Álgebra linear - a reta, Esquemas de Geometria Analítica e Álgebra Linear

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Geometria Analítica

e Álgebra Linear

• Equação Vetorial da Reta
• Equações Paramétricas da Reta
• Reta Definida por Dois Pontos

A partir de agora, estudaremos a reta com foco nas equações paramétricas de retas nos espaços bi e tridimensionais. No espaço tridimensional, as equações paramétricas de retas são especialmente importantes, pois fornecem, quase sempre, a forma mais conveniente de representação algébrica de retas.

As retas representadas em um plano cartesiano podem ser equacionadas nas formas geral, reduzida ou paramétrica. Equações paramétricas são equações que representam uma mesma reta por meio de uma incógnita em comum, chamada de parâmetro. O parâmetro, que aqui designaremos pela letra “t”, faz uma ligação entre duas ou mais equações.

Cabe enfatizar que a Geometria Analítica estuda as formas geométricas do ponto de vista da Álgebra Linear.

Nosso objeto de estudo “vetores” foi, ao longo das unidades, ampliando-se e os temas inter- relacionando-se de tal modo que se torna impossível prosseguir os estudos sem ter tido uma boa assimilação de conceitos anteriores. Afinal, a construção do conhecimento realiza-se também por “avanços e retrocessos”.

Neste momento, estudaremos a reta, tema que agregará informações importantes à complementação do estudo da Álgebra Vetorial que, aliada à Álgebra Linear, dará mais consistência ao que se estudou até este ponto. A unidade tem por objetivo não apenas conceituar a Equação vetorial da reta, mas também estudar as aplicações de conceitos correlatos.

A Reta

• Retas Paralelas aos Eixos coordenados
• Ângulo de Duas Retas
• Retas Ortogonais

Substituindo esses valores em xyA - xyB - xA y + xBy + xA yB - xByA = 0, temos:

7(-2) – 7(-1) – 1(1) + 3(1) + 1(-1) – 3(-2) = -14 + 7 – 1 + 3 - 1 + 6 = 0. Como o determinante desses pontos deu zero, isso significa que eles estão alinhados.

O exposto acima torna claro o entrosamento entre a Geometria Analítica e a Álgebra Linear. É isso que ocorre quando estudamos a Geometria Analítica, que é a fusão da Geometria e da Álgebra.

A Geometria Analítica tem, entre suas características, a realização de conexões entre a Geometria e a Álgebra, pois, por exemplo, permite compreender as soluções de um sistema linear de duas incógnitas por meio de retas em um plano, ou seja, permite representar, por meio de uma equação, uma figura bi ou tridimensional.

Os detalhes e esclarecimentos sobre o tema estão expostos no decorrer da unidade. Esteja atento(a)!

Unidade: A Reta

Equação Vetorial da Reta

Seja um ponto A( x 1 , y 1 , z 1 ) e um vetor não-nulo v =( a, b, c)

. Existe apenas uma reta r que passa por A tem direção de v^ ^. Um ponto B(x, y, z) pertence a r se, e somente se, o vetor=( a, b, c) AB

for paralelo a v^ ^ , conforme Figura 5.1, abaixo.=( a, b, c)

Isso significa dizer que AB

= a v^ ^ =para algum número real a. Disso decorre que B – A = a( a, b, c) v^ =( a, b, c)

ou B = t v^ =( a, b, c)

• A. Descrevendo em coordenadas, teremos

(x, y, z) = (x 1 , y 1 , z 1 ) + a(a, b, c).

Qualquer uma dessas equações AB

= t v^ ^ , B – A ==( a, b, c) t v^ ^ =ou B = t( a, b, c) v^ ^ =+ A é denominada( a, b, c) equação vetorial de r.

O vetor v^ ^ =é chamado vetor diretor da reta r, e t é denominado parâmetro.( a, b, c)

Atividade

A reta r que passa por A(2, -1, 3) e tem a direção de v =( a, b, c)

= (4, 1, 2) tem equação vetorial (x, y, z) = (x 1 , y 1 , z 1 ) + t(a, b, c).

Resolução: r: (x, y, z) = (2, -1, 3) + t(4, 1, 2) em que (x, y, z) representa um ponto qualquer de r. Se quisermos obter pontos de r, devemos atribuir valores para t. Por exemplo, para t = 1, tem- se (x, y, z) = (2, -1, 3) + 1(4, 1, 2) = (2, -1, 3) + (4, 1, 2) = (6, 0, 5) e, então, B 1 = (6, 0, 5) pertencente a r.

Para a = 2, teremos (x, y, z) = (2, -1, 3) + 2(4, 1, 2) = (2, -1, 3) + (8, 2, 4) = (10, 1, 7) e, portanto, B 2 =(10,1,7) pertencente a r.

