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Sum´ario
Curso Prático & Objetivo
Álgebra Linear
Curso Prático & Objetivo
- 1 Espac¸os Vetoriais
- 1.1 Introduc¸ ˜ao e Exemplos
- 1.2 Propriedades
- 1.3 Exerc´ıcios
- 2 Subespac¸os Vetoriais
- 2.1 Introduc¸ ˜ao e Exemplos
- 2.2 Intersec¸ ˜ao e Soma de Subespac¸os
- 3 Combinac¸ ˜oes Lineares - 3.1 Introduc¸ ˜ao e Exemplos - 3.2 Geradores - 3.3 Exerc´ıcios
- 4 Dependˆencia Linear
- 4.1 Introduc¸ ˜ao e Exemplos
- 4.2 Propriedades
- 4.3 Exerc´ıcios
- 5 Base, Dimens˜ao e Coordenadas
- 5.1 Base
- 5.2 Dimens˜ao
- 5.3 Dimens˜ao de Soma de Subespac¸os Vetoriais
- 5.4 Coordenadas
- 5.5 Exerc´ıcios
- 6 Mudanc¸a de Base 4 SUM ARIO´ - 6.1 Introduc¸ ˜ao, Exemplos e Propriedades
- 7 Exerc´ıcios Resolvidos – Uma Revis˜ao
- 8 Transformac¸ ˜oes Lineares - 8.1 Introduc¸ ˜ao e Exemplos - 8.2 O Espac¸o Vetorial L (U, V ) - 8.3 Imagem e N´ucleo - 8.4 Isomorfismo e Automorfismo - 8.5 Matriz de uma Transformac¸ ˜ao Linear - 8.5.1 Definic¸ ˜ao e Exemplos - 8.5.2 Propriedades - 8.6 Exerc´ıcios Resolvidos
- 9 Autovalores e Autovetores
- 9.1 Definic¸ ˜ao, Exemplos e Generalidades
- 9.2 Polinˆomio Caracter´ıstico
- 9.3 Exerc´ıcios
- 10 Diagonalizac¸ ˜ao - 10.1 Definic¸ ˜ao e Caracterizac¸ ˜ao - 10.2 Exerc´ıcios
- 11 Forma Canˆonica de Jordan - 11.1 Exerc´ıcio
- 12 Espac¸os Euclidianos - 12.1 Produto Interno - 12.2 Norma - 12.3 Distˆancia - 12.4 Anguloˆ - 12.5 Ortogonalidade - 12.6 Processo de Ortonormalizac¸ ˜ao de Gram-Schmidt - 12.7 Complemento Ortogonal
6 SUM ARIO´
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Álgebra Linear - Série Concursos Públicos
Cap´ıtulo 1
Espac¸os Vetoriais
1.1 Introduc¸ ˜ao e Exemplos
Neste cap´ıtulo introduziremos o conceito de espac¸o vetorial que ser´a usado em todo o decorrer do curso. Por´em, antes de apresentarmos a definic¸ ˜ao de espac¸o vetorial, passemos a analisar em paralelo dois objetos: o conjunto formado pelas func¸ ˜oes f : R → R, denotado por F (R) e o conjunto das matrizes quadradas de ordem m com coeficientes reais que denotaremos por Mm(R), ou simplesmente, por Mm. A soma de duas func¸ ˜oes f e g de F (R) e definida como sendo a func´ ¸ ˜ao f + g ∈ F (R) dada por (f + g)(x) = f (x) + g(x). Note tamb´em que se λ ∈ R podemos multiplicar a func¸ ˜ao f pelo escalar λ, da seguinte forma (λf )(x) = λ(f (x)), resultando num elemento de F (R). Com relac¸ ˜ao a Mn podemos somar duas matrizes quadradas de ordem n, A = (aij )n×n e B = (bij )n×n, colocando A + B = (aij + bij )n×n, que ´e um elemento de Mn. Com a relac¸ ˜ao `a multiplicac¸ ˜ao de A = (aij )n×n por um escalar λ ∈ R, e natural´ definirmos λA = (λaij )n×n, o qual tamb´em pertence a Mn. O que estes dois conjuntos acima, com estas estruturas de adic¸ ˜ao de seus elementos e multiplicac¸ ˜ao de seus elementos por escalares, tˆem comum? Vejamos: Verifica-se facilmente a partir das propriedades dos n´umeros reais que, com relac¸˜ao a quaisquer func¸ ˜oes f, g e h em F (R) e para todo λ, μ ∈ R, s˜ao v´alidos os seguintes resultados:
- f + g = g + f ;
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1.1. INTRODUC¸ AO E EXEMPLOS˜ 9
a soma entre u e v e denotado por u + v, e uma multiplicac¸ ˜ao por escalar, isto ´e, para cada u ∈ V e λ ∈ R existe um ´unico elemento de V associado, chamado de o produto de u pelo escalar λ e denotado por λu.
