Estude fácil! Tem muito documento disponível na Docsity
Ganhe pontos ajudando outros esrudantes ou compre um plano Premium
Prepare-se para as provas
Estude fácil! Tem muito documento disponível na Docsity
Prepare-se para as provas com trabalhos de outros alunos como você, aqui na Docsity
Encontra documentos específicos para os exames da tua universidade
Prepare-se com as videoaulas e exercícios resolvidos criados a partir da grade da sua Universidade
Responda perguntas de provas passadas e avalie sua preparação.
Ganhe pontos para baixar
Ganhe pontos ajudando outros esrudantes ou compre um plano Premium
Algebra Linear curso universitario
Tipologia: Notas de aula
1 / 221
Esta página não é visível na pré-visualização
Não perca as partes importantes!
Laborat´orio de Matem´atica Computacional Departamento de Matem´atica
(^1) Univ. Est. Vale do Acara´u - Ce
Bibliografia ................................................... i
Introdu¸c˜ao. Recomendamos que vocˆe n˜ao leia agora esta introdu¸c˜ao, at´e mesmo porque ela foi feita quase que depois de o livro ficar pronto... ou talvez, porque vocˆe
u¸c˜ao
j´a come¸cou, que a leia rapidamente, talvez marcando alguns trechos que n˜ao entender, para reler depois. Se a introdu¸c˜ao estiver clara, certamente vocˆe n˜ao precisa ler o livro. Se o livro lhe for ´util, a introdu¸c˜ao ficar´a absolutamente clara, depois. At´e pensamos em colocar a introdu¸c˜ao ao final, mas a´ı correriamos o risco de que ela ficasse perdida, definitivamente. Talvez a maior importˆancia desta conversa inicial resida na oferta que fazemos de um trabalho interativo, do leitor, com os autores. Use o nosso endere¸co eletrˆonico que aparece em v´arios locais no texto, fale conosco, diga-nos quando o texto n˜ao estiver claro, ou nos fa¸ca suas sugest˜oes. Claro, como na par´abola do homem, do burro e da crian¸ca, nem sempre poderemos aceitar todas as sugest˜oes, por mais importante e pr´oprias que sejam, sem descaracterizar o nosso trabalho. N˜ao pretendemos que este livro seja autocontido, embora desejemos que ele possa ser ´util ao autodidata, ele foi escrito como uma ferramenta de apoio ao trabalho do professor, seja em aula presencial seja em ensino a distˆancia. Em particular, os autores se declarama disposi¸c˜ao do leitor para responder quest˜oes ligadas com o texto. Use com liberdade o endere¸co [email protected] para discutir a teoria, as quest˜oes, apresentar suas cr´ıticas, e, se desejar, participar desta equipe. Este ´e um trabalho aberto. Supomos que a disciplina ´Algebra Linear esteja sendo ministrada posterior- mente, ou no m´aximo concomitantemente, com C´alculo II, (C´alculo multivari-
o
ado). Faremos uso dos conceitos da Geometria Anal´ıtica e do C´alculo sempre que isto puder tornar os conceitos e os exemplos mais interessantes. Faremos uso da geometria na interpreta¸c˜ao gr´afica e nas interpreta¸c˜oes das aproxima¸c˜oes computacionais. Desta forma entendemos que trazemos uma vis˜ao, utilitarista^1 da geometria.
do tria O t´ıtulo de cada se¸c˜ao deve mostrar o seu objetivo:
s˜ao alguns m´etodos geom´etricos aqui empregados. Trata-se assim de uma an´alise do efeito, atrav´es da transforma¸c˜ao geom´etrica produzida, porque em grande parte a Algebra Linear´ ´e geometria, apenas uma geometria de dimens˜ao maior do que esta geometria de dimens˜ao trˆes, (ou qua- tro), em que vivemos. No C´alculo, a vis˜ao geom´etrica, consiste em dominar os gr´aficos das curvas e superf´ıcies “alg´ebricas” fundamentais para com elas comparar com as outras cujos gr´aficos nem siquer sabemos fazer. Na Algebra Linear´ queremos tornar (^1) que horror...
