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espaços vetoriais euclidianos .
Tipologia: Exercícios
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3 o^ Teste de Algebra Linear Semipresencial - 1´ oSem/
Quest˜ao 1. Encontre o ponto inicial A do vetor que ´e equivalente a −→u = (1, 1 , 3) e cujo ponto
final ´e B(− 1 , − 1 , 2).
a) A(− 2 , − 2 , −1)
b) A(− 1 , 0 , −1)
c) A(− 2 , 0 , 1)
d) A(0, 0 , −1)
Solu¸c˜ao:
Temos que
AB = u = (1, 1 , 3).
(xB − xA, yB − yA, zB − zA) = (1, 1 , 3) (− 1 − xA, − 1 − yA, 2 − zA) = (1, 1 , 3)
Logo
− 1 − xA = 1 ⇒ xA = − 2 − 1 − yA = 1 ⇒ yA = − 2 2 − zA = 3 ⇒ zA = − 1
Portanto A(− 2 , − 2 , −1)
3 o^ Teste de Algebra Linear Semipresencial - 1´ oSem/
Quest˜ao 2. Quais s˜ao as coordenadas do vetor −→v = (1, 0 , 0) em rela¸c˜ao a base
β = {(1, 1 , 1), (− 1 , 1 , 0), (1, 0 , −1)}?
a) (1/ 3 , − 1 / 3 , 1 /3)
b) (1, 0 , 0)
c) (2/ 3 , 5 / 3 , 4 /3)
d) (2, 1 , 1)
Solu¸c˜ao:
As coordenadas do vetor v em rela¸c˜ao a base β ´e a solu¸c˜ao do sistema determinado pela seguinte
combina¸c˜ao linear
v = a(1, 1 , 1) + b(− 1 , 1 , 0) + c(1, 0 , −1)
Assim
=^ a
+^ b
+^ c
a b c
Portanto
3 o^ Teste de Algebra Linear Semipresencial - 1´ oSem/
Continua¸c˜ao da solu¸c˜ao quest˜ao 3. Calculando determinante da matriz dos coeficientes do sistema acima obtemos
det
Como det A 6 = 0 ent˜ao o sistema acima possui solu¸c˜ao ´unica e portanto a solu¸c˜ao trivial. Assim a = 0, b = 0 e c = 0. Para mostrar que {(3, 1 , −4), (2, 5 , 6), (1, 4 , 8)} gera R^3 , usaremos um racioc´ıcio semelhante. Seja (x, y, z) ∈ R^3 um vetor arbitr´ario. A combina¸c˜ao linear
a(3, 1 , −4) + b(2, 5 , 6) + c(1, 4 , 8) = (x, y, z)
resultar´a no sistema
a b c
x y z
Este sistema possui solu¸c˜ao ´unica pois o det A 6 = 0. Assim {(3, 1 , −4), (2, 5 , 6), (1, 4 , 8)} gera R^3 e portanto forma uma base para este espa¸co.
3 o^ Teste de Algebra Linear Semipresencial - 1´ oSem/
Quest˜ao 4. Sejam W 1 e W 2 planos, subespa¸cos vetoriais do espa¸co R^3 com opera¸c˜oes usuais.
Sabendo que o vetor normal de W 1 ´e
N 1 = (1, − 7 , 5) e o de W 2 ´e
N 2 = (3, − 1 , 1), assinale a alternativa que indique uma base para subespa¸co (reta) interse¸c˜ao dos planos W 1 ∩ W 2.
a)
b)
c)
d)
Solu¸c˜ao: Temos que: W 1 = {(x, y, z)/x − 7 y + 5z = 0} e W 1 = {(x, y, z)/ 3 x − y + z = 0} e o espa¸co
W 1 ∩ W 2 = {(x, y, z)/x − 7 y + 5z = 0 e3x − y + z = 0}
{ x − 7 y + 5z = 0 3 x − y + z = 0
x +
z = 0
y −
z = 0
Tome z = 10t, obtemos x = −t e y = 7t com t ∈ R
3 o^ Teste de Algebra Linear Semipresencial - 1´ oSem/
Quest˜ao 5. Considere os vetores de R^3 , −→v 1 = (− 1 , 1 , −1), −→v 2 = (2, 4 , 3) e −→v 3 = (0, 7 , h), sendo este ´ultimo dependente de um parˆametro h. Qual ´e o valor de h para que o conjunto β = {−→v 1 , −→v 2 , −→v 3 } seja linearmente independente.
a)
b)
c) 1
d) 0
Quest˜ao Anulada: A pergunta deveria ser qual ´e o valor de h para que o conjunto β seja LD. No entanto vamos apresentar a resolu¸c˜ao para fins de estudo. Considere a combina¸c˜ao linear
a(− 1 , 1 , −1) + b(2, 4 , 3) + c(0, 7 , h) = (0, 0 , 0).
Esta resultar´a no sistema
− 1 3 h
a b c
O conjuto proposto ´e LD se, e somente se, o determinante da matriz dos coeficientes ´e igual a zero, isto ´∣ e, ∣ ∣ ∣ ∣ ∣
− 1 3 h
= − 6 h + 7 = 0 ⇒ h =