Definic¸ ˜ao 1.1 Diremos que um conjunto V como acima munido de uma adic¸ ˜ao e de uma multiplicac¸ ˜ao por escalar ´e um espac¸o vetorial se para quaisquer u, v e w em V e para todo λ, μ ∈ R s˜ao v´alidas as seguintes propriedades:
EV 1 u + v = v + u para quaisquer u, v ∈ V ;
EV 2 u + (v + w) = (u + v) + w para quaisquer u, v, w ∈ V ;
EV 3 existe um elemento 0 ∈ V tal que 0 + u = u para todo u ∈ V ;
EV 4 para cada u ∈ V existe v ∈ V tal que u + v = 0;
EV 5 λ(μu) = (λμ)u para quaisquer u ∈ V e λ, μ ∈ R;
EV 6 (λ + μ)u = λu + μu para quaisquer u ∈ V
EV 7 λ(u + v) = λu + λv para quaisquer u, v ∈ V e λ ∈ R;
EV 8 1 u = u para qualquer u ∈ V.
Observac¸ ˜ao 1.2 O elemento 0 na propriedade EV (^3) ´e ´unico, pois qualquer outro 0 ′^ ∈ V satisfazendo a mesma propriedade EV 3 ent˜ao, pelas propriedades EV 3 e EV 1 ter´ıamos 0 ′^ = 0 + 0′^ = 0′^ + 0 = 0, isto ´e, 0 = 0′.
Observac¸ ˜ao 1.3 Em um espac¸o vetorial, pela propriedade EV 4 , para cada u ∈ V existe v ∈ V tal que u + v = 0. Na verdade, para cada u ∈ V existe somente um elemento v ∈ V com esta propriedade. De fato, dado u ∈ V se v e v′^ em V s˜ao tais que u + v = 0 e u + v′^ = 0 ent˜ao, combinando estas equac¸ ˜oes com as propriedades EV 1 , EV 2 e EV 3 , obtemos v = v + 0 = v + (u + v′) = (v + u) + v′^ = (u + v) + v′^ = 0 + v′^ = v′, isto ´e v = v′. Denotaremos v por −u e u − v por u + (−v).
Observac¸ ˜ao 1.4 As quatro primeiras propriedades referem-se apenas `a operac¸ ˜ao de adic¸ ˜ao e s˜ao conhecidas, respectivamente, por propriedade comutativa, propriedade associatividade, existˆencia do elemento neutro e existˆencia do elemento inverso. A quinta e a oitava propriedades s˜ao exclusivas da multiplicac¸ ˜ao por escalar e tamb´em podem ser chamadas de associatividade e elemento neutro da multiplicac¸ ˜ao, respectivamente.
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10 CAP´ITULO 1. ESPAC¸ OS VETORIAIS
A sexta e a s´etima propriedades relacionam as duas operac¸ ˜oes e s˜ao ambas conhe- cidas por distributividade.
