cap03 - Espaços Vetoriais, Notas de estudo de Geometria Analítica e Álgebra Linear

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Algebra Linear e suas Aplica¸´ c˜oes

Notas de Aula

Petronio Pulino

= Q

Q

t

Q

t

Q =

PULINUS^ sq

Algebra Linear e suas Aplica¸´ c˜oes

Notas de Aula

Petronio Pulino

Departamento de Matem´atica Aplicada Instituto de Matem´atica, Estat´ıstica e Computa¸c˜ao Cient´ıfica Universidade Estadual de Campinas Caixa Postal 6065, CEP 13083–859, Campinas, SP, Brasil E–mail: [email protected] Homepage: www.ime.unicamp.br/∼pulino/ALESA/

Mar¸co de 2009

• 1 Estruturas Alg´ebricas
  • 1.1 Opera¸c˜ao Bin´aria. Grupos
  • 1.2 Corpo Comutativo
  • 1.3 Corpo com Valor Absoluto
  • 1.4 Corpo Ordenado
  • 1.5 Valor Absoluto num Corpo Ordenado
  • 1.6 N´umeros Reais
  • 1.7 N´umeros Complexos
  • 1.8 Caracter´ıstica do Corpo
  • 1.9 M´etricas
• 2 Matrizes e Sistemas Lineares
  • 2.1 Matrizes
  • 2.2 Tipos Especiais de Matrizes
  • 2.3 Inversa de uma Matriz
  • 2.4 Matrizes em Blocos
  • 2.5 Opera¸c˜oes Elementares. Equivalˆencia
  • 2.6 Forma Escalonada. Forma Escada
  • 2.7 Matrizes Elementares
  • 2.8 Matrizes Congruentes. Lei da In´ercia
  • 2.9 Sistemas de Equa¸c˜oes Lineares
• 3 Espa¸cos Vetoriais
  • 3.1 Espa¸co Vetorial. Propriedades
  • 3.2 Subespa¸co Vetorial
  • 3.3 Combina¸c˜ao Linear. Subespa¸co Gerado
  • 3.4 Soma e Intersec¸c˜ao. Soma Direta
  • 3.5 Dependˆencia e Independˆencia Linear
  • 3.6 Bases e Dimens˜ao
  • 3.7 Coordenadas
  • 3.8 Mudan¸ca de Base
• 4 Transforma¸c˜oes Lineares ii CONTE UDO´
  • 4.1 Transforma¸c˜oes do Plano no Plano
  • 4.2 Transforma¸c˜ao Linear
  • 4.3 N´ucleo e Imagem
  • 4.4 Posto e Nulidade
  • 4.5 Espa¸cos Vetoriais Isomorfos
  • 4.6 Algebra das Transforma¸´ c˜oes Lineares
  • 4.7 Transforma¸c˜ao Inversa
  • 4.8 Representa¸c˜ao Matricial
• 5 Produto Interno
  • 5.1 Introdu¸c˜ao
  • 5.2 Defini¸c˜ao de Produto Interno
  • 5.3 Desigualdade de Cauchy–Schwarz
  • 5.4 Defini¸c˜ao de Norma. Norma Euclidiana
  • 5.5 Defini¸c˜ao de Angulo. Ortogonalidadeˆ
  • 5.6 Base Ortogonal. Coeficientes de Fourier
  • 5.7 Processo de Gram–Schmidt
  • 5.8 Complemento Ortogonal
  • 5.9 Decomposi¸c˜ao Ortogonal
  • 5.10 Identidade de Parseval
  • 5.11 Desigualdade de Bessel
  • 5.12 Operadores Sim´etricos
  • 5.13 Operadores Hermitianos
  • 5.14 Operadores Ortogonais
  • 5.15 Proje¸c˜ao Ortogonal
  • 5.16 Reflex˜ao sobre um Subespa¸co
  • 5.17 Melhor Aproxima¸c˜ao em Subespa¸cos
• 6 Autovalores e Autovetores
  • 6.1 Autovalor e Autovetor de um Operador Linear
  • 6.2 Autovalor e Autovetor de uma Matriz
  • 6.3 Multiplicidade Alg´ebrica e Geom´etrica
  • 6.4 Matrizes Especiais
  • 6.5 Aplica¸c˜ao. Classifica¸c˜ao de Pontos Cr´ıticos
  • 6.6 Diagonaliza¸c˜ao de Operadores Lineares
  • 6.7 Diagonaliza¸c˜ao de Operadores Hermitianos
• 7 Funcionais Lineares e Espa¸co Dual CONTE UDO´ iii
  • 7.1 Introdu¸c˜ao
  • 7.2 Funcionais Lineares
  • 7.3 Espa¸co Dual
  • 7.4 Teorema de Representa¸c˜ao de Riesz
• 8 Algebra Linear Computacional´
  • 8.1 Introdu¸c˜ao
  • 8.2 Decomposi¸c˜ao de Schur. Teorema Espectral
  • 8.3 Normas Consistentes em Espa¸cos de Matrizes
  • 8.4 An´alise de Sensibilidade de Sistemas Lineares
  • 8.5 Sistema Linear Positivo–Definido
  • 8.6 M´etodos dos Gradientes Conjugados
  • 8.7 Fatora¸c˜ao de Cholesky
  • 8.8 M´etodos Iterativos para Sistemas Lineares
  • 8.9 Sistema Linear Sobredeterminado
  • 8.10 Subespa¸cos Fundamentais de uma Matriz
  • 8.11 Proje¸c˜oes Ortogonais
  • 8.12 Matriz de Proje¸c˜ao Ortogonal
  • 8.13 Fatora¸c˜ao QR
  • 8.14 Modelos de Regress˜ao Linear
  • 8.15 Solu¸c˜ao de norma–2 M´ınima
  • 8.16 Problemas de Ponto Sela
  • 8.17 Decomposi¸c˜ao em Valores Singulares
  • Bibliografia

