Projeto Institucional
Edital nº 015/2010/CAPES/DED
Fomento ao uso de tecnologias de comunição e informação nos cursos de graduação
Álgebra Linear
Módulo 1
Matrizes e Sistemas de Equações Lineares
Espaços Vetoriais
Jossana Ferreira
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Álgebra Linear Módulo 1 - EAD UFRN, Notas de estudo de Engenharia Química
Matrizes, Sistemas Lineares de Eq. Lineares e Espaços Vetoriais
Tipologia: Notas de estudo
2016
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Compartilhado em 17/08/2016
Sidney.Miranda 🇧🇷
4.8
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Projeto Institucional Edital nº 015/2010/CAPES/DED Fomento ao uso de tecnologias de comunição e informação nos cursos de graduação
Álgebra Linear
Módulo 1
Matrizes e Sistemas de Equações Lineares
Espaços Vetoriais
Jossana Ferreira
Todos os direitos reservados. Nenhuma parte deste material pode ser utilizada ou reproduzida sem a autorização expressa da Universidade Federal do Rio Grande do Norte (UFRN).
Catalogação da publicação na fonte. Bibliotecária Verônica Pinheiro da Silva.
Governo Federal Presidenta da República Dilma Vana Rousseff Vice-Presidente da República Michel Miguel Elias Temer Lulia Ministro da Educação Fernando Haddad
Reitora Ângela Maria Paiva Cruz Vice-Reitora Maria de Fátima Freire Melo Ximenes Secretária de Educação a Distância Maria Carmem Freire Diógenes Rêgo Secretária Adjunta de Educação a Distância Eugênia Maria Dantas Pró-Reitoria de Graduação Alexandre Augusto de Lara Menezes
Comitê Gestor Presidente Alexandre Augusto de Lara Menezes Coordenação geral Apuena Vieira Gomes Coordenadores Apuena Vieira Gomes/CE Adir Luiz Ferreira/CE Gleydson de Azevedo Ferreira Lima/SINFO Marcos Aurélio Felipe/CE Maria Carmozi de Souza Gomes/PROGRAD Rex Antonio da Costa de Medeiros/ECT
Coordenador de Produção de Materiais Didáticos Marcos Aurélio Felipe Projeto Gráfico Ivana Lima Revisores de Estrutura e Linguagem Eugenio Tavares Borges Janio Gustavo Barbosa Jeremias Alves de Araújo Kaline Sampaio de Araújo Luciane Almeida Mascarenhas de Andrade Thalyta Mabel Nobre Barbosa Revisoras de Língua Portuguesa Cristinara Ferreira dos Santos Emanuelle Pereira de Lima Diniz Janaina Tomaz Capistrano
Revisora das Normas da ABNT Verônica Pinheiro da Silva Revisora Técnica Rosilene Alves de Paiva Ilustradores Adauto Harley Anderson Gomes do Nascimento Carolina Costa de Oliveira Dickson de Oliveira Tavares Leonardo dos Santos Feitoza Roberto Luiz Batista de Lima Rommel Figueiredo
Diagramadores Ana Paula Resende Carolina Aires Mayer Davi Jose di Giacomo Koshiyama Elizabeth da Silva Ferreira Ivana Lima José Antonio Bezerra Junior Luciana Melo de Lacerda Rafael Marques Garcia
Secretaria de Educação a Distância (SEDIS)
FICHA TÉCNICA
Ferreira, Jossana. Álgebra Linear: módulo I / Jossana Ferreira. – Natal: EDUFRN, 2011. 204 p.: il. ISBN 978-85-7273-888-
Conteúdo: Aula Revisão: Matemática Básica. Aula 1 – Matrizes: tipos, operações e propriedades. Aula 2 – Matrizes: operações e matrizes elementares. Aula 3 – Determinantes: definição, cálculo, propriedades e cofatores. Aula 4 – Inversão de matrizes: definição, propriedades e métodos. Aula 5 – Sistema de equações lineares: definição e métodos de resolução. Aula 6 – Definição de espaços vetoriais. Aula 7 – Subespaços vetoriais e dependência linear. Aula 8 – Base e dimensão. Aula 9 – Produto interno. Aula 10 – Processo de ortogonalização de Gram-Schmidt.
- Matemática. 2. Álgebra Linear. 3. Matrizes. 4. Equações. I. Título. CDU 51 F383a
Natal – RN Dezembro/ 2011
Módulo 1
Matrizes e Sistemas de Equações Lineares
Espaços Vetoriais
Jossana Ferreira
Álgebra Linear
Sumário
- Apresentação Institucional
- Aula 0 Aula Revisão: Matemática Básica
- Aula 1 Matrizes: tipos, operações e propriedades
- Aula 2 Matrizes: operações e matrizes elementares
- Aula 3 Determinantes: definição, cálculo, propriedades e cofatores
- Aula 4 Inversão de matrizes: definição, propriedades e métodos
- Aula 5 Sistema de equações lineares: definição e métodos de resolução
- Aula 6 Definição de espaços vetoriais
- Aula 7 Subespaços vetoriais e dependência linear
- Aula 8 Base e dimensão
- Aula 9 Produto Interno
- Aula 10 Processo de ortogonalização de Gram-Schmidt
- Aula 11 Matrizes ortogonais e mudança de base
Aula Revisão:
Matemática Básica
Aula
Aula 00 Álgebra Linear 9
Apresentação
Antes de iniciar o estudo da Álgebra Linear veremos alguns pontos importantes para a sua compreensão. Esses pontos são assuntos que, em sua maioria, são vistos no Ensino Médio e são esquecidos ou não foram praticados suficientemente. É cada vez mais comum a deficiência dos alunos na Matemática Básica, fato que atrapalha o bom andamento do curso, então esse material inicial visa antecipar dúvidas que surgirão ao longo do componente Álgebra Linear e que certamente atrapalhariam o entendimento do novo conteúdo.
