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Capítulo 4: Espaços Vetoriais
CAPÍTULO 4:
ESPAÇOS VETORIAIS
4.1 ESPAÇOS VETORIAIS
2 R e
3 R
Considere o conjunto
R = R
2 xy y
x : ,. Cada elemento (^)
y
x deste conjunto pode ser representado por
um ponto no plano euclidiano de coordenadas x e y nos eixos das abscissas e das ordenadas,
respectivamente; este ponto indica uma posição no plano ou o ponto final de um vetor com ponto inicial
na origem de coordenadas. Por este último motivo, cada (^)
y
x será denominado um vetor. Em
2 R são
definidas duas operações, denominadas adição e multiplicação por um escalar , como segue:
^ +
1 2
1 2
2
2
1
1
y y
x x
y
x
y
x (adição), e
1
1
1
1
y
x
y
x
α (multiplicação por um escalar).
Observe que os resultados das duas operações mencionadas anteriormente, (^)
1 2
1 2
y y
x x e (^)
2
2
y
x
, também
pertencem a
2 R. Além disso, estas operações possuem, entre outras, as seguintes propriedades:
( )
( )
( )
( )
^ +
^ +
^ =
^ +
^ +
3
3
2
2
1
1
2 3
2 3
1
1
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
3
3
1 2
1 2
3
3
2
2
1
1
y
x
y
x
y
x
y y
x x
y
x
y y y
x x x
y y y
x x x
y
x
y y
x x
y
x
y
x
y
x
(propriedade
associativa da adição);
^ +
^ =
^ +
1
1
2
2
2
2
1
1
y
x
y
x
y
x
y
x (propriedade comutativa da adição);
3. o elemento
de
2 R satisfaz;
^ =
^ +
1
1
1
1
1
1
0
y
x
y
x
y
x e (^)
^ =
^ +
1
1
1
1
1
1
0
y
x
y
x
y
x (propriedade do elemento neutro aditivo);
4. para cada (^)
1
1
y
x , o vetor definido por (^)
1
1
y
x , satisfaz:
( )
( )
^ =
1 1
1 1
1
1
1
1
y y
x x
y
x
y
x e
( )
( )
^ =
^ +
1 1
1 1
1
1
1
1
y y
x x
y
x
y
x (propriedade do elemento
inverso aditivo);
( )
( )
( )
( )
( ) (^)
^ =
^ =
^ =
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
Capítulo 4: Espaços Vetoriais
1
1
1
1 1 y
x
y
x ;
7. ( )
( )
( )
^ +
^ =
^ +
^ =
2
2
1
1
2
2
1
1
1 1
1 1
1
1
1
1
y
x
y
x
y
x
y
x
y y
x x
y
x
y
x
(propriedade distributiva);
( )
( )
^ +
^ =
^ +
^ =
^ +
2
2
1
1
2
2
1
1
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
2
2
1
1
y
x
y
x
y
x
y
x
y y
x x
y y
x x
y y
x x
y
x
y
x
(propriedade distributiva).
Similarmente, em
3 R são definidas duas operações, denominadas adição e multiplicação por um escalar ,
como segue:
1 2
1 2
1 2
2
2
2
1
1
1
z z
y y
x x
z
y
x
z
y
x
(adição), e
1
1
1
1
1
1
z
y
x
z
y
x
α (multiplicação por um escalar).
Também pode se verificar que essas duas operações satisfazem as oito propriedades enunciadas
anteriormente para
2 R.
Agora, enunciamos a definição geral de espaço vetorial.
Definição 4.1:
Um conjunto (^) V , não vazio, junto com duas operações
uv u v
V V V
+ × →
( , ) a
e u u
K V V
(α , )a α
⋅ : × →
denominadas adição e multiplicação por escalar , respectivamente, sendo K um corpo, e são satisfeitas as
seguintes propriedades:
A1. (u + v) + w = u + (v + w), para quaisquer u, v,w ∈ V , (propriedade associativa da adição);
A2. u + v = v + u, para quaisquer u, v ∈ V , (propriedade comutativa da adição);
A3. existe um elemento em V , denominado vetor nulo e denotado por 0 , tal que u + 0 = 0 + u = u , para
qualquer u ∈ V (existência de um elemento neutro aditivo);
A4. para cada elemento u ∈ V , existe um elemento em V , denominado vetor oposto e denotado por − u ,
tal que u + ( − u) = ( − u) + u = 0 (existência de um elemento inverso aditivo);
M1. α ( β u )= (α β) u, para quaisquer α , β∈ K e qualquer u ∈ V ;
M2. 1 u = u , para qualquer u ∈ V (sendo 1 o elemento unidade de K );
D1. ( α + β) u = α u + β u, para quaisquer α , β∈ K e qualquer u ∈ V , (propriedade distributiva);
D2. α (u + v) = α u + α v, para qualquer α ∈ K e quaisquer u, v ∈ V , (propriedade distributiva);
é denominado um espaço vetorial sobre o corpo K. Os elementos de V são denominado vetores e as
propriedades enunciadas anteriormente são chamadas de axiomas de espaço vetorial. O espaço vetorial é
denotado por (V, + , K, ⋅ ).