Um outro exemplo de espac¸o vetorial, al´em dos dois apresentados no in´ıcio do texto, e o conjunto dos vetores como apresentados em Geometria Anal´´ ıtica munido da adic¸ ˜ao e da multiplicac¸ ˜ao por escalar. Dessa forma, o adjetivo vetorial utilizado na definic¸˜ao acima deve ser entendido de uma forma mais ampla, sendo uma referˆencia aos elementos de V independentemente de serem ou n˜ao vetores. Talvez o exemplo mais simples de espac¸o vetorial seja o conjunto dos n´umeros reais com a adic¸ ˜ao e multiplicac¸ ˜ao usuais. Mais geralmente, para cada n ∈ N, podemos trans- formar o conjunto das n-uplas ordenadas de n´umeros reais, Rn, em um espac¸o vetorial definindo a adic¸ ˜ao de duas n-uplas ordenadas, x = (x 1 ,... , xn) e y = (y 1 ,... , yn), adicionando-se coordenada a coordenada, isto ´e,
x + y = (x 1 + y 1 ,... , xn + yn)
e o produto de uma n-upla x = (x 1 ,... , xn) por um escalar λ ∈ R por
λx = (λx 1 , · · · , λxn).
E uma rotina bem simples verificar que desse modo^ ´ Rn^ e um espac´ ¸o vetorial. Deixamos como exerc´ıcio esta tarefa. Verifique tamb´em que os seguintes exemplos s˜ao espac¸os vetoriais.
- Sejam n ∈ N e V = Pn(R) o conjunto formado pelo polinˆomio nulo e por todos os polinˆomios de grau menor ou igual a n com coeficientes reais. Definimos a adic¸ ˜ao e a multiplicac¸ ˜ao por escalar da seguinte maneira: - Se p(x) = a 0 + a 1 x · · · + anxn^ e q(x) = b 0 + b 1 x · · · + bnxn^ s˜ao elementos de Pn(R) ent˜ao
p(x) + q(x) = (a 0 + b 0 ) + (a 1 + b 1 )x · · · + (an + bn)xn.
- Se p(x) = a 0 + a 1 x · · · + anxn^ ´e um elemento de Pn(R) e λ ∈ R ent˜ao
λp(x) = (λa 0 ) + (λa 1 )x + · · · + (λan)xn.
- Sejam A ⊂ R e F (A; R) o conjunto de todas as func¸ ˜oes f : A → R. Se f, g ∈ F (A; R) e λ ∈ R defina f + g : A → R por (f + g)(x) = f (x) + g(x) e (λf )(x) = λf (x), x ∈ A. Ent˜ao, F (A; R) com esta adic¸ ˜ao e produto por escalar e um espac´ ¸o vetorial.
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12 CAP´ITULO 1. ESPAC¸ OS VETORIAIS
1.2 Propriedades
Das oito propriedades que definem um espac¸o vetorial podemos concluir v´arias outras. Listaremos algumas destas propriedades na seguinte
Proposic¸ ˜ao 1.5 Seja V um espac¸o vetorial. Temos
1. Para qualquer λ ∈ R, λ0 = 0. 2. Para qualquer u ∈ V, 0 u = 0. 3. Se λu = 0 ent˜ao λ = 0 ou u = 0. 4. Para quaisquer λ ∈ R e u ∈ V, (−λ)u = λ(−u) = −(λu). 5. Para qualquer u ∈ V, −(−u) = u. 6. Se u + w = v + w ent˜ao u = v. 7. Se u, v ∈ V ent˜ao existe um ´unico w ∈ V tal que u + w = v.
Prova:
- Temos λ0 = λ(0 + 0) = λ0 + λ 0 pelas propriedades EV3 e EV7. Utilizando as propriedades EV1 a EV4 e a notac¸ ˜ao da observac¸ ˜ao 1.3, obtemos 0 = λ0 + (−(λ0)) = (λ0 + λ0) + (−(λ0)) = λ0 + (λ0 + (−(λ0))) = λ0 + 0 = λ 0 , isto ´e λ0 = 0.
- Temos 0 u = (0 + 0)u = 0u + 0u, pela propriedade EV6. Utilizando as proprie- dades EV1 a EV4 e a notac¸ ˜ao da observac¸ ˜ao 1.3, obtemos 0 = 0u + (−(0u)) = (0u + 0u) + (−(0u)) = 0u + (0u + (−(0u)) = 0u + 0 = 0u, isto ´e, 0 u = 0.
- Se λ 6 = 0 ent˜ao pelas propriedades EV8 e EV5 e pelo item 1 desta proposic¸ ˜ao, u = 1u = (λ−^1 λ)u = λ−^1 (λu) = λ−^1 0 = 0.
