Elementos de Álgebra Linear
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Antonio Faria Neto
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algebra linear, Notas de estudo de Engenharia Mecânica
elementos de algebra linear
Tipologia: Notas de estudo
Antes de 2010
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Antonio Faria Neto
MATRIZES E SUAS OPERAÇÕES
1.0 Definições
A seguir será apresentado, de forma bem objetiva, um conjunto de conceitos elementares
que são fundamentais à construção da teoria de matrizes.
1.1 Definição de Matriz
Chama-se de matriz ordem m × n ( lê-se, m por n ), ao arranjo retangular de m × n ( produto
entre m e n ), elementos dispostos em m linhas e n colunas. Como exemplo, considere a matriz A
representada a seguir :
11 12 1
21 22 2
1 2
n
n
m m mn
a a a
a a a
A
a a a
1.2 Representação dos Elementos de uma Matriz
Cada elemento da matriz A é afetado por dois índices :
ij
a
ij
a
1.3 Representação de uma Matriz
A matriz A pode ser representada, abreviadamente, por:
[ ]
( ) ,
m n m n ij ij
m n m n m n
i m i m
A A A A a a
j n j n
×
× × ×
Indica a coluna à qual pertence o elemento
Indica a linha à qual pertence o elemento
É toda matriz de ordem m × 1 , isto é,
1
2
m 1
m
a
a
A
a
×
1.8 Matriz Linha ou Vetor Linha
É toda matriz de ordem 1 × n , isto é,
[ ]
1 n 1 2 n
A a a a
×
1.9 Diagonal Principal
Numa matriz quadrada
ij
A = a
, de ordem n , a diagonal principal é formada pelos
elementos
ij
a , tais que i = j.
11 12 1
21 22 2
1 2
n
n
n n nn
a a a
a a a
A
a a a
Pelo exposto acima, torna-se evidente que este conceito é válido somente para matrizes
quadradas.
1.10 Diagonal Secundária
Numa matriz quadrada
ij
A = a
, de ordem n , a diagonal secundária é formada pelos
elementos
ij
a , tais que i + j = n + 1.
11 12 1
21 2 2 1
3 3 2 3 1
1 1
n
n n
n n n
n nn n n
a a a
a a a
A
a a a
a a a
−
− −
−
=
2.0 Matrizes Especiais I
Existem matrizes, que por suas características particulares, são consideradas notáveis, e,
portanto, merecem um destaque especial.
2.1 Matriz Diagonal
É uma matriz quadrada onde todos os elementos fora da diagonal principal são todos nulos,
isto é :
tal que 0 para
ij ij
n n
A a a i j
×
11
22
0 0
0 0
0 0
nn
a
a
A
a
=
2.2 Matriz Escalar
Trata-se de um caso particular de matriz diagonal. É uma matriz onde todos os elementos da
diagonal principal são iguais entre si. Isto é:
tal que
ij ij
n n
i j
A a a
e i j
×
, onde e representa um escalar qualquer.
0 0
0 0
0 0
e
e
A
e
=
2.3 Matriz Identidade
tal que 0, i>j
ij ij
n n
A a a
×
11 12 1
22 2
0
0 0
n
n
nn
a a a
a a
A
a
=
2.4 Matriz Triangular Inferior
É uma matriz quadrada em que os elementos acima da diagonal principal são todos nulos.
Isto é:
tal que 0, i<j
ij ij
n n
A a a
×
11
21 22
1 2
0 0
0
n n nn
a
a a
A
a a a
=
2.5 Matriz Nula
Pode ser uma matriz quadrada, ou retangular, de qualquer ordem. Todos os seus elementos
são nulos. Esta matriz representa o elemento neutro da álgebra matricial, ou ainda, é o elemento
neutro do espaço vetorial das matrizes. Pode ser representada como
[ ]
m × n
m × n
ou ainda, quando
for uma matriz quadrada de ordem n , 0
n
0 0 0
0 0 0
0
0 0 0
m × n
=
3.0 Operações com Matrizes
Para que a álgebra matricial fique completa, além das definições já apresentadas, é
necessário definir um conjunto de operações sobre esse espaço vetorial e suas respectivas
propriedades, o que será feito ao longo deste capítulo.
3.1 Igualdade de Matrizes
O conceito de igualdade de matrizes só tem sentido para matrizes de mesma ordem. Assim,
duas matrizes de mesma ordem
ij
m n
A a
×
e
ij
m n
B b
×
são iguais se, e somente se, todo
elemento da matriz A for igual ao seu elemento correspondente na matriz B. Isto é:
para 1 e 1
ij ij
A = B ⇔ a = b ≤ i ≤ m ≤ j ≤ n
Exemplo: Determinar os valores de x e y , tais que:
x y
x y
Da definição de igualdade de matrizes, pode-se escrever:
x y
x x y
x y
3.2 Soma Algébrica de Matrizes
A operação soma de duas matrizes só pode ser realizada com matrizes de mesma ordem.