Capítulo 4: Espaços Vetoriais
A4: propriedade do elemento inverso aditivo (ou oposto): para cada vetor
x n
x
x
M
2
1
, o vetor
x n
x
x
M
2
1
satisfaz
2 2
1 1
2
1
2
1
M M M M
n n xn x n
x x
x x
x
x
x
x
x
x
M1: ( )
n n n n x n
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
M M M M M
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
M2:
n n x n
x
x
x
x
x
x
x
x
M M M
2
1
2
1
2
1
D1: ( )
( )
( )
( )
n n n n n n n x n
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x x
x x
x x
x
x
x
x
x
x
M M M M M M M
2
1
2
1
2
1
2
1
2 2
1 1
2
1
2
1
D2:
n n n n n n n n n n n y n
y
y
x
x
x
y
y
y
x
x
x
x y
x y
x y
x y
x y
x y
x y
x y
x y
y
y
y
x
x
x
M M M M M M M M M
2
1
2
1
2
1
2
1
2 2
1 1
2 2
1 1
2 2
1 1
2
1
2
1
Assim, ( R , +, R, ⋅)
n é um espaço vetorial sobre o corpo dos números reais, ou, simplesmente, um espaço
vetorial real.
Exemplo 4.2:
O subconjunto de
2 R dado por
V = 1 R
1 : 0
x
x junto com as operações
x 1 (^) y 1 x 1 y 1 e
^ =
x 1 α x 1
α com α ∈ R satisfaz os axiomas de espaço vetorial.
A1: propriedade associativa da adição:
( ) ( )
^ =
^ +
^ +
1 2 3
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
x x x
x x x x x x x x x x x x x x x
Capítulo 4: Espaços Vetoriais
A2: propriedade comutativa da adição
1
1
2
1 2 1 2 2 1 2
0 0 0 0 y
x
y
x x x x x x x .
A3: propriedade do elemento neutro aditivo: o elemento (^) ∈ V
satisfaz (^)
^ =
^ +
x 1 (^) x 1 x 1 .
A4: propriedade do elemento inverso aditivo (ou oposto): para cada vetor (^)
x 1 , o vetor (^)
x 1 satisfaz
^ =
x 1 (^) x 1 x 1 x 1 .
M1: ( ) (^)
^ =
^ =
^ =
x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 αβ
β α β αβ α β α.
M2:
x 1 (^) x 1 x 1 .
D1: ( )
x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 α β
α β α β α β α β.
D2:
^ +
^ =
^ +
^ =
^ +
x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 α α
α α α α α.
Logo, (^) ( V, + , R, ⋅)é um espaço vetorial real.
Exemplo 4.3:
O conjunto
V = 2 Q
2
x x
junto com as operações (^)
^ +
2 2 2 2
x y x y
e (^)
^ =
2 2
x x
α com
α ∈ Q satisfaz os axiomas de espaço vetorial. Logo, ( V, + , Q, ⋅) é um espaço vetorial sobre o corpo dos
números racionais, ou, simplesmente, um espaço vetorial racional.
Exemplo 4.4:
Considere o conjunto V das funções reais sobre um intervalo [ a , b ], junto com as operações da adição
usual de funções e multiplicação por escalar real. Pode-se verificar que tal conjunto forma um espaço
vetorial real.
Exemplo 4.5:
Considere o conjunto
n V C = C
= (^) n
n
x x x
x
x
x
2
1
K
M
junto com as operações
n n xn y n
x y
x y
y
y
y
x
x
x
M M M
2 2
1 1
2
1
2
1
e
n x n
x
x
x
x
x
α
α
α
α M M
2
1
2
1
, α ∈ C.
Capítulo 4: Espaços Vetoriais
2. Os vetores { v (^) 1 ,v 2 , K , vn }são ditos linearmente independentes sobre K se, e somente se, não são
linearmente dependentes sobre K , ou seja, a igualdade α 1 v 1 + α 2 v 2 +L+ α n vn = 0 implica que
α 1 = α 2 =K = α n = 0.