Para a = 0, teremos o próprio ponto A(2, -1, 3). Para a = -1, teremos (x, y, z) = (2, -1, 3) + (-1)(4, 1, 2) = (2, -1, 3) + (-4, -1, -2) = (-2, -2, 1); então B_3 = (-2, -2, 1). Se a assumir todos os valores reais, teremos todos os infinitos pontos da reta.

Na Figura 5.2 abaixo, temos a representação dos pontos obtidos com seus respectivos parâmetros.

Unidade: A Reta

g. Escrever equações paramétricas da reta s que passa por G(3, 2, -5) e é paralela a r. h. Escrever equações paramétricas da reta t que passa por A e é paralela ao eixo dos y.

Resolução

a. De acordo com as equações paramétricas da reta, temos,

por consequência,

x t y t z t

^ = −

b. Das três equações acima, temos

para t = 2,

( ) ( ) ( )

x y z

, logo B(-5, -6, 6) pertence a r;

para t = 3,

( ) ( ) ( )

x y z

, logo C(-8, -8, 7) pertence a r

c. Como o ponto tem abscissa 3 (x = -11), temos

x = 1 – 3t ⇒ -11 = 1 – 3t ⇒ 3t = 12 ⇒ t = 4

Para t = 4,

x t y t z t

^ = −

( ) ( ) ( ) ( )

x comprovação y z

O ponto procurado é D(-11, -10, 8)

d. Um ponto pertence à reta r se existir um real t que satisfaz as equações de r.

Para D(-6, -8, 6),

6 1 3 3 7 7 (^1 3 ) 2 2 8 2 2 3 4 6 4 2

x t^ t^ t^ t y t t t z t t t

 = −^ −^ = −^ ⇒^ =^ ⇒^ =  (^) = − − ⇒ − = − − ⇒ =  (^) = + = + ⇒ =

O resultado de t deveria ser o mesmo nas três equações, logo D ∉ r.

Para E(-11, -10, 8),

t t t t t t

t assume o mesmo valor nas três equações, logo E ∈ r.

e. Como F ∈ r, as equações

x t m t y t t z t n t

 = −^  = −

verificam-se para algum real t.

De 4 = -2 - 2t ⇒ 2t = -2 - 4 ⇒ t = -3 e, portanto, m = 1 – 3 (-3) = 10 n = 4 + (-3) = 1

f. Vamos considerar o ponto B(-5, -6, 6) do item c) e o vetor diretor - v^ ^ == - (-3, -2, 1) = (3, 2, -1)( a, b, c)

1 1 1

x x at y y bt z z ct

^ =^ +

, então r:

x t y t z t

^ = −^ +

Para o ponto C(-8, -8, 7) e o vetor diretor 2 = 2(-3, -2, 1) = (-6, -4, 2)

1 1 1

x x at y y bt z z ct

^ =^ +

, então r:

x t y t z t

g. Como s // r, os vetores diretores de s são os mesmos de r. Para v =( a, b, c)

tem-se s:

x t y t z t

^ =^ −

h. Como a reta t é paralela ao eixo dos y, um de seus vetores diretores é

j = ( 0,1, (^0) )

. Logo, t:

( ) ( ) ( )

x t y t t z t

(1, -4, -3). Logo, [ ]

x t y t z t t

Observe que as equações vetoriais dos segmentos AB e BA com 0 ≤ t ≤ 1, são P = A + t(B

• A) e P = B + t(A – B), respectivamente, em que

P(x, y, z) representa um ponto qualquer do segmento.

Observação: A equação P = A + t(B – A) também pode ser expressa de modo equivalente por P = tB + (1 – t)A

Equações Simétricas da Reta

Das equações paramétricas x = x 1 + at, y = y 1 +bt e z = z 1 + ct, supondo abc ≠ 0, isolando

t em cada uma das três equações, vem

t x^ x^1

a

= ,^1

y y

t

b

= e^1

z z

t

c

Como, para cada ponto da reta, corresponde um só valor para t, obtemos as igualdades ( x^^ − a^ x^1^^ =^ y^ − b^ y^1^^ =^ z^ − cz^1 ). Essas equações são denominadas equações simétricas da reta que passa pelo ponto A(x 1 , y 1 , z 1 ) e tem direção v =( a, b, c)

=(a,b,c).

Atividade

Determine as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto A(2, 0, -4) e tem a direção do vetor v^ =( a, b, c)

Resolução:

Para a resolução devemos observar que do vetor v^ ^ =(4, 4, –2) temos a = 4, b= 4 e c = –2, e( a, b, c) de A (2, 0, –4) temos respectivamente A (x, y, z) então substituindo:

x x y y z z x y z

a b c

Para obtermos outros pontos da reta, basta atribuir um valor qualquer a uma das variáveis.

