Baixe algebra linear lista e outras Exercícios em PDF para Geometria Analítica e Álgebra Linear, somente na Docsity!
Livro: Introdução à Álgebra Linear Autores: Abramo Hefez
Cecília de Souza Fernandez
Capítulo 3: Espaços Vetoriais
Sumário
1 Subespaços Vetoriais................. 58 1.1 Caracterização dos Subespaços Vetoriais...... 58 1.2 Operações com Subespaços............. 61 1.3 Subespaços Gerados................. 63 2 Dependência e Independência Linear........ 69 3 Bases e Dimensão................... 75 3.1 Bases......................... 75 3.2 Dimensão....................... 82 4 Espaço Linha de uma Matriz............ 86
58 CAPÍTULO 3. ESPAÇOS VETORIAIS
Neste capítulo, desenvolveremos o conceito de espaço vetorial que intro- duzimos no Capítulo 1. Intimamente associadas à noção de espaço vetorial estão as noções de subespaço vetorial, de base e de dimensão, conceitos esses fundamentais que introduziremos neste capítulo e que nos permitirão enten- der melhor a estrututa desses espaços. A estrutura de espaço vetorial está presente em espaços importantes da Análise Matemática e da Geometria Di- ferencial, como os espaços de Banach e os espaços de Hilbert, que possuem muitas aplicações na Física moderna, entre outros. Neste texto enfatizaremos os espaços vetoriais sobre o corpo R dos nú- meros reais. Apesar do fato de muitos dos resultados que obteremos serem válidos no contexto mais geral dos espaços vetoriais sobre corpos abitrários, nos restringiremos aos espaços vetoriais reais.
1 Subespaços Vetoriais
Na Subseção 1.3 do Capítulo 1, vimos que o conjunto solução Sh de um sistema de equações lineares homogêneo com n incógnitas forma um espaço vetorial contido no espaço Rn. Esta é uma situação típica da noção de subespaço de um espaço vetorial, que de niremos a seguir com maior generalidade.
1.1 Caracterização dos Subespaços Vetoriais
Sejam V um espaço vetorial e W um subconjunto não vazio de V. Dize- mos que W é um subespaço vetorial de V , ou simplesmente um subespaço de V , se W , com as operações de adição em V e de multiplicação de vetores de V por escalares, é um espaço vetorial. Para mostrar que um subconjunto não vazio W de V é um subespaço de V é preciso inicialmente veri car se as operações de adição de vetores e de multiplicação de vetores por escalares em V estão de nidas em W. Em seguida, seria necessário veri car as propriedades A1A4 e ME1ME4 da de nição de espaço vetorial que demos na Subseção 1.2 do Capítulo 1. No
60 CAPÍTULO 3. ESPAÇOS VETORIAIS
A demonstração do resultado anterior é deixada para o leitor (veja Pro- blema 1.1). Vejamos agora alguns exemplos de subespaços vetoriais.
Exemplo 1. Seja V um espaço vetorial. Então o conjunto { 0 }, constituído apenas do vetor nulo, e também todo o espaço V são subespaços de V. O conjunto { 0 } é chamado de espaço vetorial nulo.
Exemplo 2. Seja V = Rn^ e sejam i 1 , i 2 ,... , ir números naturais tais que 0 < i 1 < i 2 < · · · < ir ≤ n. O conjunto
W = {(x 1 , x 2 ,... , xn) ; xi 1 = xi 2 = · · · = xir = 0}
é um subespaço vetorial de Rn. Em particular, W 1 = {(0, y, z) ; y, z ∈ R} e W 2 = {(0, y, 0) ; y ∈ R} são subespaços vetoriais de R^3.
Exemplo 3. Na Subseção 1.3 do Capítulo 1, vimos que o conjunto solução Sh de um sistema de equações lineares homogêneas em n incógnitas forma um subespaço vetorial de Rn. Os subespaços do Exemplo 2 podem ser vistos sob esta ótica, pois o subespaço W , do referido exemplo, pode ser descrito como o espaço solução do sistema de equações lineares homogêneas
xi 1 = xi 2 = · · · = xir = 0.
Exemplo 4. No espaço vetorial das matrizes M(n, n), os conjuntos das ma- trizes triangulares superiores, triangulares inferiores e das matrizes diagonais, são subespaços vetoriais.