intuitiva a generaliza¸c˜ao das retas, dos planos, a dimens˜oes maiores, ou menores, no caso do ponto (como objeto linear). Em ambos os casos, no C´alculo ou na Algebra Linear´ , existe uma quest˜ao dimensional cujos aspectos intuitivos ´e preciso romper ou enlarguercer. Um aspecto central da Algebra Linear´ ´e a resolu¸c˜ao de sistemas de equa¸c˜oes (lineares) e da an´alise destes sistemas (lineres) transferido para a an´alise das ma- trizes, que s˜ao multin´umeros guardando a informa¸c˜ao das equa¸c˜oes. As equa¸c˜oes Que ´e^ Algebra´ Linear? lineares s˜ao consideradas f´aceis, at´e mesmo porque elas podem de fato ser re- solvidas automaticamente, por programas de computador. Depois ela ser˜ao utilizadas em lineariza¸c˜oes das equa¸c˜oes n˜ao lineares, uma aproxima¸c˜ao. Apoio computacional O adjetivo computacional, no t´ıtulo, significa que faremos uso de um pacote computacional, scilab, para realizar os fatos da ´Algebra Linear. ´E preciso que
scilab
fique claro o que significa para n´os, computa¸c˜ao. Um programa de computador, o pr´oprio computador, s˜ao instrumentos com que podemos andar mais r´apido e, algumas vezes, fazer aquilo que nos seria imposs´ıvel fazer `a m˜ao. Vocˆe logo vai ver que existem opera¸c˜oes que nos tomariam dias para execut´a-las manualmente, fora as possibilidades de erro deste exerc´ıcio. Entretanto, nada do que fa¸camos
apoio computacional com o computador pode ser porque n˜ao saibamos fazer `a m˜ao. Isto representaria automatiza¸c˜ao in´ocua. A ado¸c˜ao do scilab foi feita pelas seguintes raz˜oes:
scilab se auto-define como similar a um outro programa comercial dedi- cado a ´Algebra Linear, quer dizer que, com scilab podemos fazer as contas da Algebra Linear, podemos resolver equa¸´ c˜oes lineares. H´a outros programas tamb´em distribuidos sob a licen¸ca GPL, octave e um exemplo, e pode ser obtido em http://www.octave.org scilab e octave s˜ao similares, de modo que a qualquer momento do texto, onde estiver escrito scilab vocˆe poder´a ler como se estivesse octave, que ´e um outro programa, tamb´em de dom´ınio p´ublico, e da mesma qualidade que este que adotamos como programa oficial do livro. scilab ´e distribuido para v´arias outras plataformas, ver no site do scilab citado acima. Como usar este livro
apesar de que, cuidadosamente, se acrescente a observa¸c˜ao, “raizes imagin´arias” quando ∆ < 0.
Exemplo 1 Resolvendo uma equa¸c˜ao do segundo grau
4 x^2 − 12 x + 25 = 0 ⇒ ∆ = − 256 x′^ = 12+16 8 i; x′′^ = 12 − 816 i x′^ = 32 + 2i; x′′^ = 32 − 2 i
em que vemos aparecer um “n´umero” do tipo
z = a + bi, (1.5)
formado por um par de n´umeros reais separados pela unidade imagin´aria i. Um “n´umero” desta forma se chama “n´umero complexo” e foram precisos v´arios s´eculos para que eles fossem admitidos como um n´umero comum, sem complexos.
Repetindo o que fizeram os nossos antepassados, os n´umeros complexos foram inicialmente tratados como uma express˜ao alg´ebrica em que i era considerado como uma “vari´avel” mas obedecendo a regra
−1 = i ⇐⇒ i^2 = − 1. (1.6)
Assim, z = 2 + 3i, w = 5 − 2 i s˜ao somados segundo as regras da ´algebra:
z + w = (2 + 3i) + (5 − 2 i) = (2 + 5) + (3 − 2)i = 7 + i
e de maneira idˆentica se procede com a multiplica¸c˜ao:
(2 + 3i)(5 − 2 i) (1.7)
2 +3i 5 − 2 i 10 15 i − 4 i − 6 i^2 10 +11i −6(−1) 16 +11i
veja a figura (1.2) na p´agina 10. Usando estas regras da ´algebra podemos escrever uma defini¸c˜ao formal para a adi¸c˜ao e para a multiplica¸c˜ao de n´umeros complexos. Primeiro vamos banir a express˜ao “quem tem i” do texto porque ela n˜ao ´e uma express˜ao t´ecnica e n´os somos extremamente ligados em express˜oes t´ecnicas.
