UFMS - Universidade Federal de Mato Grosso do Sul
INMA - Intituto de Matem´atica - ´
Algebra Linear
1a
¯Lista de Exerc´ıcios
1. Dadas A=
1−3 2
2 1 −3
4−3−1
,B=
1 4 1 0
2 1 1 1
1−2 1 2
eC=
2 1 −1−2
3−2−1−1
2−5−1 0
,
mostre que AB =AC.
2. Encontre a matriz A2, onde A="−2 1
3 2 #.
3. Se A="3−2
−4 3 #, ache B, de modo que B2=A.
4. Um construtor tem contratos para construir 3 estilos de casa: moderno, mediterrˆaneo e colo-
nial. A quantidade de material empregada em cada tipo de casa ´e dada pela matriz:
Ferro Madeira Vidro Tinta Tijolo
Moderno 5 20 16 7 17
Mediterrˆaneo 7 18 12 9 21
Colonial 6 25 8 5 13
(a) Se ele vai construir 5, 7 e 12 casas dos tipos moderno, mediterrˆaneo e colonial, respecti-
vamente, quantas unidades de cada material ser˜ao empregadas?
(b) Suponha, agora, que os pre¸cos por unidade de ferro, madeira, vidro, tinta e tijolo sejam,
respectivamente, 15, 8, 5, 1 e 10 u.c.p. Qual ´e o pre¸co unit´ario da cada tipo de casa?
(c) Qual o custo total do material empregado?
5. Efetue os produtos AB eBA, onde
A=
2
1
1
eB=h1 2 1 i.
6. Mostre que A2−6A +5I2=0, se A="2 3
1 4 #.
7. Determine uma matriz A= (aij)∈M2(R)tal que A6=0matriz nula e A2=0matriz nula.
8. Se A, B ∈Mn(R)s˜ao tais que AB =0(matriz nula), pode-se concluir que BA tamb´em ´e a
matriz nula? Prove ou dˆe um contra-exemplo.
9. Se A, B ∈Mn(R)e se AB =BA, prove que:
(a) (A−B)2=A2−2AB +B2(b) (A−B)(A+B) = A2−B2.