Exemplo 5. No espaço vetorial S das sequências reais, as recorrências line- ares do tipo R(a, b) (cf. Exemplo 2, Seção 1, Capítulo 1) formam subespaços vetoriais. Mais geralmente, o conjunto R(a 1 , a 2 ,... , ar) das sequências que são soluções da recorrência linear
un = a 1 un− 1 + a 2 un− 2 + · · · + arun−r
é um subespaço vetorial de S (veri que).
1. SUBESPAÇOS VETORIAIS 61
1.2 Operações com Subespaços
Como, antes de mais nada, espaços vetoriais são conjuntos, é bastante natural perguntar-se se a união e a interseção de conjuntos preservam a propriedade de espaço vetorial. Dados U = {(x, y) ∈ R^2 ; x + y = 0} e W = {(x, y) ∈ R^2 ; x − y = 0}, subespaços de R^2 , o conjunto U ∪ W não é um subespaço de R^2. De fato, temos que u = (1, 1) ∈ U ∪ W e w = (1, −1) ∈ U ∪ W , mas u + w = (2, 0) ∈/ U ∪ W.
Este exemplo mostra que a união de dois subespaços de um espaço vetorial V não é necessariamente um subespaço de V. A próxima proposição mostra que a interseção de subespaços é sempre um subespaço.
Proposição 3.1.3. A interseção de dois subespaços de um espaço vetorial V é um subespaço de V. Demonstração Sejam U e W subespaços de V. Para veri carmos que U ∩ W é também um subespaço de V , vamos fazer uso do Corolário 3.1. Para isto, primeiramente note que U ∩ W é um subconjunto não vazio de V , pois 0 ∈ U e 0 ∈ W , já que ambos U e W são subespaços de V. Agora, tomemos a ∈ R e u, v ∈ U ∩ W. Como u, v ∈ U e u, v ∈ W , segue do Corolário 3.1.2 que u + av ∈ U e u + av ∈ W , ou seja, u + av ∈ U ∩ W. Novamente, pelo Corolário 3.1.2, segue que U ∩ W é um subespaço de V .
Observemos que o principal problema quando consideramos a união de subespaços é que se tomamos um vetor em cada subespaço, a soma deles pode não pertencer à união. Seria, então, natural considerarmos o conjunto soma de nido a seguir. Dados U e W subespaços de um espaço vetorial V , de nimos a soma de U e W , denotada por U + W , como o conjunto
U + W = {u + w ; u ∈ U e w ∈ W }.
Com isto, quando somamos um elemento de um subespaço com um elemento do outro, automaticamente, a soma destes elementos está na soma dos sub- espaços.
1. SUBESPAÇOS VETORIAIS 63
Teorema 3.1.5. Sejam U e W subespaços de um espaço vetorial V. Temos que V = U ⊕ W se, e somente se, todo vetor v em V se escreve de modo único como v = u + w, onde u ∈ U e w ∈ W.
Demonstração Suponhamos V = U ⊕ W. Tomemos v ∈ V. Como V = U + W , pela de nição de soma de subespaços, existem u ∈ U e w ∈ W tais que
v = u + w. Vejamos que a decomposição acima é única no sentido de que se v = u′^ + w′,
com u′^ ∈ U e w′^ ∈ W , então u = u′^ e w = w′. Ora, como v = u + w e v = u′^ + w′, então
u − u′^ = −(w − w′). Como o lado esquerdo pertence a U e o lado direito a W , da igualdade anterior decorre que u − u′^ ∈ U ∩ W e w − w′^ ∈ U ∩ W. Como U ∩ W = { 0 }, segue então que u = u′^ e w = w′. Reciprocamente, suponhamos que todo vetor de V se escreve de modo único como a soma de um vetor de U e de um vetor de W. Claramente, então, V = U + W. Se U ∩ W 6 = { 0 }, existiria um vetor não nulo v em U ∩ W. Como v ∈ W e W é um subespaço, então −v ∈ W também. Consequentemente, teríamos 0 = 0 + 0, com 0 ∈ U e 0 ∈ W , e 0 = v + (−v), com v ∈ U e −v ∈ W. Como v 6 = 0, teríamos duas escritas distintas para um mesmo vetor de V. Como isto não ocorre, temos de fato que U ∩ W = { 0 }.