©cPetronio Pulino, 2009 DMA – IMECC – UNICAMP

Espa¸cos Vetoriais

Conte´udo

3.1 Espa¸co Vetorial. Propriedades.................. 140 3.2 Subespa¸co Vetorial......................... 147 3.3 Combina¸c˜ao Linear. Subespa¸co Gerado............. 154 3.4 Soma e Intersec¸c˜ao. Soma Direta................. 158 3.5 Dependˆencia e Independˆencia Linear.............. 167 3.6 Bases e Dimens˜ao.......................... 173 3.7 Coordenadas............................. 204 3.8 Mudan¸ca de Base.......................... 212

140 Algebra Linear e suas Aplica¸´ c˜oes: Notas de Aula

3.1 Espa¸co Vetorial. Propriedades

Em v´arios ramos da matem´atica, defrontamo-nos com um conjunto, no qual ´e, ao mesmo tempo significativo e interessante trabalhar com combina¸c˜oes lineares dos objetos dele. Por exemplo, no estudo de equa¸c˜oes lineares, ´e bastante natural considerar combina¸c˜oes lineares das linhas de uma matriz. Em c´alculo diferencial trabalhamos com combina¸c˜oes lineares de fun¸c˜oes, por exemplo, no estudo de equa¸c˜oes diferenciais. Em geral, a primeira experiˆencia com vetores ´e apresentada com o estudo do espa¸co euclidiano tridimensional.

Em geral, a Algebra Linear ´´ e o ramo da matem´atica que trata das propriedades comuns a sistemas alg´ebricos constitu´ıdos por um conjunto mais uma no¸c˜ao de combina¸c˜ao linear de elementos desse conjunto. Nesta se¸c˜ao vamos definir o objeto matem´atico que, como a experiˆencia mostrou, ´e a abstra¸c˜ao mais ´util e interessante deste tipo de sistema alg´ebrico.

Defini¸c˜ao 3.1.1 Um Espa¸co Vetorial consiste do seguinte:

(1) Um conjunto n˜ao vazio V de objetos, denominados vetores.

(2) Um corpo IF (IR ou C) de escalares.