Por exemplo, para x = 4, teremos

4 2 1 4 4 2 4 2

− (^) = = y (^) = z + −. Resolvendo as equações^

1 4 2 4 4 2 =^ y^ e y^ = z + − ,

obtemos y = 2 e z = –5. Portanto, o ponto (4, 2, -5), a partir da escolha de x – 4, pertence à reta.

Unidade: A Reta

Equações Reduzidas da Reta

Em benefício da praticidade, vamos tomar um caso particular, em vez de generalizar.

Seja a reta r definida pelo ponto A(1, -3, -4) e pelo vetor diretor v^ =( a, b, c)

= (1, -2, 3) e expressa

pelas equações simétricas r: 1 3 4 1 2 3

x − (^) = y + (^) = z + −

A partir dessas equações, podem-se expressar duas variáveis em função da terceira. Isolando, em primeiro lugar, as variáveis y e z e expressando-as em função de x, obtemos

( ) ( )

(^1 3 1 3 2) – 1 3 2 2 2 1 1 2

x − (^) = y + ⇒ y + = − x ⇒ y + = − x + y = − x − −

( ) ( )

x − (^) = z + ⇒ z + = x ⇒ z + = x ⇒ z = x

As equações y = -2x - 1 e z = 3x – 7 são equações reduzidas da reta, na variável x.

Observações

a) É fácil verificar que todo ponto P ∈ r é do tipo P(x, -2x – 1, 3x – 7), em que x pode assumir um valor qualquer. Por exemplo, para x = 3, tem-se o ponto P 1 = (3, -7, 2) ∈ r.

b) Equações reduzidas na variável x serão sempre da forma

y mx n z px q

^ =^ +   =^ +

c) Com procedimento idêntico, a partir das equações

x − y +

−

e 1 3 1 2

x − (^) = y + −

, podemos

obter as equações reduzidas na variável y. Assim:

1 3 2 2 3 2 1 1 2

x y x y x y x

− + = ⇒ − + = + ⇒ − = + ⇒ −

3 4 2 17 3 9 2 8 3 2 17 2 3 3 3

y z y z y z y z

= ⇒ + = − − ⇒ = − − ⇒ = − − −

ou também podemos obter as equações reduzidas na variável z:

1 4 1 7 3 3 4 3 7 1 3 3 3

x z x z x z x z

− + = ⇒ − = + ⇒ = + ⇒ = +

3 4 2 17 3 9 2 8 3 2 17 2 3 3 3

y z y z y z y z

= ⇒ + = − − ⇒ = − − ⇒ = − − −

Unidade: A Reta

Um sistema de equações paramétricas de r é:

x t

y t

z

^ = − +

 =^ +

Observação:

Como todos os pontos de r são do tipo (x, y, 4), isto é, são pontos de cota 4, todos eles distam 4 unidades do plano xOy e, por isso, r//xOy. Por outro lado, sendo P 1 (x 1 , y 1 , 4) e P (^2) (x 2 , y 2 , 4) pontos distintos de r, o vetor diretor (^) P P 1 2

= (x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , 0) sempre terá o terceiro componente nulo.

Comentário análogo é feito para os casos em que uma reta é paralela aos outros dois eixos.

A Figura 5.5, abaixo, mostra a reta r que passa por A(1, 5, 3) e é paralela ao vetor v^ =( a, b, c)

e, portanto,

r:

1 5 3 2

x t y z t

^ = −   =  (^) = + 

Retas Paralelas aos Eixos coordenados

Uma reta é paralela a um dos eixos Ox, Oy ou Oz se seus vetores diretores forem paralelos a (^) i



=(1,0,0) ou (^) j

 =(0,1,0) ou a (^) k

 =(0,0,1). Desse modo, dois dos componentes do vetor são nulos.

Atividade

Considere a reta r que passa por A(2, 3, 4) e tem a direção do vetor v^ =( a, b, c)

=(0,0 3). Determine as equações representantes da reta r e faça o esboço gráfico da reta r, paralela ao eixo das cotas (Oz).

Resolução:

2

3

4 3

x

y

z t

^ =   =  (^) = + 

Para o caso particular de a reta ser paralela a um eixo coordenado, costuma-se fazer uma simplificação, expressando as equações só pelas constantes. Para o caso particular acima,

dizemos que as equações r são 3 2

x y

^ =   = subentendendo-se z variável livre que assume todos os valores reais. Na verdade, todos os pontos de r são do tipo (3, 2, z) e as coordenadas constantes identificam perfeitamente a reta.