1.3 Subespaços Gerados
Seja V um espaço vetorial e sejam v 1 , v 2 ,... , vr vetores de V. Diremos que um vetor v de V é uma combinação linear de v 1 , v 2 ,... , vr se existirem números reais a 1 , a 2 ,... , ar tais que
v = a 1 v 1 + a 2 v 2 + · · · + arvr. (1)
64 CAPÍTULO 3. ESPAÇOS VETORIAIS
Por exemplo, o vetor (1, 6 , 0) em R^3 é uma combinação linear dos vetores v 1 = (1, 2 , 0) e v 2 = (− 1 , 2 , 0), já que v = 2v 1 + 1v 2. De fato, a equação
(1, 6 , 0) = a 1 (1, 2 , 0) + a 2 (− 1 , 2 , 0)
equivale ao sistema de equações lineares { a 1 − a 2 = 1 2 a 1 + 2a 2 = 6 ,
cuja solução é única e dada por a 1 = 2 e a 2 = 1. Já o vetor w = (2, − 2 , 6) não é uma combinação linear de v 1 e v 2 , pois não existem números reais a 1 e a 2 tais que w = a 1 v 1 + a 2 v 2. Com efeito, a equação
(2, − 2 , 6) = a 1 (1, 2 , 0) + a 2 (− 1 , 2 , 0)
equivale ao sistema de equações lineares
a 1 − a 2 = 2, 2 a 1 + 2a 2 = − 2 , 0 a 1 + 0a 2 = 6 ,
mostrando que o sistema é impossível. Se r = 1 em (1), então v = a 1 v 1 , ou seja, v é uma combinação linear de um único vetor v 1 se for um múltiplo por escalar de v 1. Sejam v 1 , v 2 ,... , vr vetores de um espaço vetorial V. Consideremos o conjunto W de todas as combinações lineares de v 1 , v 2 ,... , vr. O resultado a seguir mostra que W é um subespaço de V. Este subespaço é chamado o subespaço gerado por v 1 , v 2 ,... , vr e dizemos que v 1 , v 2 ,... , vr geram W ou que {v 1 , v 2 ,... , vr} é um conjunto gerador de W. Para indicarmos que W é o espaço gerado por v 1 , v 2 ,... , vr , escrevemos
W = G(v 1 , v 2 ,... , vr).
Por exemplo, G((1, 0 , 0), (0, 1 , 0), (0, 0 , 1)) = R^3.
Proposição 3.1.6. Seja W = G(v 1 , v 2 ,... , vr), onde v 1 , v 2 ,... , vr são veto- res de um espaço vetorial V. Valem as seguintes a rmações:
66 CAPÍTULO 3. ESPAÇOS VETORIAIS
Figura 1
Exemplo 7. Vamos encontrar o subespaço de R^3 gerado pelos vetores v 1 = (1, − 2 , −1) e v 2 = (2, 1 , 1). Seja W = G(v 1 , v 2 ). Tomemos v = (x, y, z) ∈ R^3. Temos que v ∈ W se, e somente se, existem números reais a 1 e a 2 tais que
v = a 1 v 1 + a 2 v 2 ,
ou, equivalentemente, se, e somente se, o sistema linear
a 1 + 2a 2 = x − 2 a 1 + a 2 = y −a 1 + a 2 = z
tem solução. A matriz ampliada do sistema (2) é equivalente à matriz
1 2 x 0 1 (x + z)/ 3 0 0 (x + 3y − 5 z)/ 3
Portanto, (2) tem solução se, e somente se, x + 3y − 5 z = 0. Assim, W = {(x, y, z) ∈ R^3 ; x + 3y − 5 z = 0}.
Para gerarmos um mesmo espaço, podemos usar conjuntos geradores dis- tintos. Por exemplo, se considerarmos um vetor não nulo w qualquer em W no Exemplo 6 temos que G(v) = G(w). A seguinte proposição, cuja de- monstração é deixada como exercício ao leitor (ver Problema 1.14), nos dá
1. SUBESPAÇOS VETORIAIS 67
uma condição necessária e su ciente para que conjuntos distintos de vetores gerem um mesmo espaço.
Proposição 3.1.7. Sejam α = {v 1 , v 2 ,... , vr} e β = {w 1 , w 2 ,... , wm} dois conjuntos de vetores em um espaço vetorial V. As seguintes a rmações são equivalentes: (a) G(v 1 , v 2 ,... , vr) = G(w 1 , w 2 ,... , wm); (b) cada vetor em α é uma combinação linear dos vetores de β e cada vetor em β é uma combinação linear dos vetores de α.