(3) uma opera¸c˜ao de adi¸c˜ao de vetores, que associa a cada par de elementos u, v ∈ V um elemento u + v ∈ V , isto ´e, V ´e fechado com rela¸c˜ao `a opera¸c˜ao de adi¸c˜ao. Esta opera¸c˜ao tem as seguintes propriedades:

(A 1 ) Comutatividade. u + v = v + u ; ∀ u, v ∈ V.

(A 2 ) Associatividade. u + (v + w) = (u + v) + w ; ∀ u, v, w ∈ V.

(A 3 ) Elemento Neutro. Existe um elemento (^0) V ∈ V tal que u + 0V = u ; ∀ u ∈ V.

(A 4 ) Elemento Sim´etrico. Para todo elemento u ∈ V existe o elemento −u ∈ V tal que u + (−u) = 0V ; ∀ u ∈ V.

(4) uma opera¸c˜ao de multiplica¸c˜ao por escalar, que associa a cada elemento u ∈ V e cada escalar α ∈ IF um elemento α u ∈ V , isto ´e, V ´e fechado com rela¸c˜ao `a opera¸c˜ao de multiplica¸c˜ao por escalar. Esta opera¸c˜ao tem as seguintes propriedades:

(M 1 ) Associatividade. (α β) u = α (β u) ; ∀ u ∈ V e ∀ α, β ∈ IF.

(M 2 ) Distributividade para a Adi¸c˜ao de Elementos. α (u + v) = α u + α v ; ∀ u, v ∈ V e ∀ α ∈ IF.

142 Algebra Linear e suas Aplica¸´ c˜oes: Notas de Aula

Exemplo 3.1.4 O conjunto Cn^ = { (z 1 , · · · , zn) / zi ∈ C }, conjunto de todas as n–uplas complexas, com as opera¸c˜oes usuais, ´e um espa¸co vetorial complexo, considerando o corpo dos escalares como sendo IF = C.

Para mostrar que a opera¸c˜ao de adi¸c˜ao de elementos e a opera¸c˜ao de multiplica¸c˜ao por escalar definidas em Cn^ verificam os axiomas da defini¸c˜ao de espa¸co vetorial, basta utilizar as propriedades da opera¸c˜ao de adi¸c˜ao e da opera¸c˜ao de multiplica¸c˜ao de elementos do corpo C. Entretanto, podemos considerar o corpo dos escalares como sendo IF = IR. desse modo, temos que Cn^ ´e um espa¸co vetorial real.

Exemplo 3.1.5 O conjunto F(IR) = { f : IR −→ IR / f ´e uma fun¸c˜ao }, com a opera¸c˜ao de adi¸c˜ao de elementos definida como:

(f + g)(x) = f (x) + g(x) ; ∀ f, g ∈ F(IR) e a opera¸c˜ao de multiplica¸c˜ao por escalar definida como:

(λ f )(x) = λ f (x) ; ∀ f ∈ F(IR) e λ ∈ IR

´e um espa¸co vetorial real.

Exemplo 3.1.6 O conjunto C([a, b]) = { f : [a, b] −→ IR / f ´e uma fun¸c˜ao cont´ınua }, com a opera¸c˜ao de adi¸c˜ao de elementos e como a opera¸c˜ao de multiplica¸c˜ao por escalar definidas em F(IR), ´e um espa¸co vetorial real.

Exemplo 3.1.7 Seja n ≥ 0 um n´umero natural. O conjunto dos polinˆomios reais de grau ≤ n, com coeficientes reais, que denotamos por Pn(IR), munido da opera¸c˜ao de adi¸c˜ao de elementos e da opera¸c˜ao de multiplica¸c˜ao por escalar definidas de modo an´alogo ao Exemplo 3.1.5, ´e um espa¸co vetorial real. Assim, todo elemento p(x) ∈ Pn(IR) ´e escrito na forma: p(x) = a 0 + a 1 x + · · · + anxn^ ,

com os coeficientes a 0 , a 1 , · · · , an ∈ IR, para todo x ∈ IR.