Assim, a soma algébrica de duas matrizes de mesma ordem, m × n , resulta em uma terceira matriz,
também de ordem m × n. Esta operação pode ser representada da seguinte maneira:
m n m n m n
A B C
× × ×
Onde,
tal que
ij ij ij ij
m n
C c c a b
×
tal que , 1 ; 1
ij ij ij
m n
B λ A B b b λ a i m j n
×
Exemplo: Dada a matriz A e o escalar λ , efetuar λ A
A
λ A
3.3.1 Propriedades
Considerando-se as matrizes, de mesma ordem, A e B e os escalares λ e β, verificam-se as
seguintes propriedades:
I. Associativa em relação aos escalares
λβ A = λ β A =β λ A
II. Distributiva em relação à soma de matrizes
λ A + B = λ A +λ B
III. Distributiva em relação à soma de escalares
λ + β A = λ A +β A
IV. Escalar unitário 1 ⋅ A = A
3.4 Multiplicação de Matrizes
O produto entre duas matrizes A e B só é possível se o número de colunas da primeira matriz
for igual ao número de linhas da segunda matriz. Neste caso, diz-se que as matrizes são
dimensionalmente compatíveis. O produto dessa multiplicação é uma terceira matriz, denominada
matriz produto, cujo número de linhas é igual ao número de linhas da primeira matriz e o número de
colunas igual ao número de colunas da segunda matriz. Esquematicamente, pode-se escrever :
m n n p m p
A B C
× × ×
⋅ =
Exemplo: A matriz resultante do produto das matrizes A e
3 6
B
×
é a matriz
4 6
C
×
. Determine as
dimensões, ou ordem, da matriz A.
m n 3 6 4 6
A B C
× × ×
⋅ =
logo,
4
3
m
n
=
=
A
×
Antes de se definir exatamente o produto entre matrizes, faz-se necessário definir a
multiplicação de linha por coluna.
3.4.1 Multiplicação de Linha por Coluna
Considere as matrizes
ij
m n
A a
×
e
ij
n p
B b
×
, definidas acima. Assim, o produto da
linha i da matriz A (ou i-ésima linha de A ), pela coluna j da matriz B (ou j-ésima coluna de B ), pode
ser representado da seguinte maneira:
lin _ i ( A )⋅ col _ j B ( )
ou, explicitamente,
[ ]
1
2
1 2 1 1 2 2
j
j
i i in i j i j in nj
nj
b
b
a a a a b a b a b
b
o produto acima, pode ser visto como realizado da seguinte maneira :
1 1
2 2
1 1 2 2
i j
i j
in nj
i j i j in nj
a b
a b
a b
a b a b a b
11 12 1 11 12 1
21 22 2 21 22 2
1 11 1 12 2 1
1 2 1 2
p n
n n
p p p n np
n n np m m mn
b b b a a a
b b b a a a
c a b a b a b
b b b a a a
Cálculo dos elementos da segunda linha da matriz C
11 12 1 11 12 1
21 22 2 21 22 2
21 21 11 22 21 2 1
1 2 1 2
p n
n n
n n
n n np m m mn
a a a b b b
b b b a a a
c a b a b a b
b b b a a a
11 12 1 11 12 1
21 22 2 21 22 2
22 21 12 22 22 2 2
1 2 1 2
p n
n n
n n
n n np m m mn
b b b a a a
b b b a a a
c a b a b a b
b b b a a a
11 12 1 11 12 1
21 22 2 21 22 2
2 21 1 22 2 2
1 2 1 2
p n
n n
p p p n np
n n np m m mn
b b b a a a
b b b a a a
c a b a b a b
b b b a a a
Cálculo dos elementos da m -ésima linha da matriz C
11 12 1 11 12 1
21 22 2 21 22 2
1 1 11 2 21 1
1 2 1 2
p n
n n
m m m mn n
n n np m m mn
b b b a a a
b b b a a a
c a b a b a b
b b b a a a
11 12 1 11 12 1
21 22 2 21 22 2
2 1 12 2 22 2
1 2 1 2
p n
n n
m m m mn n
n n np m m mn
b b b a a a
b b b a a a
c a b a b a b
b b b a a a
11 12 1 11 12 1
21 22 2 21 22 2
1 1 2 2
1 2 1 2
n p
n n
mp m p m p mn np
m m mn n n np
a a a b b b
a a a b b b
c a b a b a b
a a a b b b
É oportuno definir uma terminologia muito usual no produto entre matrizes com relação à
seqüência das matrizes numa multiplicação. No caso exemplificado acima, a multiplicação AB , diz-
se que a matriz A pré-multiplica a matriz B. Ou que a matriz B pós-multiplica a matriz A.
