 a ) b = b −^1 · e · b = b −^1 b = e.
Joseph Nee Anyah Yartey