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Álgebra Linear – TV A e B Aula 01 – 07/02/ 2013
Matrizes: Conceitos Iniciais – Tipos de Matrizes – Exercícios Prof. Armando
I – MATRIZES
1. Definição: Matriz m x n é uma tabela de “ m por n ” números reais, dispostos em m linhas
(filas horizontais) e n colunas (filas verticais). Exemplos:
A é uma matriz 2 x 3;
B é uma matriz 2 x2;
C
é uma matriz 4 x 3.
A indicação ou notação de uma matriz pode ser feita usando-se, colchetes, parênteses ou duas
barras verticais (menos usual), como mostrado, respectivamente, nos exemplos 1, 2 e 3 acima.
2. Representação de uma matriz:
As matrizes costumam ser representadas por letras maiúsculas e seus elementos por letras
minúsculas, acompanhadas de dois índices que indicam, respectivamente, a posição linha e coluna
ocupadas pelo elemento.
Exemplo: Uma matriz genérica A do tipo m x n é representada por:
m 1 m 2 m 3 mn
31 32 33 3 n
21 22 23 2 n
11 12 13 1 n
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
A
ou, abreviadamente, A= ( aij ) m x n , onde i e j representam, respectivamente, a linha e a coluna que o
elemento ocupa,
1 j n
1 i m .
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Matrizes: Conceitos Iniciais – Tipos de Matrizes – Exercícios Prof. Armando
Por exemplo, na matriz anterior, a 23 é o elemento que ocupa a posição “segunda linha na
terceira coluna”.
Exemplo 1: Seja a matriz A= ( aij ) 2 x 2 , onde aij 2 ij:
Genericamente: (^21222) x 2
11 12
a a
a a A (^)
. Utilizando a regra de formação dos elementos dessa
matriz, aij 2 ij, temos:
a 11 (^) 2(1) 1 3 ; a 21 (^) 2(2) 1 5 ; a 12 (^) 2(1) 2 4 ; a 22 2(2) 2 6
Assim, A=
3. Matrizes especiais:
3.1 Matriz Linha: É toda matriz do tipo 1 x n, isto é, com uma única linha.
Ex: A 4 7 3 1 1 x 4.
3.2 Matriz Coluna: É toda matriz do tipo n x 1, isto é, com uma única coluna.
Ex:
3 x 1
B
3.3 Matriz Quadrada: É toda matriz do tipo n x n, isto é, com o mesmo número de linhas e
colunas. Neste caso, dizemos que a matriz é de ordem n.
Ex: (^212) x 2
C
3 x 3
D
Matriz de ordem 2 Matriz de ordem 3
Seja A uma matriz quadrada de ordem n.
Diagonal Principal de uma matriz quadrada é o conjunto de elementos dessa matriz, tais
que i = j.
Diagonal Secundária de uma matriz quadrada é o conjunto de elementos dessa matriz, tais
que i + j = n + 1..
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Matrizes: Conceitos Iniciais – Tipos de Matrizes – Exercícios Prof. Armando
3.7 Matriz Transposta: Chamamos de matriz transposta de uma matriz A, a matriz que é
obtida a partir de A, trocando-se, ordenadamente, suas linhas por colunas ou suas colunas por
linhas.
Notação:
t A.
Exemplo: Se
A então
t (^) A =
Desse modo, se a matriz A é do tipo m x n,
t A é do tipo n x m. Note que a primeira linha de
A corresponde à primeira coluna de
t A e a segunda linha de A corresponde à segunda coluna de
t A.
3.8 Matriz Simétrica: Uma matriz quadrada de ordem n é simétrica quando A=
t A.
OBS: Se A = –
t A , dizemos que a matriz A é anti-simétrica.
Exemplo: Se
3 x 3
A
3 x 3
t
A
3.9 Matriz Oposta: Chamamos de matriz oposta de uma matriz A a matriz que é obtida a
partir de A, trocando-se o sinal de todas os seus elementos.
Notação: – A
Exemplo: Se
A então, A=
3.10 Igualdade de Matrizes: Duas matrizes, A e B, de mesma ordem m x n, são iguais se,
os respectivos elementos, ou seja, aqueles que ocupam a mesma posição, são idênticos.
Notação: A = B.
Exemplo: Se
1 b
A
2 c B , e A = B, tem-se que: c = 0 e b = 3
Simbolicamente: A Baij bijpara todo 1 ime todo 1 in.
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Matrizes: Conceitos Iniciais – Tipos de Matrizes – Exercícios Prof. Armando
Série 01
1 – Escreva a matriz A=
ij 2 x 3 a , onde aij=2i+3j
2 – Escreva a matriz B=
ij 3 x 3 b , onde bij= j
i .
3 – Escreva a matriz C=
ij 4 x 1 c , ondec i j
2 (^) ij .
4 – Escreva a matriz D=
ij 1 x 3 d , onde dij= i – j.
5 – Escreva a matriz A=
ij 4 x 3 a , onde
1 ,sei j
2 ,sei j aij
6 – Escreva a matriz A=
ij 3 x 3 (^) a , onde
0 ,sei j
i j,sei j aij
7 – Escreva a matriz A=
ij 2 x 3 a , onde
i j,sei j
2 i j,sei j aij
8 – Determine o traço de cada uma das matrizes A =
eB 4 3
Obs: Chamamos de “traço” de uma matriz quadrada a soma dos elementos da diagonal principal.
9 – Dada a matriz A=
, determinar:
a) a transposta de A
b) a oposta de A
10 – Dadas as matrizes A=
a 3
e
b 3
x 3 B , determinar a, b e x para que A=
t B.
11 – Determinar os valores de a e b, tais que:
a 3
b 2
b 3
2 a 1
12 – Determine x e y na igualdade:
y
log x 2
3