Exemplo 4.8:
Considere o espaço ( R, + , R, ⋅)
3
. Suponha que é requerido determinar se os vetores
são
linearmente independentes ou não. Considere a combinação nula
Essa combinação origina o sistema de equações lineares
1 2
1 2
1 2
. A seguir, mostra-se matriz
aumentada desse sistema e sua transformação para uma forma escalonada:
3
2
3
1
3
2
M
M
M
M
M
M
M
M
M
2 2
1 3 1 3 3
2 3 3
3 1
1 2 2 L L L L L L
L L L
Logo, o sistema é equivalente a
3 2
2
1 2
, cuja única solução é α 1 = α 2 = 0. Portanto, os vetores
são linearmente independentes (sobre R ).
Exemplo 4.9:
Considere o espaço ( R, + , R, ⋅)
3
. O conjunto
origina a combinação nula:
Capítulo 4: Espaços Vetoriais
ou seja, o sistema
3
2 3
1 2 3
A matriz do sistema é
cujo determinante é 1. Logo, a
única solução do sistema é α 1 = α 2 = α 3 = 0. Portanto, os vetores
são linearmente
independentes (sobre R ).
Exemplo 4.10:
Considere o espaço ( R, + , R, ⋅)
3
. O conjunto
origina a combinação nula:
ou seja, o sistema quadrado
2 3
2 3
1 2
A matriz do sistema é
cujo determinante é 0.
Procede-se a encontrar as soluções desse sistema montando a matriz aumentada e transformando para uma
forma escalonada:
M
M
M
M
M
M
L 3 L 3 L 2
Logo, o sistema é equivalente a
2 3
1 2
, cujas soluções são α 2 = − α 3 e α 1 = − α 2 = α 3 , ou seja,
3
3
3
3
3
2
1
, onde α 3 é um parâmetro livre. Observa-se que existem (infinitas) soluções não
nulas do sistema homogêneo. Portanto, os vetores
são linearmente dependentes (sobre R ).
Definição 4.4:
Seja (V, + , K, ⋅ ) um espaço vetorial. O espaço V é dito de dimensão finita se, e somente se, existe um
conjunto finito de vetores { v (^) 1 ,v 2 , K , vn }tal que todo vetor v ∈ V pode ser escrito como a combinação
linear v = α 1 v 1 + α 2 v 2 +L+ α n vn , para alguns escalares α 1 , α 2 ,K , α n ∈ K.
Capítulo 4: Espaços Vetoriais
A seguinte propriedade afirma que, num espaço de dimensão finita, a dimensão de qualquer subespaço
também é finita.
Propriedade 4.4:
Sejam (V, + , K, ⋅ ) um espaço vetorial de dimensão finita e W ⊂ V um subespaço. Então W é de
dimensão finita e dim( W ) ≤ dim( V ).
Exemplo 4.12:
Considere o espaço vetorial ( R, +, R, ⋅)
3
. Logo,
3 W R ⊂ R
= x y x y
x y
é um subespaço vetorial de
3 R (por que?). Também, observe que todo vetor ∈ W
x y
x y
pode ser escrito como
x y x y
x y
e o conjunto de vetores
é linearmente independente sobre R (por que?) e portanto, tal
conjunto constitui uma base para W. Logo, dim 2 3 dim )
3 R (W)^ =^ < = R(R.
4.3 MUDANÇA DE BASE
Seja (V, + ,K, ⋅ ) um espaço vetorial tal que dim( V ) = n. Seja v ∈ V. Dada uma base B ={ v (^) 1 ,v 2 , K ,vn },
tem-se que v = α 1 v 1 + α 2 v 2 +L+ α n vn , para alguns escalares α 1 , α 2 ,K, α n ∈ K. Denota-se [ ]
B
vB
α n
M
2
1
e
denomina-se vetor de coordenadas do vetor v ∈ V na base B. Dada outra base, B ' ={ v (^) 1 ' ,v 2 ' , K ,vn '},
existem, de fato, alguns escalares α 1 ', α 2 ',K, α n '∈ K tais que v = α 1 ' v 1 '+ α 2 ' v 2 '+L + α n vn ' , e, nesse caso,
o vetor de coordenadas de v ∈ V na base B 'é [ ]
B
vB
2
1
'
α n
M
Observe que se
1 2
12 22 2
11 21 1
n 1 2 n
2 1 2 n
1 1 2 n
v v v v
v v v v
v v v v
n n nn
n
n
a a a
a a a
a a a
L
M
L
L
, para certos escalares aij ∈ K , então se teria que
Capítulo 4: Espaços Vetoriais
[ ]
[ ' ' '].