Seja W um subespaço de um espaço vetorial V. Dar um conjunto de geradores w 1 ,... , wr de W é o mesmo que dar uma parametrização para o espaço W. De fato, considerando a aplicação
ϕ : Rr^ → V (a 1 ,... , ar) 7 → a 1 w 1 + · · · + arwr
temos que W coincide com a imagem de ϕ.
Problemas
1.1* Demonstre o Corolário 3.1.2.
1.2 Veri que, em cada caso, se o conjunto W é um subespaço vetorial de R^2 : (a) W = {(x, y) ; x + y = 0}; (b) W = {(x, y) ; x + y = 1}; (c) W = {(x, y) ; x^2 = y}; (d) W = {(x, y) ; −x + 3y = 0}.
1.3 Veri que, em cada caso, se o conjunto W é um subespaço vetorial de R^3 : (a) W = {(x, y, z) ; x = 0}; (b) W = {(x, y, z) ; x + y + z ≥ 0 }; (c) W = {(x, y, z) ; z = 3x − 2 y}; (d) W = {(x, 2 x, x) ; x ∈ R}; (e) W = {(4x, y, y − x) ; x, y ∈ R}.
2. DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR 69
1.10 Sejam U 1 , U 2 , W 1 e W 2 subespaços de um espaço vetorial V de modo que V = U 1 ⊕ W 1 = U 2 ⊕ W 2. Se U 1 ⊂ U 2 e W 1 ⊂ W 2 , prove que U 1 = U 2 e W 1 = W 2.
1.11* Determine uma condição que a, b e c devem satisfazer de modo que (a, b, c) seja uma combinação linear de u = (2, − 6 , 4) e v = (2, − 1 , 1).
1.12* Considere o conjunto α = {(− 1 , 3 , 1), (1, − 2 , 4)} e determine: (a) o espaço gerado por α; (b) o valor de k ∈ R para que v = (5, k, 11) pertença ao espaço gerado por α.
1.13 Encontre um conjunto de geradores para cada espaço abaixo: (a) V = {(x, y, z) ∈ R^3 ; x − 2 y + 3z = 0}; (b) V = {(x, y, z, t) ∈ R^4 ; x − y = 0 e x + t = 0};
(c) V = {p(x) = a + bx + cx^2 ∈ R[x] 2 ; a − b 2 = c};
(d) V =
{ [
a b c d
]
∈ M(2, 2) ; a + c = d e b = 0
1.14 Prove a Proposição 3.1.7.
1.15 Quais dos seguintes vetores
(a) (0, 2 , 2 , 2), (b) (1, 4 , 5 , 2), (c) (0, 0 , 0 , 0), (d) (0, 3 , 1 , 5)
são combinações lineares de u = (0, 0 , 2 , −2) e v = (0, 1 , 3 , −1)?
1.16 Expresse os seguintes polinômios
(a) 2 + 5x, (b) −x + 2x^2 , (c) 3 + 3x + 5x^2
como combinação linear de
p 1 (x) = 2 + x + 4x^2 , p 2 (x) = 1 − x + 3x^2 , p 3 (x) = 3 + 2x + 5x^2.
2 Dependência e Independência Linear
Vimos na seção anterior, que um conjunto nito de vetores α gera um dado espaço vetorial V se cada vetor em V pode ser escrito como uma com- binação linear dos vetores de α. Em geral, pode haver mais de uma maneira
70 CAPÍTULO 3. ESPAÇOS VETORIAIS
de expressar um vetor em V como uma combinação linear de vetores de um conjunto gerador. Por exemplo, R^3 = G(v 1 , v 2 , v 3 , v 4 ), onde v 1 = (1, 1 , 1), v 2 = (1, 1 , 0), v 3 = (0, 1 , 1) e v 4 = (1, 0 , 1). Note que
(4, 2 , 1) = 1v 1 + 2v 2 − 1 v 3 + 1v 4
e também que
(4, 2 , 1) = − 1 v 1 + 2v 2 + 0v 3 + 2v 4.
Observamos nesse ponto que é possível trabalhar com conjuntos arbitrá- rios (in nitos) de geradores, mas não o faremos aqui, pois necessitaríamos introduzir novas ferramentas mais so sticadas, como o Lema de Zorn, ou o Axioma da Escolha (cf. [1]).