- Utilizando a propriedade EV6 e o item 2 desta proposic¸˜ao, obtemos λu+(−λ)u = (λ + (−λ))u = 0u = 0. Pela observac¸ ˜ao 1.3, −(λu) = (−λ)u. Analogamente, utilizando-se a propriedade EV7, mostra-se que −(λu) = λ(−u).
A prova dos outros resultados ´e deixada como exerc´ıcio.
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1.3. EXERC´ICIOS 13
1.3 Exerc´ıcios
Ex. 1.6 Verifique se em cada um dos itens o conjunto V com as operac¸ ˜oes indicadas ´e um espac¸o vetorial sobre R.
- V = R^3 , (x 1 , y 1 , z 1 ) + (x 2 , y 2 , z 2 ) = (x 1 + x 2 , y 1 + y 2 , z 1 + z 2 ); α(x, y, z) = (αx, αy, αz).
2. V =
a −b b a
; a, b ∈ R
, operac¸ ˜oes usuais de M 2 (R).
3. V =
(x, y) ∈ R^2 ; 3x − 2 y = 0
, operac¸ ˜oes usuais de R^2.
- V = {f : R → R; f (−x) = f (x), ∀x ∈ R}, operac¸ ˜oes usuais de func¸ ˜oes.
- V = P(R) = { polinˆomios com coeficientes reais } , operac¸ ˜oes usuais de fun- c¸ ˜oes.
- V = R^2 , (x 1 , y 1 ) + (x 2 , y 2 ) = (2x 1 − 2 y 1 , y 1 − x 1 , α(x, y) = (3αx, −αx.)
- V = R^2 , (x 1 , y 1 ) + (x 2 , y 2 ) = (x 1 + x 2 , y 1 + y 2 ), α(x, y) = (αx, 0).
- V =
(x, y, z, w) ∈ R^4 ; y = x, z = w^2
, operac¸ ˜oes usuais de R^4.
- V = R × R∗, (x 1 , y 1 ) + (x 2 , y 2 ) = (x 1 + x 2 , y 1 y 2 ), α(x, y) = (αx, yα).
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Cap´ıtulo 2
Subespac¸os Vetoriais
2.1 Introduc¸ ˜ao e Exemplos
Definic¸ ˜ao 2.1 Seja V um espac¸o vetorial. Dizemos que W ⊂ V (^) ´e um subespac¸o veto- rial de V se forem satisfeitas as seguintes condic¸ ˜oes:
SV 1 0 ∈ W ;
SV 2 Se u, v ∈ W ent˜ao u + v ∈ W ;
SV 3 Se u ∈ W ent˜ao λu ∈ W para todo λ ∈ R.
Observac¸ ˜ao 2.2 Note que todo subespac¸o vetorial W de um espac¸o vetorial V ´e ele pr´oprio um espac¸o vetorial. As propriedades comutativa, associativa, distributivas e EV 8 s˜ao herdadas do pr´oprio espac¸o vetorial V. O elemento neutro da adic¸ ˜ao ´e um elemento de W por SV 1_. Finalmente, se_ u ∈ W ent˜ao −u = (−1)u ∈ W pelo item 4 da proposic¸ ˜ao 1.5 e por SV 3_._
Observac¸ ˜ao 2.3 Obviamente { 0 } e V s˜ao subespac¸os vetoriais do espac¸o vetorial V. S˜ao chamados de subespac¸os vetoriais triviais.
Observac¸ ˜ao 2.4 Note que W ´e subespac¸o vetorial de V se e somente se s˜ao v´alidas as seguintes condic¸ ˜oes:
SV1’ 0 ∈ W ;
SV2’ Se u, v ∈ W e λ ∈ R ent˜ao u + λv ∈ W.
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16 CAP´ITULO 2. SUBESPAC¸ OS VETORIAIS
Vejamos alguns outros exemplos:
Exemplo 2.5 Seja P n∗ ⊂ Pn, dado por P n∗ = {p(x) ∈ Pn; p(0) = 0}.
Verifiquemos que P n∗ ´e, de fato, um subespac¸o vetorial de Pn.
- O polinˆomio nulo se anula em x = 0, logo, pertence a P n∗.