Exemplo: Efetuar, se possível, a multiplicação entre as matrizes A e B
a)
A
B
É possível multiplicar as matrizes pois elas são dimensionalmente compatíveis:
A B C
× × ×
⋅ =
b)
A
B
É possível multiplicar as matrizes pois elas são dimensionalmente compatíveis:
IV. Associativa em relação à multiplicação por um escalar
Para as matrizes
m n
A
×
n p
B
×
e para o escalar λ, vale a associação indicada:
λ ( AB ) = A ( λ B ) =( λ A B )
V. Dadas duas matrizes A e B , dimensionalmente compatíveis, se o produto AB for a matriz
nula, não é necessário que a matriz A ou a matriz B sejam matrizes nulas. Porém, se A ou B
forem matrizes nulas, necessariamente, o produto AB resultará numa matriz nula.
Exemplo: Efetuar a multiplicação entre as matrizes A e B
A
B
AB
3.4.4 Comutatividade da Multiplicação de Duas Matrizes
Em geral a operação de multiplicação entre matrizes não é comutativa. A existência do
produto AB , não implica na existência do produto BA. Como demonstração, considere as matrizes
ij
m n
A a
×
e
ij
n p
B b
×
, onde
m ≠ n ≠ p ≠ q. Verifica-se facilmente a existência do
produto AB :
m n n p m p
A B C
× × ×
⋅ =
Contudo, também é imediata a verificação da inexistência do produto BA :
Im p o s s ív e l
n p m n
B A
× ×
⋅ ⇒
Ainda que este último produto exista, não significa que ele seja igual ao primeiro.
Considere, a título de demonstração, as matrizes
ij
m n
A a
×
e
ij
n m
B b
×
, onde
m ≠ n.
Primeiramente, analisa-se a possibilidade do produto AB :
m n n m m m m
A B C C
× × ×
⋅ = =
Observa-se que o produto AB existe e é uma matriz quadrada de ordem m. Cabe agora
verificar a existência do produto BA :
n m m n n n n
B A C C
× × ×
⋅ = =
Portanto, o produto BA , também existe, e é uma matriz quadrada de ordem n. Como
matrizes iguais têm a mesma dimensão, pode-se afirmar que :
m n
C ≠ C ∴ AB ≠ BA
Com isto, fica provado que a multiplicação de matrizes não é necessariamente uma operação
comutativa.
3.4.5 Casos Especiais de Comutatividade
Como já demonstrado no item anterior, a operação de multiplicação de matrizes não é
comutativa, porém há duas situações em especial em que a comutatividade é sempre possível. Essas
situações ocorrem sempre em que estiver envolvida a matriz identidade e a matriz inversa. A seguir
será visto o caso envolvendo a matriz identidade. Mais adiante será explorado o caso da matriz
inversa.
tal que = , 1 ; 1
t
m n ji ji ij
n m
B A B b b a i m j n
×
×
3.5.1 Propriedades
Para as matrizes A e B (suas dimensões são compatíveis com as operações propostas), e o
escalar λ, valem as seguintes propriedades:
I.
t
t t
A + B = A + B
II.
t
t
λ A =λ A
III.
( )
t
t
A = A
IV.
t t t
AB = B A
Exemplo: Efetuar a operação
t
A B ⋅
A
B
t
B B
2 2 2 3 2 3
t
A B
× × ×
4.0 Matrizes Especiais II
Uma vez definida a operação transposição é possível incluir mais duas matrizes à categoria
de matrizes especiais. São elas as matrizes simétricas e anti-simétricas.
4.1 Matriz Simétrica
Uma matriz quadrada
ij
n
A a
é uma matriz simétrica se, e somente se:
T
A = A
Para tornar mais clara a definição acima, considere a seguinte matriz:
A b c d
b U e f
A
c e L g
d f g A
=
Observe que esta matriz A é uma matriz simétrica, pois a sua transposta ( A
t
) é igual à própria matriz
A. Isto é:
t
A b c d
b U e f
A
c e L g
d f g A
=
4.1.1 Propriedades das Matrizes Simétricas
I. Se
ij
n
A = a
for uma matriz simétrica, os elementos dispostos, simetricamente em relação à
diagonal principal, são iguais, ou seja,
ij ji
a = a ;
II. O produto de uma matriz A por sua matriz transposta A
t
resulta sempre em uma matriz
simétrica;
III. Sendo A uma matriz quadrada, sua soma com sua transposta é sempre uma matriz simétrica.
4.2 Matriz Anti-simétrica
Uma matriz quadrada
ij
n
A = a
é uma matriz anti-simétrica se, e somente se:
t