Exemplo 3.1.8 O conjunto da matrizes reais de ordem m × n, que vamos denotar por IMm×n(IR), ´e um espa¸co vetorial real, com as opera¸c˜oes usuais de soma de matrizes e multiplica¸c˜ao de uma matriz por um escalar.

Petronio Pulino 143

Teorema 3.1.1 (Unicidade do Elemento Neutro) Seja V um espa¸co vetorial sobre o corpo IF. Ent˜ao, existe um ´unico elemento neutro da opera¸c˜ao de adi¸c˜ao (^0) V ∈ V.

Demonstra¸c˜ao – O axioma (A 3 ) afirma que existe pelo menos um elemento neutro 0V em V. Vamos supor que existem dois elementos neutros (^0) V e 01 , isto ´e,

(^0) V = 0V + 0 1 = 0 1 + 0V = 0 1 ,

o que prova a unicidade do elemento neutro da opera¸c˜ao de adi¸c˜ao. ¥

Exemplo 3.1.9 Considere o espa¸co vetorial P 3 (IR). Assim, o elemento neutro da opera¸c˜ao de adi¸c˜ao ´e o polinˆomio p 0 (x) ∈ P 3 (IR) definido por:

p 0 (x) = a + bx + cx^2 + dx^3 = 0

para todo x ∈ IR. Assim, temos que a = b = c = d = 0.

Teorema 3.1.2 (Unicidade do Elemento Sim´etrico) Seja V um espa¸co vetorial sobre o corpo IF. Ent˜ao, todo elemento u ∈ V possui um unico elemento sim´´ etrico.

Demonstra¸c˜ao – O axioma (A 4 ) afirma que todo elemento u ∈ V possui pelo menos um elemento sim´etrico −u ∈ V. Vamos supor que o elemento u ∈ V possui dois elementos sim´etricos −u e u 1 , isto ´e,

u + (−u) = 0V e u + u 1 = 0V

Desse modo, temos que

(−u) = 0V + (−u) = (u + u 1 ) + (−u) = 0V + u 1 = u 1 ,

o que prova a unicidade do elemento sim´etrico. ¥

Exemplo 3.1.10 Considere o espa¸co vetorial real C([a, b]). Assim, o elemento neutro da opera¸c˜ao de adi¸c˜ao ´e a fun¸c˜ao f 0 ∈ C([a, b]) dada por:

f 0 (x) = 0 para todo x ∈ [a, b].

Al´em disso, dada uma fun¸c˜ao f ∈ C([a, b]), o seu elemento sim´etrico ´e a fun¸c˜ao (−f ) definida por:

(−f )(x) = −f (x) para todo x ∈ [a, b].

Petronio Pulino 145

Demonstra¸c˜ao

(a) Seja v = 0IF u. Queremos mostrar que v = 0V. Fazendo

v + v = 0IF (u + u) = v e somando (−v) em ambos os lados da igualdade, obtemos

v = v + 0V = v + ( v + (−v) ) = v + (−v) = 0V Logo, v = 0V. ¥

(b) A prova ´e feita de modo an´alogo ao item (a), e pode ficar a cargo do leitor. ¤

(c) Seja v = (−α) u. Temos que v + α u = (−α) u + α u = (−α + α) u = 0V

Assim, obtemos que v = −(α u). Vamos provar agora que v = α (−u). Fazendo α (−u) + α u = α ( (−u) + u ) = α (^0) V = 0V

provamos que −(α u) = α (−u). ¥

(d) Tomamos α u = 0V com α 6 = 0F. Sabemos que existe um ´unico α−^1 ∈ IF tal que α α−^1 = 1IF. Desse modo, tem–se que

u = 1IF u = (α−^1 α) u = α−^1 (α u) = α−^1 0 V = 0V Logo, u = 0V. ¥

(e) Como α 6 = 0IF , sabemos que existe um ´unico α−^1 ∈ IF tal que α α−^1 = 1IF. Desse modo, temos que u = (α−^1 α) u = α−^1 (α u) = α−^1 (α v) = (α−^1 α) v = v