- Se p(x), q(x) ∈ P n∗ ent˜ao p(0) + q(0) = 0 e, portanto, p(x) + q(x) ∈ P∗ n.
- se p(x) ∈ P n∗ ent˜ao λp(0) = 0 para qualquer λ ∈ R. Assim, λp(x) ∈ P n∗.
Exemplo 2.6 Verifiquemos que S = {(x, y, z) ∈ R^3 ; x + y + z = 0} e um subespac´ ¸o vetorial de R^3.
- E claro que´ (0, 0 , 0) satisfaz 0 + 0 + 0 = 0.
- Se (x, y, z), (u, v, w) ∈ S ent˜ao (x + u) + (y + v) + (z + w) = (x + y + z) + (u + v + w) = 0 e, portanto, (x, y, z) + (u, v, w) ∈ S.
- se (x, y, z) ∈ S ent˜ao λx + λy + λz = λ(x + y + z) = 0 para qualquer λ ∈ R. Assim, λ(x, y, z) ∈ S.
Exemplo 2.7 Considere o seguinte conjunto S = {y ∈ C^2 (R; R); y′′^ − y = 0} onde y′′^ representa a derivada de segunda ordem de y. Verifiquemos que S ´e um subespac¸o vetorial de C^2 (R; R).
- Claramente a func¸ ˜ao nula satisfaz 0 ′′^ − 0 = 0;
- Se y 1 , y 2 ∈ S ent˜ao (y 1 + y 2 )′′^ − (y 1 − y 2 ) = (y 1 ′′ − y 1 ) − (y′′ 2 − y 2 ) = 0. Logo, y 1 + y 2 ∈ S.
- Se y ∈ S e λ ∈ R ent˜ao (λy)′′^ − λy = λ(y′′^ − y) = 0. Portanto, λy ∈ S.
Deixamos como exerc´ıcio a verificac¸ ˜ao de que os seguintes exemplos s˜ao subespac¸os vetoriais dos respectivos espac¸os vetoriais.
Exemplo 2.8 Sejam a 1 ,... , an ∈ R e S = {(x 1 ,... , xn) ∈ Rn; a 1 x 1 + · · · + anxn = 0 }. Mostre que S ´e um subespac¸o vetorial de Rn.
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18 CAP´ITULO 2. SUBESPAC¸ OS VETORIAIS
Proposic¸ ˜ao 2.16 (Soma de subespac¸os) Sejam U, W e V como na definic¸ ˜ao acima. Ent˜ao U + W ´e um subespac¸o vetorial de V. Al´em do mais, U ∪ W ⊂ U + W.
Prova: Verifiquemos que U + W ´e subespac¸o vetorial de V.
- Como 0 ∈ U e 0 ∈ W ent˜ao 0 = 0 + 0 ∈ U + W ;
- Sejam x 1 , x 2 ∈ U + W ent˜ao xj = uj + wj , uj ∈ U, wj ∈ W, j = 1, 2. Agora, se λ ∈ R ent˜ao x 1 +λx 2 = u 1 +w 1 +λ(u 2 +w 2 ) = (u 1 +λu 2 )+(w 1 +λw 2 ) ∈ U +W, pois U e W s˜ao subespac¸os vetoriais.
Mostremos que U ∪ W ⊂ U + W. Seja v ∈ U ∪ W. Se v ∈ U ent˜ao v = v + 0 ∈ U + W. Se v ∈ W ent˜ao v = 0 + v ∈ U + W. Ou seja, U ∪ W ⊂ U + W.
Definic¸ ˜ao 2.17 Sejam U e W subespac¸os vetoriais de um espac¸o vetorial V. Dizemos que U + W ´e a soma direta de U e W se U ∩ W = { 0 }. Neste caso usaremos a notac¸ ˜ao U ⊕ W para representar U + W.
Observac¸ ˜ao 2.18 Note que trivialmente { 0 } ⊂ U ∩ W se U e W s˜ao subespac¸os veto- riais.
Proposic¸ ˜ao 2.19 (Soma de subespac¸os) Sejam U e W subespac¸os vetoriais de um es- pac¸o vetorial V. Temos V = U ⊕ W se e somente se para cada v ∈ V existirem um unico´ u ∈ U e um ´unico w ∈ W satisfazendo v = u + w.
