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A modelagem matemática de um sistema de suspensão automotiva simplificada usando equações diferenciais lineares homogêneas. O texto inclui a formulação física do mecanismo, a formulação matemática, a solução do sistema e as referências utilizadas.
Tipologia: Slides
1 / 18
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XVI SEMAT e VI SEMEST
Gean Pablo Gonçalves de Ataide
Suspensão Automotiva
Soluções do Sistema
Gean Pablo Gonçalves de Ataide
Faculdade de Engenharia Mecânica UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA
Uberlândia, 13 de Setembro de 2016
XVI SEMAT e VI SEMEST
Gean Pablo Gonçalves de Ataide
Suspensão Automotiva
Soluções do Sistema
XVI SEMAT e VI SEMEST
Gean Pablo Gonçalves de Ataide
Suspensão Automotiva
Soluções do Sistema
Figura: Sistema de suspensão veicular
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Soluções do Sistema
No esquema está representada a fração da massa de um veículo sobre
uma das rodas por m 2 , a massa de uma roda com pneu por m 1 , a
constante elástica da mola por k 2 , a constante de amortecimento por b, e
a constante elástica do pneu por k 1.
Figura: Sistema de suspensão simplificado
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Gean Pablo Gonçalves de Ataide
Suspensão Automotiva
Soluções do Sistema
Sejam x 1 = u 1 , x 2 = u˙ 1 , w 1 = u 2 e w 2 = u˙ 2. Então x˙ 1 = x 2 e w˙ 1 = w 2.
Além disso, u¨ 1 = x˙ 2 e u¨ 2 = w˙ 2. Vamos considerar também c 1 =
1 m 1 e
c 2 = 1 m 2
. Substituindo as relações no sistema, temos
x^ ˙ 1 = x 2
x^ ˙ 2 = (−c 1 k 1 − c 1 k 2 )x 1 + (−c 1 b)x 2 + (c 1 k 2 )w 1 + (c 1 b)w 2
w^ ˙ 1 = w 2
w^ ˙ 2 = (c 2 k 2 )x 1 + (c 2 b)x 2 + (−c 2 k 2 )w 1 + (−c 2 b)w 2
Tal sistema pode ser representado matricialmente por
x^ ˙ 1
x^ ˙ 2
w^ ˙ 1
w^ ˙ 2
−c 1 k 1 − c 1 k 2 −c 1 b c 1 k 2 c 1 b
0 0 0 1
c 2 k 2 c 2 b −c 2 k 2 −c 2 b
x 1
x 2
w 1
w 2
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Soluções do Sistema
Podemos observar que a equação matricial anterior está escrita na forma
X
′ = AX. Sistemas dessa forma são chamados sistemas de equações
diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes de primeira
ordem e são facilmente resolvidos fazendo uso de conceitos de álgebra
linear. A saber, a solução geral de tal sistema consiste na combinação
linear de vetores cujas componentes satisfazem o sistema de equações
inicial.
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Suspensão Automotiva
Soluções do Sistema
Vamos apresentar a resolução de tal sistema para o caso particular em
que as constantes do problema assumem os seguintes valores:
m 1 = 50 kg m 2 = 500 kg
k 1 = 135000 N/m k 2 = 1000 N/m
b = 500 kg/s
Tais valores foram escolhidos arbitrariamente e representam apenas uma
aproximação (grosseira) dos valores reais.
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Gean Pablo Gonçalves de Ataide
Suspensão Automotiva
Soluções do Sistema
Para resolver o sistema, precisamos primeiramente encontrar os
autovalores associados a matriz A. Substituindo os valores constantes,
obtemos
Daí, o polinômio característico associado a A é
|A − rI| =
−r 1 0 0
− 2720 − 10 − r 20 10
0 0 −r 1
2 1 − 2 − 1 − r
= r
4
3
2
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Soluções do Sistema
Fazendo (A − r 1 I)ξ = 0, encontramos
ξ ( 1 ) =
0 , 494 − 1 , 322 i
− 8 , 034 + 67 , 164 i
− 84 , 488 − 44 , 732 i
; ξ ( 2 ) =
0 , 494 + 1 , 322 i
− 8 , 034 − 67 , 164 i
− 84 , 488 + 44 , 732 i
E fazendo (A − r 3 I)ξ = 0, determinamos
ξ
5 , 005 + 51 , 817 i
0 , 024 − 0 , 017 i
− 0 , 999 − 1 , 154 i
; ξ
5 , 005 − 51 , 817 i
0 , 024 + 0 , 017 i
− 0 , 999 + 1 , 154 i
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Assim, uma solução para o sistema, dada a partir de ξ
( 1 ) , é
x 1 (t) =
0 , 494 − 1 , 322 i
− 8 , 034 + 67 , 164 i
− 84 , 488 − 44 , 732 i
e
(− 0 , 494 + 1 , 322 i) t
Porém, queremos soluções reais para o problema, então vamos separar
as partes real e imaginária de tal solução
x 1 (t) =
0 , 494 − 1 , 322 i
− 8 , 034 + 67 , 164 i
− 84 , 488 − 44 , 732 i
e
− 0 , 494 t (cos( 1 , 322 t) + isen( 1 , 322t))
=e − 0 , 494 t
− cos 1, 322 t 0 , 494 cos 1, 322 t + 1 , 322 sen1, 322t − 8 , 734 cos 1, 322 t − 67 , 164 sen1, 322t − 84 , 488 cos 1, 322 t + 44 , 732 sen1, 322t
+
ie − 0 , 494 t
−sen1, 322t 0 , 494 cos 1, 322 t − 1 , 322 sen1, 322t − 8 , 734 cos 1, 322 t + 67 , 164 sen1, 322t − 84 , 488 cos 1, 322 t − 44 , 732 sen1, 322t
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Gean Pablo Gonçalves de Ataide
Suspensão Automotiva
Soluções do Sistema
Como cada solução complexa nos fornece duas soluções reais, já temos
quatro soluções reais linearmente independentes, consequentemente
possuímos a solução geral do sistema.
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Gean Pablo Gonçalves de Ataide
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Tal solução é escrita da seguinte forma
αe
− 0 , 494 t
− cos 1, 322 t
0 , 494 cos 1, 322 t + 1 , 322 sen1, 322t
− 8 , 734 cos 1, 322 t − 67 , 164 sen1, 322t
− 84 , 488 cos 1, 322 t + 44 , 732 sen1, 322t
+βe − 0 , 494 t
−sen1, 322t
0 , 494 cos 1, 322 t − 1 , 322 sen1, 322t
− 8 , 734 cos 1, 322 t + 67 , 164 sen1, 322t
− 84 , 488 cos 1, 322 t − 44 , 732 sen1, 322t
+γe
− 5 , 005 t
− cos 51, 817 t
5 , 005 cos 51, 817 t + 51 , 817 sen51, 817t
0 , 024 cos 51, 817 t − 0 , 017 sen51, 817t
− 0 , 999 cos 51, 817 t − 1 , 154 sen51, 817t
+δe
− 5 , 005 t
−sen51, 817t
5 , 005 cos 51, 817 t − 51 , 817 sen51, 817t
0 , 024 cos 51, 817 t − 0 , 017 sen51, 817t
− 0 , 999 cos 51, 817 t − 1 , 154 sen51, 817t
onde α, β, γ e δ são constantes arbitrárias.