Logo, u = v. ¥

(f ) Somando −(β u) em ambos os lados da igualdade α u = β u, obtemos

α u + (−(β u)) = α u + (−β) u = = (α + (−β)) u = (α − β) u = 0V como u 6 = 0V , temos que (α − β) = 0IF. Logo, α = β. ¥

(g) A prova ´e feita de modo an´alogo ao item (f ), e pode ficar a cargo do leitor. ¤

(h) A prova ´e feita por indu¸c˜ao a partir dos axiomas (A 2 ) e (M 3 ) da defini¸c˜ao de espa¸co vetorial. ¤

146 Algebra Linear e suas Aplica¸´ c˜oes: Notas de Aula

Exerc´ıcios

Exerc´ıcio 3.1 Mostre que o conjunto IR^2 = { (x, y) / x, y ∈ IR } ´e um espa¸co vetorial real, com as opera¸c˜oes usuais de adi¸c˜ao de elementos e multiplica¸c˜ao por escalar.

Exerc´ıcio 3.2 Mostre que o conjunto de todas as matrizes reais de ordem n, que deno- tamos por IMn(IR), com a opera¸c˜ao de adi¸c˜ao de elementos, A = [aij ] e B = [bij ], definida por: A + B = [aij + bij ] e a opera¸c˜ao de multiplica¸c˜ao por escalar definida por: λA = [λaij ] , ´e um espa¸co vetorial real.

Exerc´ıcio 3.3 Considere o espa¸co vetorial real V = { (x, y) ∈ IR^2 / x > 0 } com as opera¸c˜oes:

• adi¸c˜ao de elementos: (x 1 , y 1 ) ⊕ (x 2 , y 2 ) = (x 1 x 2 , y 1 + y 2 ).
• multiplica¸c˜ao por escalar: α ¯ (x, y) = (xα, α y) , α ∈ IR. (a) Exiba o elemento neutro da opera¸c˜ao adi¸c˜ao.

(b) Exiba o elemento sim´etrico aditivo do elemento (x, y) ∈ V.

(c) Mostre que α ¯ (u ⊕ v) = α ¯ u ⊕ α ¯ v , u, v ∈ V e α ∈ IR.

Exerc´ıcio 3.4 Considere o conjunto V = { x ∈ IR / x > 0 }. Definimos as seguintes opera¸c˜oes em V :

1. x ⊕ y = xy , ∀ x, y ∈ V ;
2. α ¯ x = xα^ , ∀ x ∈ V, ∀ α ∈ IR. Verifique se (V, ⊕, ¯) ´e um espa¸co vetorial real.

Exerc´ıcio 3.5 Sejam V e W espa¸cos vetoriais sobre o corpo IF. Mostre que Z = V × W = { (v, u) / v ∈ V e w ∈ W } munido das seguintes opera¸c˜oes: ( v 1 , w 1 ) + ( v 2 , w 2 ) = ( v 1 + v 2 , w 1 + w 2 )

λ(v , w) = (λv , λw) ; λ ∈ IF

´e um espa¸co vetorial sobre o corpo IF.

148 Algebra Linear e suas Aplica¸´ c˜oes: Notas de Aula

Exemplo 3.2.4 O subconjunto S = { (x, y) ∈ IR^2 / y − 2 x = 1 } n˜ao ´e um subespa¸co vetorial de IR^2.

De fato, o elemento neutro da opera¸c˜ao de adi¸c˜ao, 0IR 2 = (0, 0), n˜ao pertence a S. Al´em disso, o subconjunto S n˜ao ´e fechado com rela¸c˜ao `as opera¸c˜oes de adi¸c˜ao de elementos e de multiplica¸c˜ao por escalar.

Exemplo 3.2.5 o subconjunto U = { f ∈ C([a, b]) / f (a) = 1 } n˜ao ´e um subespa¸co vetorial de C([a, b]).

