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MATRIZES
Prof. Dr. Luis Felipe LopesProf. Dr. Luis Felipe Lopes
Representação e Notação de Matriz
Seja A uma matriz mxn, m linhas e n colunas, sua representação é:
A
a a a a a a
a a a
n n
m m mn (^) mxn
11 12 1 21 22 2
1 2
L
L
M M O M
L
ou A = [ a ij]mxn , onde a ij é a entrada da i-ésima linha e j-ésima coluna.
Diz-se então que A tem dimensão mxn e será denotada por A ∈ Rmxn, se as entradas ( a ij) são reais.
Obs: A matriz A também pode ser expressa em termos de suas colunas:
A = [ a 1 , a 2 , ..., a n]
onde ai ∈ Rmx1^ = Rm, (i = 1, 2, ..., n).
Matriz de ordem m x n
Para os nossos propósitos, podemos considerar uma matriz como sendo uma tabela retangular de números reais (ou complexos) dispostos em m linhas e n colunas. Diz-se então que a matriz tem ordem m x n (lê-se: ordem m por n)
Exemplos:
A = ( 1 0 2 -4 5) ⇒ Uma linha e cinco colunas
(matriz de ordem 1 por 5 ou 1 x 5)
4x
B é uma matriz de quatro linhas e uma coluna, portanto de ordem 4 x 1.
Notas:
- se m = n , então dizemos que a matriz é quadrada de ordem n.
Exemplo:
3x
A matriz X é uma matriz quadrada de ordem 3x3, dita simplesmente de ordem
Uma matriz A de ordem m x n , pode ser indicada como A = (aij )mxn , onde aij é um elemento da linha i e coluna j da matriz.
Assim , por exemplo , na matriz X do exemplo anterior , temos a 23 = 2 , a 31 = 4 , a 33 = 3 , a 32 = 5 , etc.
Matriz Diagonal
Se A é quadrada e a ij = 0 para i ≠ j, então A é diagonal. Geralmente representada por:
A = diag ( a 11 , a 22 , ..., a nn)
Matriz Identidade de ordem n
É uma matriz diagonal cujos elementos são todos iguais a um (aii = 1). Denotada por: In
Obs: Sua k-ésima coluna é representada por: e k
In = ( aij )n x n onde aij = 1 se i = j e aij = 0 se i j
Assim a matriz identidade de 2a^ ordem ou seja de ordem 2x2 ou simplesmente de ordem 2 é:
A matriz identidade de 3ª ordem ou seja de ordem 3x3 ou simplesmente de ordem 3 é:
Produto de matrizes
Dada a matriz A ∈ Rmxn^ e B ∈ Rnxp^ , então A. B é
Cij = AB a bik kj k
n
mxp
=
∑ 1
a a a a a a
a a a
n n
m m mn
11 12 1 21 22 2
1 2
L
L
M M O M
L
b b b b b b
b b b
p p
n n np
11 12 1 21 22 2
1 2
L
L
M M O M
L
Para que exista o produto de duas matrizes A e B , o número de colunas de A, tem de ser igual ao número de linhas de B.
Amxn x Bnxq = Cmxq
Observe que se a matriz A tem ordem m x n e a matriz B tem ordem n x q , a matriz produto C tem ordem m x q.
Vamos mostrar o produto de matrizes com um exemplo:
Onde L 1 C 1 é o produto escalar dos elementos da linha 1 da 1ª matriz pelos elementos da coluna 1 da segunda matriz, obtido da seguinte forma:
L 1 C 1 = 3.2 + 1.7 = 13. Analogamente, teríamos para os outros elementos: L 1 C 2 = 3.0 + 1.5 = 5 L 1 C 3 = 3.3 + 1.8 = 17 L 2 C 1 = 2.2 + 0.7 = 4 L 2 C 2 = 2.0 + 0.5 = 0 L 2 C 3 = 2.3 + 0.8 = 6 L 3 C 1 = 4.2 + 6.7 = 50 L 3 C 2 = 4.0 + 6.5 = 30 L 3 C 3 = 4.3 + 6.8 = 60, e, portanto, a matriz produto será igual a:
Observe que o produto de uma matriz de ordem 3x2 por outra 2x3, resultou na matriz produto P de ordem 3x3.
Nota: O produto de matrizes é uma operação não comutativa, ou seja:
A x B ≠ B x A
Entende-se por determinante, como sendo um número ou uma função, associado a uma matriz quadrada, calculado de acordo com regras específicas
É importante observar, que só as matrizes quadradas possuem determinante.
Regra para o cálculo de um determinante de 2ª ordem
Dada a matriz quadrada de ordem 2 a seguir:
- O determinante de A será indicado por det(A) e calculado da seguinte forma:
det (A) = | A | = ad - bc
Exemplo:
Ora, senx.senx + cosx.cosx = sen^2 x + cos^2 x = 1
(Relação Fundamental da Trigonometria). Portanto, o determinante da matriz dada é igual à unidade.
Regra para o cálculo de um determinante de 3ª ordem ( Regra de SARRUS).
SARRUS (pronuncia-se Sarrí), cujo nome completo é Pierre Frederic SARRUS (1798 - 1861), foi professor na universidade francesa de Strasbourg. A regra de SARRUS, foi provavelmente escrita no ano de 1833.
Nota: São escassas, e eu diria, inexistentes, as informações sobre o Prof. SARRUS nos livros de Matemática do segundo grau, que apresentam (ou mais
Principais propriedades dos determinantes
P1) somente as matrizes quadradas possuem determinantes.