As figuras 5.7 e 5.8 apresentam retas que passam por A (x 1 , y 1 , z 1 ) e são paralelas aos

eixos Oy e Ox, respectivamente. Logo, suas equações, já na forma simplificada, são 1 1

x x

z z

^ =   = e 1 1

y y z z

^ =   =

, respectivamente.

v = ( a, b, c)

1 =(1, 1, -2) e^ v^ =(^ a, b, c)

2 =(-2, 1, 1). Aplicando a fórmula^ cos^  ^

v v v v

   

1 2 1 2

 , teremos:

cos

, , , ,  

        (^)        



     

1 1 2 2 1 1

1 1 2 2 1 1

2 1 2 (^2 2 2 2 2 2 1 1 4 411 )

3 6 6

3 6

1  2



  

Então,

cos 60 2 3

θ = arc ^ =^ o =^ π rad    

Retas Ortogonais

Sejam as retas r 1 e r 2 com direções de v^ =( a, b, c)

1 e^ v^ =(^ a, b, c)

2 , respectivamente. Então r^1 ⊥^ r^2 ⇔^ v^ =(^ a, b, c)

1 ⦁^ v^ =(^ a, b, c)

Observação

Duas retas ortogonais podem ser concorrentes ou não. As retas r 1 e r 2 são ortogonais a r. Porém r 2 e r são concorrentes. Nesse caso, dizemos que são perpendiculares.

Atividade

Verifique se as retas r 1 :  ^ y^^ = − z =^2 4 xx +^1 

e r 2 :

3 2 4

x t y t z t

 = −  (^) = +  (^) =

são ortogonais.

Resolução:

Primeiro, devemos obter a partir de r 1 e r 2 , v^ =( a, b, c)

1 e^ v^ =(^ a, b, c)

v = ( a, b, c)

1 = (1 -2, 4) e v^ v^ =(^ a, b, c)

2 =(-2, 1, 1) vetores diretores de r^1 e r^2. v = ( a, b, c)

1 ⦁^ v^ =(^ a, b, c)

2 = (1, -2 ,4)^ ⦁^ (-2, 1, 1) = -2 -2 + 4 = 0. Portanto, as retas r 1 e r^2 são ortogonais.

Unidade: A Reta

Reta Ortogonal a Duas retas

Sejam as retas r 1 e r 2 não-paralelas, com direções de v^ =( a, b, c)

1 e^ v^ =(^ a, b, c)

2 , respectivamente. Toda reta de r ao mesmo tempo ortogonal a r 1 e r 2 terá a direção de um vetor v^ =( a, b, c)

tal que

   

v v v v

1 2 2

0 0

   

   Em vez de tomarmos um vetor v^ =( a, b, c)

≠0 como uma solução particular do sistema

   

v v v v

1 2 2

0 0

   

  

poderíamos utilizar o produto vetorial, isto é, v^ =( a, b, c)

= v^ =( a, b, c)

1 x^ v^ =(^ a, b, c)

Definido um vetor diretor, a reta r estará determinada quando for conhecido um de seus pontos.

Atividade

Determine equações paramétricas da reta r que passa pelo ponto (2, 3, -2) e é ortogonal às

retas r 1 : (x, y, z) = (0, 0 1)+ t(2, 3, -4) e r 2 :

4

1

x y t z t

 =  (^) =  (^) = −

Resolução:

As direções de são definidas pelos vetores v =( a, b, c)

1 =(2, 3 -4) e^ v^ =(^ a, b, c)

Então a reta r tem a direção do vetor 1 22 3 4 3 4 2 4 2 3 ( 1, 2, 2)

0 1 1 1 1 0 1 0 1

i j k v x v i j

− − = − = − + = − −^ −

    ^ ^ 

Logo, temos r:

2 3 2 2 2

x t y t z t

 = +  (^) = +  (^) = − +

Intersecção de Duas Retas

Verifique se as retas r 1 e r 2 são concorrentes e, em caso afirmativo, determine o ponto de intersecção:

a) r 1 :

6 2 2 4 4 2

x h y h z h

 = +  (^) = +  (^) = −

e r 2 :

10 6 6 4 8 2

x t y t z t

 = +  (^) = − −  (^) = +

b) r 1 :

y 2 x 3 z x

^ =^ −  (^) = − 

e r 2 : 4 2 2

x t y t z t

 = −  (^) = −  (^) = +

c) r 1 :

3 2 2 5

y x z x

^ = −^ +  (^) = − 

e r 2 : 2 1 2 6 4

x + (^) = y − = z −

Resolução:

Se existe um ponto I(x, y, z) comum às duas retas, suas coordenadas verificam todas as equações de r 1 e r 2 , isto é, o ponto I é solução única do sistema formado pelas equações das duas retas.