Prova: Suponha que V = U ⊕ W, isto ´e, V = U + W e U ∩ W = { 0 }. Ent˜ao, dado v ∈ V existem u ∈ U e w ∈ W satisfazendo v = u + w. Queremos mostrar que tal decomposic¸ ˜ao ´e ´unica. Suponha que existam u′^ ∈ U e w′^ ∈ W tais que v = u′^ + w′. Ent˜ao, u + w = u′^ + w′, o que implica em u − u′^ = w′^ − w. Mas u − u′^ ∈ U e w′^ − w ∈ W e, portanto, u − u′^ = w′^ − w ∈ U ∩ W = { 0 }, ou seja u = u′^ e w = w′. Suponha agora que para cada v ∈ V existam um ´unico u ∈ U e um ´unico w ∈ W satisfazendo v = u + w. E claro que´ V = U + W. Resta mostrar que U ∩ W = { 0 }. Obviamente, 0 ∈ U ∩ W. Seja v ∈ U ∩ W, isto ´e, v ∈ U e v ∈ W. Ent˜ao, existem um unico´ u ∈ U e um ´unico w ∈ W satisfazendo v = u + w. Observe que v = u + w = (u + v) + (w − v) com u + v ∈ U e w − v ∈ W e, pela unicidade da decomposic¸ ˜ao, devemos ter u = u + v e w = w − v, isto ´e, v = 0. Logo, U ∩ W = { 0 }. Alternativamente, poder´ıamos supor a existˆencia de v 6 = 0 em U ∩ W e da´ı ob- ter´ıamos v = 2v − v = 4v − 3 v, duas decomposic¸ ˜oes distintas para v j´a que 2 v, 4 v ∈ U, 2 v 6 = 4v e −v, − 3 v ∈ W.
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2.2. INTERSEC¸ AO E SOMA DE SUBESPAC˜ ¸ OS 19
Exemplo 2.20 Verifique que R^3 e a soma direta de´ U = {(x, y, z) ∈ R^3 ; x+y +z = 0} e W = {(x, y, z) ∈ R^3 ; x = y = 0}.
Note que W e de fato um subespac´ ¸o vetorial de R^3 pois W = {(x, y, z) ∈ R^3 ; x = 0} ∩ {(x, y, z) ∈ R^3 ; y = 0} ou, alternativamente, se u 1 = (x 1 , y 1 , z 1 ), u 2 = (x 2 , y 2 , z 2 ) ∈ W ent˜ao x 1 = y 1 = x 2 = y 2 = 0 e u 1 + u 2 = (0, 0 , z 1 + z 2 ) e claramente um elemento´ de W. Se λ ∈ R ent˜ao
λu 1 = λ(0, 0 , z 1 ) = (λ 0 , λ 0 , λz 1 ) = (0, 0 , λz 1 ) ∈ W.
Finalmente, (0, 0 , 0) ∈ W, o que conclui a prova de que W ´e um subespac¸o vetorial. Prosseguindo, dado (x, y, z) ∈ R^3 podemos escrever
(x, y, z) = (x, y, −x − y) + (0, 0 , z + x + y)
e como (x, y, −x − y) ∈ U e (0, 0 , z + x + y) ∈ W obtemos R^3 = U + W. Resta agora mostrar que U ∩ W = { 0 }. Seja (x, y, z) ∈ U ∩ W. Temos
x + y + z = 0 x = 0 y = 0
⇐⇒ (x, y, z) = (0, 0 , 0).
Definic¸ ˜ao 2.21 Sejam U 1 ,... , Un subespac¸os vetoriais de um espac¸o vetorial V. A so- ma de U 1 a Un e definida por´
U 1 + · · · + Un = {u 1 + · · · + un; uj ∈ Uj , j = 1,... , n}.
Definic¸ ˜ao 2.22 Sejam U 1 ,... , Un subespac¸os vetoriais de um espac¸o vetorial V. Dize- mos que a soma de U 1 a Un e uma soma direta se´
Uj ∩ (U 1 + · · · + Uj− 1 + Uj+1 + · · · + Un) = { 0 }, j = 1,... n.