Nesta seção, estudaremos condições sob as quais cada vetor de V pode ser escrito de uma única maneira como combinação linear dos elementos de um conjunto gerador. Na próxima seção veremos que conjuntos geradores com esta propriedade desempenham um papel fundamental no estudo dos espaços vetoriais. Sejam v 1 , v 2 ,... , vr vetores em um espaço vetorial V. Dizemos que os vetores v 1 , v 2 ,... , vr são linearmente independentes, ou simplesmente inde- pendentes, se a equação
a 1 v 1 + a 2 v 2 + · · · + arvr = 0
é satisfeita somente quando a 1 = a 2 = · · · = ar = 0. Caso exista algum ai 6 = 0, dizemos que os vetores v 1 , v 2 ,... , vr são linearmente dependentes, ou simplesmente dependentes. O conjunto {v 1 , v 2 ,... , vr} é dito ser independente ou dependente se os vetores v 1 , v 2 ,... , vr são independentes ou dependentes, respectivamente. Observemos que se um dos vetores v 1 , v 2 ,... , vr é o vetor nulo, digamos v 1 = 0, então os vetores são dependentes, pois
1 v 1 + 0v 2 + · · · + 0vr = 1 · 0 + 0 + · · · + 0 = 0
72 CAPÍTULO 3. ESPAÇOS VETORIAIS
é invertível (cf. Corolário 2.2.7). Como a matriz é equivalente por linhas à matriz (justi que) (^)
concluímos que v 1 , v 2 e v 3 são linearmente dependentes.
A solução do exemplo anterior motiva o próximo resultado, que nos ofe- rece um método para veri car se n vetores de Rn^ são linearmente indepen- dentes ou dependentes. A demonstração é deixada ao cargo do leitor (veja Problema 2.8).
Proposição 3.2.1. Sejam v 1 , v 2 ,... , vn vetores em Rn, onde, para cada i, com 1 ≤ i ≤ n, temos vi=(ai 1 , ai 2 ,... , ain). Seja A = [aij ]. Temos que {v 1 , v 2 ,... , vn} é linearmente independente se, e somente se, A é invertível.
E caso tenhamos n+1 vetores em Rn? O próximo teorema mostra que um conjunto linearmente independente em Rn^ pode conter no máximo n vetores.
Teorema 3.2.2. Sejam v 1 , v 2 ,... , vr vetores em Rn. Se r > n, então os vetores v 1 , v 2 ,... , vr são linearmente dependentes. Demonstração Suponhamos que, para cada 1 ≤ i ≤ r, vi = (ai 1 ,... , ain). Consideremos a equação
k 1 v 1 + k 2 v 2 + · · · + krvr = 0.
Esta equação é equivalente ao sistema linear homogêneo
a 11 k 1 + a 21 k 2 + · · · + ar 1 kr = 0 a 12 k 1 + a 22 k 2 + · · · + ar 2 kr = 0 ... ... ... ...
a 1 nk 1 + a 2 nk 2 + · · · + arnkr = 0.
O sistema dado em (2) é um sistema linear homogêneo de n equações nas r incógnitas k 1 , k 2 ,... , kr. Como r > n, segue do Corolário 2.2.7 que o sistema tem soluções não triviais. Isto mostra que v 1 , v 2 ,... , vr são dependentes.
2. DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR 73
O termo linearmente dependente" sugere que os vetores de alguma ma- neira dependem uns dos outros. O próximo resultado mostra que isto real- mente ocorre.
Teorema 3.2.3. Um conjunto nito α com dois ou mais vetores de um espaço vetorial V é linearmente dependente se, e somente se, pelo menos um dos vetores de α pode ser escrito como uma combinação linear dos outros vetores. Demonstração Seja α = {v 1 , v 2 ,... , vr} um subconjunto de um espaço vetorial V. Se α é linearmente dependente, então existem números reais a 1 , a 2 ,... , ar , não todos nulos, tais que a 1 v 1 + a 2 v 2 + · · · + arvr = 0. Supo- nhamos que aj 6 = 0. Então
vj = −a^1 aj
v 1 − · · · − aj−^1 aj
vj− 1 − aj+ aj
vj+1 − · · · − ar aj
vr ,
mostrando que vj é uma combinação linear dos demais vetores de α. Supo- nhamos agora que α tem a propriedade de que um de seus vetores, digamos vi , pode ser escrito como uma combinação linear dos outros vetores de α. Ou seja, que existem números reais b 1 ,... , bi− 1 , bi+1,... , br tais que
vi = b 1 v 1 + · · · + bi− 1 vi− 1 + bi+1vi+1 + · · · + brvr.