De fato, o elemento neutro da opera¸c˜ao de adi¸c˜ao, f ≡ 0, n˜ao pertence a U. Al´em disso, o subconjunto U n˜ao ´e fechado com rela¸c˜ao `as opera¸c˜oes de adi¸c˜ao de elementos e de multiplica¸c˜ao por escalar.

Exemplo 3.2.6 Considere o espa¸co vetorial real P 3 (IR). O subconjunto

S = { p(x) ∈ P 3 (IR) / p(−1) = 0 e p′(1) = 0 }

´e um subespa¸co vetorial de P 3 (IR).

Para mostrar que S ´e um subespa¸co vetorial de P 3 (IR), vamos verificar se o elemento neutro da adi¸c˜ao pertence a S e se os axiomas de fechamento s˜ao satisfeitos. E f´´ acil ver que o polinˆomio identicamente nulo satisfaz as condi¸c˜oes p(−1) = 0 e p′(1) = 0.

Inicialmente, vamos verificar se o subconjunto S ´e fechado com rela¸c˜ao `a opera¸c˜ao de adi¸c˜ao de elementos, isto ´e, dados os elementos p(x), q(x) ∈ S temos que

(p + q)(−1) = p(−1) + q(−1) = 0 e (p + q)′(1) = p′(1) + q′(1) = 0

Logo, o elemento ( p(x) + q(x) ) ∈ S.

Finalmente, vamos verificar se o subconjunto S ´e fechado com rela¸c˜ao `a opera¸c˜ao de multiplica¸c˜ao por escalar, isto ´e, dados os elementos p(x) ∈ S e λ ∈ IR temos que

(λ p)(−1) = λ p(−1) = 0 e (λ p)′(1) = λ p′(1) = 0

Logo, o elemento λ p(x) ∈ S. Portanto, o subconjunto S ´e um subespa¸co de P 3 (IR).

Petronio Pulino 149

Exemplo 3.2.7 Considere o sistema linear homogˆeneo { −x + 2 y + z = 0 2 x − y + z = 0

Mostre que o conjunto solu¸c˜ao ´e um subespa¸co do IR^3.

Vamos obter a solu¸ { c˜ao do sistema linear utilizando o escalonamento

−x + 2 y + z = 0 2 x − y + z = 0

−x + 2 y + z = 0 3 y + 3 z = 0

Portanto, temos que x = −z e y = −z com z ∈ IR.

Assim, o conjunto solu¸c˜ao do sistema linear pode ser escrito da seguinte forma:

S = { (x, y, z) ∈ IR^3 / (x, y, z) = α(− 1 , − 1 , 1) , α ∈ IR }

onde v = (− 1 , − 1 , 1) ∈ IR^3 ´e denominada solu¸c˜ao b´asica. Agora podemos verificar facilmente que S ´e um subespa¸co do IR^3.

Por simplicidade, representamos o sistema linear homogˆeneo na sua forma matricial

AX =

[

] 

x y z

[

]

Assim, podemos definir o conjunto solu¸c˜ao da seguinte forma:

S = { (x, y, z) ∈ IR^3 / AX = 0 } onde X =

x y z

Temos uma representa¸c˜ao mais interessante com a qual podemos obter v´arios resultados sobre o conjunto solu¸c˜ao. Apresentamos o mesmo problema de uma maneira mais geral no Exemplo 3.2.10.

Exemplo 3.2.8 O subconjunto

S =

f ∈ C([0, 1]) /

0

f (x)dx ≥ 0

n˜ao ´e um subespa¸co do espa¸co vetorial C([0, 1]).

De fato, o conjunto S n˜ao ´e fechado em rela¸c˜ao a opera¸c˜ao de multiplica¸c˜ao por escalar. Tomando um elemento f ∈ S e um escalar λ ∈ IR negativo, temos que o elemento (λf ) ∈/ S. Note que o elemento neutro da opera¸c˜ao de adi¸c˜ao, f ≡ 0, pertence ao conjunto S e o conjunto S ´e fechado com rela¸c˜aoa opera¸c˜ao de adi¸c˜ao de elementos.