2
1
1 2
21 22 2
11 12 1
2
1
1 2
n n nn n
n
n
n
n
a a a
a a a
a a a
M
L
M M O M
L
L
L
M
L L
1 2 n
1 2 n 1 2 n
v v v
v v v v v v v
Esta igualdade significa que se [ ]
α n
M
2
1
v (^) B é o vetor de coordenadas na base B ={ v (^) 1 ,v 2 , K ,vn }, então o
vetor de coordenadas [ ]
2
1
'
α n
M
v (^) B na base B ' ={ v (^) 1 ' ,v 2 ' , K ,vn '}está dado por
[ ]
n n nn n n
n
n
n a a a
a a a
a a a
M
L
M
L
M M O M
L
L
M
2
1
2
1
1 2
21 22 2
11 12 1
2
1
[ ] [ ] [ ]
v 1 B v 2 B vn B.
A matriz
→^ =
n n nn
n
n
a a a
a a a
a a a
L
M M O M
L
L
1 2
21 22 2
11 12 1
PB (^) B' é denominada a matriz de mudança de base de B ={ v (^) 1 ,v 2 , K ,vn }
para B ' ={ v (^) 1 ' ,v 2 ' , K ,vn '}. Assim,
[ v ] (^) B ' = PB → B' =[[ v 1 ] B [ v 2 ] B L [ vn ] B ] [ v ] B.
A matriz PB (^) '→ B de mudança de base de B ' para B está dada simplesmente pela inversa de PB (^) → B' , ou seja,
1 ' (^ )
− PB (^) → B = PB → B'.
A importância das matrizes de mudança de base é considerável, pois ela auxilia na conversão de
coordenadas de vetores de uma base para outra, e também para determinar as equações cartesianas de
lugares geométricos em outras bases.
Exemplo 4.14:
Considere o espaço vetorial ( R, +, R, ⋅)
3
. Provou-se anteriormente que
{ }
B v 1 ,v 2 ,v 3 e { }
B ' v 1 ' ,v 2 ' ,v 3 '
são bases de
3 R sobre R. Agora,
Capítulo 4: Espaços Vetoriais
[ ]
'
B
z
y
x
=2, ou, [ 3 8 0 ] 2
'
B z
y
x
, ou,
3 x + 8 y = 2 na base B '.
Similarmente, suponha que é desejado transformar a equação cartesiana
3 2 8 5 1
2 2 2 x + xy + y − z + x − y − z =
para a equação na base { }
B ' v 1 ' ,v 2 ' ,v 3 '. Observe que a equação quadrática anterior pode
ser escrita como
[ ] [ 8 5 1 ] 1
B B
B
z
y
x
z
y
x
x y z
e considerando que
' '
1
'
'
0 0 1
B B B
B B
B
P
−
→
z
y
x
z
y
x
z
y
x
z
y
x
tem-se que
[ ] [ ] [ ]
x y z B x y z B ' x y z B '
t
Substituindo os valores de [ x y z ] B e
B
z
y
x
na equação cartesiana, tem-se que
[ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ] [ 8 13 4 ] 1
' '
'
' '
'
B B
B
B B
B
B B
B
z
y
x
z
y
x
x y z
z
y
x
z
y
x
x y z
z
y
x
z
y
x
x y z
ou seja, a
equação quadrática 3 2 8 5 1
2 2 2 x + xy + y − z + x − y − z = na base canônica pode ser escrita como
2 2 x + xy + y + xz + yz + x + y + z =
na base { }
B ' v 1 ' ,v 2 ' ,v 3 '.
Capítulo 4: Espaços Vetoriais
A idéia de determinar equações cartesianas em outras bases pode ser estendida a partir deste exemplo. Isto
é interessante porque permite identificar qual é o tipo de seção cônica ou superfície quádrica determinada
por uma equação cartesiana em
2 R ou
3 R , desde que se conheça uma base adequada nesses espaços.
O procedimento prático para calcular a matriz PB (^) → B' é o seguinte:
Forme a matriz [ B' M B ]e reduza tal matriz, mediante operações elementares por linhas para a forma
[ I M PB → B' ].
Exemplo 4.16:
Considere o espaço vetorial ( , )
2 R , + R, ⋅ e as bases { }
B v 1 ,v 2 e
{ }
B ' v 1 ' ,v 2 '. Para determinar PB (^) → B' mostra-se a seguir a matriz [ B' M B ] e sua
transformação para a forma [ I M PB → B' ]:
[ ]
5
3
5
1
5
1
5
3 1 1 2
5
3 5
1
5 2
1 2
2 2 1
L L 2L
L L
L L 2L
B' B
M
M
M
M
M
M
M
M
M
Logo, (^)
5
3
5
1
5
1
5
3 PB (^) B'.
4.4 EXERCICIOS PROPOSTOS
1. Verifique que cada um dos seguintes conjuntos de vetores é linearmente dependente:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
E
2. Diga se cada um dos seguintes conjuntos de vetores é linearmente independente ou linearmente
dependente:
a.
b.
c.