P2) o determinante de uma matriz e de sua transposta são iguais:
det(A) = det(At).
P3) o determinante que tem todos os elementos de uma fila iguais a zero , é nulo.
Obs: Chama-se FILA de um determinante, qualquer LINHA ou COLUNA.
P4) se trocarmos de posição duas filas paralelas de um determinante, ele muda de sinal.
P5) o determinante que tem duas filas paralelas iguais ou proporcionais, é nulo.
P6) multiplicando-se (ou dividindo-se) os elementos de uma fila por um número, o determinante fica multiplicado (ou dividido) por esse número.
P7) um determinante não se altera quando se substitui uma fila pela soma desta com uma fila paralela, multiplicada por um número real qualquer.
Matriz Inversa
Se A e B ∈ Rnxn^ e AB = BA = In , então B é a inversa de A. Denotada por A-^. Obs: Se A-1^ existe A é dita não singular.
Se A-1^ é a matriz inversa de A , então A. A-1^ = A-1^. A = In , onde In é a matriz identidade de ordem n. Nestas condições , podemos afirmar que
P8) determinante da matriz inversa : det( A-1) = 1/det(A).
det(A. A-1) = det(In) e portanto igual a 1.
Logo , podemos também escrever det(A). det(A-1) = 1 ;
logo , concluímos que: det(A-1) = 1 / det(A).
Notas:
se det(A) = 0 , não existe a matriz inversa A-1. Dizemos então que a matriz A é SINGULAR ou NÃO INVERSÍVEL.
se det A ≠ 0 , então a matriz inversa A-1^ existe e é única. Dizemos então que a matriz A é INVERSÍVEL.
P9) Se todos os elementos situados de um mesmo lado da diagonal principal de uma matriz quadrada de ordem n , forem nulos (matriz triangular), o determinante é igual ao produto dos elementos da diagonal principal.
P10) Se A é matriz quadrada de ordem n e k ∈ R então det(k.A) = kn^. det A
Exemplos:
- Qual o determinante associado à matriz?
Observe que a 4ª linha da matriz é proporcional à 1ª linha (cada elemento da 4ª linha é obtido multiplicando os elementos da 1ª linha por 3). Portanto, pela propriedade P5 , o determinante da matriz dada é NULO.
- Calcule o determinante:
Observe que a 2ª coluna é composta por zeros;
FILA NULA = DETERMINANTE NULO, conforme propriedade P3 acima. Logo, D = 0.
- Calcule o determinante:
Exercícios de Matrizes
- Construa as seguintes matrizes:
( ) ( )
( )
i j ,sei j
i 2 j,sei j
0 ,sei j C a talque
0,se 1 j
1,sei j B a talque i-3j,sei j
2i j,sei j A a talque
2 2
2 ij3x
ij 3 x 2 ij 3 x 3
- Determine x, y z e t de modo que se tenha:
z 5 t t
x x 3 4 5 t
x 2 x y 2
2
- Dadas as matrizes:
eC 7 6
,B
A , determine a matriz X tal que X+2A = B-
C.
Sabemos que (A+B)² = A² + 2AB + B²; (A+B)(A-B) = A²+B². Verifique se é válida essa relação nas matrizes.
Dadas
A ,
B e
C. Mostre
que AB = AC.
- Encontre a matriz inversa das seguintes matrizes:
A ;
B ;
C ;
D
- Encontre o determinante das seguintes matrizes:
A ;
B ;
C ;
D
Sistemas de Equações Lineares
m 1 1 m 2 2 mn n m
21 1 22 2 2 n n 2
11 1 12 2 1 n n 1
a x a x ... a x b
a x a x ... a x b
a x a x ... a x b
esse sistema será equivalente a matriz:
m 1 m 2 mn
21 22 n 2
11 12 1 n
a a ... a
a a ...a
a a ...a
n
2
1
x
x
x
m
2
1
b
b
b
ou simplesmente:
A. X = B
onde A = (a ij), X = ( xi)e B =(b j)
A Matriz A é chamada matriz dos coeficientes ou matriz aumentada.
Sistema de Equações Lineares
Compatível ou Possível (Consistente)
Incompatível ou Impossível (Inconsistente)
Determinado Solução Única
Indeterminado Infinitas Soluções
Sem Solução
- Substituição da i-ésima linha por k vezes a j-ésima linha mais a i- ésima linha: L (^) i ↔K.Li+Lj,K≠ 0
L 1 = 3 .L 1 +L 2
- Escalone, solucione os sistemas:
4x-3y z 3
3x y 4z -
5x-2y 2z 2
2 x y z 2 t 4
3 x 3 y z 2 t 0
x y 3 z t 1 5 )
5x 3y 4z -
3x 5y 4z 4
x 3y 2z 2
5 x 5 y z 4
3 x 2 y z 0
x y z 4 3 )
5x 32y-4z 2
3x y 2z 7
x 2y-3z -
3 x y 2 z 4
2 x y z 3
x 2 y z 9 1 )
Obs.:
No sistema
x y 16
x y 34 2 2
2 2 não é linear, pois x e y aparecem em 2º
grau. Mas pode-se introduzir as variáveis a = x^2 e b = y^2 , logo
a b 16
a b 34 , cuja
solução única é a = 9 e b = 25, daí temos x = ± 3 e y = ± 5. Solução única para 4 soluções para o sistema S = {(3,5), (3,-5), (-3,5), (-3,-5)}