Petronio Pulino 151

Exemplo 3.2.10 Seja A ∈ IMn(IR). O subconjunto S do IRn^ definido da forma:

S = { x = (x 1 , · · · , xn) ∈ IRn^ / AX = 0IRn } onde X =

x 1 ... xn

que ´e o conjunto solu¸c˜ao do sistema linear homogˆeneo AX = (^0) IRn , ´e um subespa¸co vetorial de IRn.

Por simplicidade, vamos utilizar a seguinte representa¸c˜ao

X =

x 1 ...

xn

 e Y =

y 1 ...

yn

para os elementos x = (x 1 , · · · , xn) e y = (y 1 , · · · , yn). Assim, podemos fazer a representa¸c˜ao matricial do sistema linear homogˆeneo AX = 0IRn.

Podemos verificar facilmente que o elemento neutro da adi¸c˜ao 0IRn ∈ S, isto ´e, o elemento neutro (^0) IRn ´e a solu¸c˜ao trivial do sistema linear homogˆeneo.

Considerando x, y ∈ S e λ ∈ IR, temos que

A(X + Y ) = AX + AY = 0IRn^ =⇒ (x + y) ∈ S

e que

A(λ X) = λ AX = 0IRn =⇒ (λ x) ∈ S.

Portanto, o subconjunto S ´e um subespa¸co vetorial do IRn.

Exemplo 3.2.11 O conjunto S de todas as fun¸c˜oes representadas da forma

f (x) = aex^ + be−x^ ; a, b ∈ IR ,

para x ∈ IR, ´e um subespa¸co vetorial de F(IR).

De fato, o elemento neutro da opera¸c˜ao de adi¸c˜ao, f ≡ 0, pertence a S, bastando tomar a = b = 0. Al´em disso, o conjunto S ´e fechado com rela¸c˜ao `as opera¸c˜oes de adi¸c˜ao de elementos e de multiplica¸c˜ao por escalar.

152 Algebra Linear e suas Aplica¸´ c˜oes: Notas de Aula

Exerc´ıcios

Exerc´ıcio 3.6 Verifique se o subconjunto S de IMn(IR) definido por: S = { A ∈ IMn(IR) / A^2 = A } , o conjunto das matrizes idempotentes, ´e um subespa¸co vetorial de IMn(IR).

Exerc´ıcio 3.7 Mostre que o subconjunto de IM 2 (IR) dado por:

U =

{ [

x y z t

]

/ x − y − z = 0

´e um subespa¸co vetorial de IM 2 (IR).

Exerc´ıcio 3.8 Considere o espa¸co vetorial real V = { (x, y) / x, y ∈ IR }, com as opera¸c˜oes:

• adi¸c˜ao de elementos: (x 1 , y 1 ) ⊕ (x 2 , y 2 ) = (x 1 + x 2 + 5, y 1 + y 2 )
• multiplica¸c˜ao por escalar: α ¯ (x, y) = (α x + 5(α − 1), α y) , α ∈ IR. (a) Exiba o elemento neutro da opera¸c˜ao adi¸c˜ao.

(b) Exiba o elemento sim´etrico aditivo do elemento (x, y) ∈ V.

(c) Verifique se W = { (x, y) ∈ V / x = − 5 } ´e um subespa¸co vetorial de V.

Defini¸c˜ao 3.2.2 Dado um elemento c = (c 1 ,... , cn) ∈ IRn^ fixo, por´em arbitr´ario, e um escalar d ∈ IR. O subconjunto H ⊂ IRn^ definido por: H = { (x 1 ,... , xn) ∈ IRn^ / c 1 x 1 + · · · + cnxn = d }

´e denominado hiperplano.

Exerc´ıcio 3.9 Considere um hiperplano H contido em IRn. Mostre que H ´e um subespa¸co vetorial de IRn, no caso em que d = 0.

Exerc´ıcio 3.10 Considere o seguinte subconjunto S de C([a, b]) definido por: S = { f ∈ C([a, b]) / f ´e uma fun¸c˜ao crescente }. Verifique se S ´e um subespa¸co vetorial de C([a, b]).