Neste caso usaremos a notac¸ ˜ao U 1 ⊕ · · · ⊕ Un para denotar a soma de U 1 a Un.
Observac¸ ˜ao 2.23 E ´´obvio que
0 ∈ Uj ∩ (U 1 + · · · + Uj− 1 + Uj+1 + · · · + Un)
se U 1 ,... , Un s˜ao subespac¸os vetoriais.
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2.3. EXERC´ICIOS 21
- V = Mn(R), dada B ∈ Mn(R), defina W = {A ∈ Mn(R); BA = 0}.
- V = Rn, W = {(x 1 , x 2 , · · · , xn); a 1 x 1 + · · · + anxn = 0} , onde a 1 ,... , an ∈ R s˜ao dados.
- V = Mn× 1 (R), W = {X ∈ Mn× 1 (R); AX = 0} , onde A ∈ Mm×n ´e dada.
- V = Pn(R), W = {p ∈ Pn(R); p′(t) = 0, ∀t ∈ R}.
- V = Mn(R), W =
A ∈ Mn(R); At^ = A
- V = Mn(R), W =
A ∈ Mn(R); At^ = −A
Ex. 2.27 Diga, em cada um dos itens abaixo, se a afirmac¸ ˜ao ´e verdadeira ou falsa, jus- tificando sua resposta. isto ´e, provando se for verdadeira ou dando um contra-exemplo se for falsa.
- Se W 1 e W 2 s˜ao susbespac¸os de um espac¸o vetorial V ent˜ao W 1 ∪W 2 ´e subespac¸o de V.
- Sejam W 1 e W 2 subespac¸os de um espac¸o vetorial V. Ent˜ao W 1 ∪ W 2 ´e subespac¸o de V se, e somente se, W 1 ⊆ W 2 ou W 2 ⊆ W 1. (Sugest˜ao: mostre que se W e´ subespac¸o de V e x 0 , y 0 ∈ V s˜ao tais que x 0 ∈ W e y 0 6 ∈ W ent˜ao x 0 + y 0 ∈/ W e use-o.)
Ex. 2.28 Em cada item abaixo encontrar os subespac¸os U + W e U ∩ W , onde U, W s˜ao subespac¸os do espac¸o vetorial V indicado.
- U =
x, y) ∈ R^2 ; y = 0
, W =
(x, y) ∈ R^2 ; x = 2y
, V = R^2.
2. U =
a 0 0 b
; a, b ∈ R
, W =
0 c 0 d
; c, d ∈ R
, V = M 2 (R).
- V = P 3 (R), U = {p(t) ∈ V ; p′′(t) = 0} , W = {q(t) ∈ V ; q′(t) = 0}.
Ex. 2.29 Verifique em cada um dos itens abaixo se V = U ⊕ W.
1. V = R^2 , U =
(x, y) ∈ R^2 ; 2x + 3y = 0
, W =
(x, y) ∈ R^2 ; x − y = 0
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22 CAP´ITULO 2. SUBESPAC¸ OS VETORIAIS
2. V = M 3 (R), U =
a b 0 0 0 c 0 0 d
(^) ; a, b, c, d ∈ R
W =
0 0 e f g 0 h i 0
(^) ; e, f, g, h, i ∈ R
3. V = P 3 (R), U = {p(t) ∈ P 3 (R); p(1) = p(0) = 0} , W = {q(t) ∈ P 3 (R); q′(t) = 0, ∀t ∈ R}.
Ex. 2.30 Em cada um dos itens abaixo, dado U subespac¸o de V , encontrar o subespac¸o suplementar de U , isto ´e, o subespac¸o W de V tal que V = U ⊕ W.
- V = R^3 , U = {(x, y, 0); x, y ∈ R}.
- V = P 3 (R), U = {p(t) ∈ P 3 (R); p′′(t) = 0, ∀t ∈ R}.
- V = M 3 (R), U =
A ∈ M 3 (R); At^ = A
- V = M 2 × 1 (R), U = {X ∈ M 2 × 1 (R); AX = 0} , onde A =
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Álgebra Linear - Série Concursos Públicos