Defini¸c˜ao 1 Parte real e imagin´aria de um n´umero complexo Dado um n´umero complexo, escrito como
z = a + bi ≡ (a, b)
designaremos
ℜ(z) = a a parte real de z (1.8) ℑ(z) = b a parte imagin´aria de z (1.9)
Defini¸c˜ao 2 (Adi¸c˜ao de n´umeros complexos) Dados dois n´umeros comple- xos
v = a + bi ≡ (a, b) (1.10) w = c + di ≡ (c, d) (1.11)
definimos
v + w = (a + c, b + d) (1.12) ≡ v + w = (a + c) + (b + d)i (1.13)
a soma se faz “coordenada por coordenada”, ou ainda
ℜ(v + w) = ℜ(v) + ℜ(w) (1.14) ℑ(v + w) = ℑ(v) + ℑ(w) (1.15)
As duas formas a + bi, (a, b)
s˜ao equivalentes e usamos uma ou a outra conforme for mais conveniente:
express˜ao alg´ebrica C ∋ w = c + di ≡ (c, d) ∈ R^2 entidade geom´etrica. (1.16) Observe que a ´ultima parte, na express˜ao acima, (c, d) ∈ R^2 , ´e uma repre- senta¸c˜ao geom´etrica para os n´umeros complexos, uma vez que estamos dizendo que existe um ponto do plano,
(c, d) ∈ R^2 (1.17)
que ´e “equivalente” ao n´umero complexo
c + di ∈ C. (1.18)
Falamos acima na equivalˆencia
C ∋ w = c + di ≡ (c, d) ∈ R^2 , (1.19)
o par (c, d) ´e um ponto do plano e, assim, estamos representando um n´umero complexo com uma entidade geom´etrica, um ponto. Os n´umeros complexos trouxeram, para o reino dos n´umeros, os conceitos da geometria: ˆangulo, m´odulo, dire¸c˜ao e sentido. A F´ısica, desde cedo, lan¸cou m˜ao deles, com muito sucesso, por exemplo, na eletricidade. A figura (1.3) na p´agina 12 descreve alguns aspectos geom´etricos dos n´umeros complexos, como o m´odulo e o argumento.
a^2 + b^2 pelo teorema de Pit´agoras;
A pr´oxima lista ´e um laborat´orio que deve preparar a sua intui¸c˜ao para as constru¸c˜oes que faremos depois.
Laborat´orio 1 (O plano complexo) A interpreta¸c˜ao geom´etrica
(a) Multiplique 3+2i pelos inteiros 2,3,5,10. Represente geometricamente os resultados.
3
z
w
β α
|z|=|w|=
arg(w)= β
arg(z)= α
w+z = 0
Figura 1.3:
(b) Multiplique 3 + 2i por 2i, 3i, 5i,10i. Represente geometricamente os resultados. Elabore uma teoria a partir da semelhan¸ca dos resultados obtidos.
Uma das raz˜oes que tornam os n´umeros complexos um tipo de n´umero a parte, ´e o seu envolvimento com a geometria. Como um n´umero real, os n´umeros complexos tem m´odulo, mas neste caso o m´etodo de c´alculo se deduz direto do Teorema de Pit´agoras.
Defini¸c˜ao 4 M´odulo do n´umero complexo a + bi.
||(a + bi)|| =
a^2 + b^2
1.2 N´umeros complexos: extens˜ao dos reais
Um n´umero complexo ´e um par de n´umeros reais, portanto co¨ıncide, com o conjunto, com o R^2 : C ≡ R^2. A diferen¸ca ´e que existe em C uma multiplica¸c˜ao que estende a multiplica¸c˜ao dos n´umeros reais Usaremos as duas nota¸c˜oes para um n´umero complexo (a, b) ≡ a + bi
sem mais nos preocuparmos com observa¸c˜oes a respeito.
Uma terminologia existe em torno dos n´umeros complexos que vamos relem- brar. A figura ( 1.4) p´agina 14, ilustra os fatos descritos na pr´oxima defini¸c˜ao.
z+w
w
z
(a,b)
(c,d) (r,0)
a + b
2 2
z+w=(a+c,b+d) arg(w) = β
α
β
Figura 1.4: Propriedades dos n´umeros complexos
Defini¸c˜ao 5 Parte real e imagin´aria Dado um n´umero complexo z = (a, b) diremos
|z| =
a^2 + b^2
o m´odulo de z.
arg(w) = β ; arg(z + w) = α
R− = {w = (x, 0) ; x ∈ R ; arg(w) = π}
´e o semi-eixo positivo OX−
Teorema 1 (Extens˜ao da multiplica¸c˜ao dos reais) A multiplica¸c˜ao de n´umeros complexos ´e uma extens˜ao da multiplica¸c˜ao de n´umeros reais. Dem : Dados dois n´umeros complexos z = (a 1 , b 1 ) = a 1 + b 1 i, w = (a 2 , b 2 ) = a 2 + b 2 i
temos
zw = (a 1 , b 1 )(a 2 , b 2 ) = (1.20) (a 1 a 2 − b 1 b 2 , a 1 b 2 + a 2 b 1 ) = (1.21) a 1 a 2 − b 1 b 2 + (a 1 b 2 + a 2 b 1 )i (1.22) Considere agora dois n´umero reais: r 1 , r 2. Eles determinam os dois n´umeros complexos z = (r 1 , 0), w = (r 2 , 0).