A equação anterior equivale a
b 1 v 1 + · · · + bi− 1 vi− 1 − 1 vi + bi+1vi+1 + · · · + brvr = 0. (3)
Como o coe ciente de vi na equação (3) não é 0 , segue que α é linearmente dependente.
Do resultado acima, segue imediatamente que um conjunto nito α com dois ou mais vetores de um espaço vetorial V é linearmente independente se, e somente se, nenhum dos vetores de α pode ser escrito como uma combinação linear dos outros vetores. Por exemplo, nenhum dos vetores dados no Exemplo 1 pode ser escrito como uma combinação linear dos demais. Já, no Exemplo 2, observemos que
v 3 = 115 v 1 + 112 v 2.
3. BASES E DIMENSÃO 75
2.9 Mostre que se {v 1 , v 2 , v 3 } é um conjunto linearmente independente de vetores em um espaço vetorial V e se v 4 ∈/ G(v 1 , v 2 , v 3 ), então {v 1 , v 2 , v 3 , v 4 } é linearmente independente.
2.10 Dados os elementos v 1 ,... , vr de um espaço vetorial V , mostre que esses são linearmente independentes se, e somente se, é injetiva a seguinte aplicação: ϕ : Rr^ → V (a 1 ,... , ar) 7 → a 1 v 1 + · · · + arvr.
3 Bases e Dimensão
Nesta seção introduziremos os dois conceitos fundamentais no contexto dos espaços vetoriais: base e dimensão. Esses dois conceitos esclarecem a estrutura desses espaços e ao mesmo tempo simpli cam as demonstrações de vários resultados sobre eles.
3.1 Bases
Seja α = {v 1 , v 2 ,... , vn} um conjunto ordenado de vetores de um espaço vetorial V. Dizemos que α é uma base de V se as seguintes condições são veri cadas: (i) α é linearmente independente; (ii) V = G(α). Vimos no Exemplo 1, da seção anterior, que o conjunto α = {e 1 , e 2 , e 3 } é linearmente independente. Este conjunto também gera R^3 , pois qualquer vetor v = (a 1 , a 2 , a 3 ) em R^3 pode ser escrito como v = a 1 e 1 + a 2 e 2 + a 3 e 3. Assim, α, com a ordenação dada pelos índices, é uma base de R^3 , chamada base canônica de R^3. Este é um caso particular do próximo exemplo.
Exemplo 1. De nimos o símbolo de Kronecker 1 , δij , para (i, j) ∈ N^2 , como
(^1) Leopold Kronecker (Alemanha, 1823 1891) foi um dos grandes matemáticos do século XIX. Além de sua grande e profunda contribuição à Matemática, cou famoso
76 CAPÍTULO 3. ESPAÇOS VETORIAIS
δij =
1 , se i = j 0 , se i 6 = j. Seja n ∈ N \ { 0 }. Para cada 1 ≤ i ≤ n, denotemos por ei o vetor
(δi 1 , δi 2 ,... , δij ,... , δin) = (0,... , 0 , 1 , 0 ,... 0)
em Rn, onde a componente 1 encontra-se na i-ésima posição. O conjunto α = {e 1 , e 2 ,... , en} é linearmente independente, pois a equação
k 1 e 1 + k 2 e 2 + · · · + knen = 0
é satisfeita somente se k 1 = k 2 = · · · = kn = 0. Além disto, este conjunto também gera Rn, pois qualquer vetor v = (a 1 , a 2 ,... , an) em Rn^ pode ser escrito como v = a 1 e 1 + a 2 e 2 + · · · + anen.
Assim, α, com a ordenação dada pelo índices dos e′ is é uma base de Rn, chamada base canônica de Rn.
O próximo exemplo apresenta a base canônica de M(m, n).
Exemplo 2. Sejam
M 1 =
[
]
, M 2 =
[
]
, M 3 =
[
]
e M 4 =
[
]
O conjunto α = {M 1 , M 2 , M 3 , M 4 } é uma base de M(2, 2). Com efeito, para vermos que α gera M(2, 2), observemos que um vetor qualquer
M =
[
a b c d
]
em M(2, 2) pode ser escrito como
M = aM 1 + bM 2 + cM 3 + dM 4.
pela polêmica envolvendo os trabalhos de Cantor, o criador da Teoria dos Conjuntos, que Kronecker não considerava Matemática.