Objetivos
Revisar os assuntos básicos da Matemática: números re- ais, conjuntos, operações com frações, polinômios, vetores no plano e somatório.
Esclarecer possíveis dúvidas relativas ao assunto básico da Matemática utilizado no componente Álgebra Linear.
12 Aula 00^ Álgebra Linear
Conjuntos
Um conjunto é uma coleção qualquer de elementos.
Exemplo 1
O conjunto dos países do Mercosul = {Brasil, Argentina, Uruguai, Paraguai}. O conjunto dos números primos = {2,3,5,7,11,13, ...}.
Simbologia
∈ Pertence ∅ Vazio ∉ Não pertence ∪ União ⊂ Está contido ∩ Intersecção ⊄ Não está contido
Exemplo 2
Analisando a Figura 1 podemos afirmar que: 2 ∈ Q N ⊂ Q 2 ∈ N Z ⊄ I 2 ∈ Z Q ∪ I = R 2 ∈ R Z ∪ N = Z 2 ∉ I Z ∩ I = ∅ 3 ∉ I Z ∩ N = N
Monte uma tabela com exemplos de números que pertençam, não perten- çam, estejam contidos e não estejam contidos nos conjuntos abaixo:
a) Reais
b) Inteiros negativos
c) Cidades do RN
d) União de países que falam a língua portuguesa
e) Praias brasileiras
Aula 00 Álgebra Linear 13
Operações com frações
Quando desejamos dividir uma quantia em partes iguais, recorremos às frações.
Exemplo 3
Quando dividimos uma pizza por quatro pessoas, sabemos que cada pessoa fica com da pizza. Se temos 5 pizzas para dividir pelas mesmas 4 pessoas, então cada um fica com das pizzas.
Equivalência de frações
São frações que representam a mesma parte do todo.
Exemplo 4
Considerando os conjuntos de frações: ou
Para obter frações equivalentes divide-se o numerador e o denominador pelo mesmo número:
ou
Operações básicas
Adição e subtração
Para somar duas ou mais frações, devemos encontrar o MMC (mínimo múltiplo comum) dos denominadores.
Exemplo 5
Considerando a soma das frações:
Tem-se que o mínimo múltiplo comum de 5 , 4 e 2 é 20 , portanto o denominador do resultado da soma será 20 :
Para encontrar o numerador, dividimos o MMC pelo denominador de cada fração, mul- tiplicamos pelo respectivo numerador e efetuamos a soma das parcelas:
1 (^4 ) 4
2 ,^
4 ,^
8 ,^
4 ,^
16 ,^
32 ,^
2 =^
Aula 00 Álgebra Linear 15
Operações com polinômios
Adição e subtração
A soma e a subtração de polinômio são feitas agrupando-se os termos de mesmo grau.
Polinômios
Um polinômio é uma expressão que pode ser expressa na forma:
Onde x é a incógnita e os ai são constantes (valores reais). O grau do polinômio é definido pelo maior expoente de x.
Valor numérico do polinômio
Todo polinômio pode ser associado a uma função polinomial, e como função tem seu valor numérico associado.
Exemplo 8
Valor numérico polinômio de grau 3
Sendo p(x) = x^4 – 2 x^3 +3x – 10 encontre:
a) P( 3 ) b) P( 0 ) c) P(– 2 )
an xn^ + an− 1 xn−^1 +... + a 2 x^2 + a 1 x + a 0
p(x) 4 x + 2x + x + 5^ polinômio de p(2) = 4. 23 + 2. 22 + 2 + 5 = 47 (x = 2) p(0) = 4.0 + 2.0 + 0 + 5 = 5 (x = 0)
16 Aula 00^ Álgebra Linear
Multiplicação
Para a multiplicação, os polinômios devem ser colocados entre parênteses e multiplicados termo a termo.
Exemplo 10
Multiplicação de polinômios
Divisão
A divisão de polinômios apenas pode ser realizada quando o dividendo é maior ou igual ao grau do divisor.
Exemplo 11
Considerando
p(x) = x^3 + 3x^2 + 2x q(x) = 5x^4 − 3 x^3 + 5x^2 − 12 x + 3 p(x) + q(x) = x^4 (0 + 5) + x^3 (1 − 3) + x^2 (3 + 5) + x(2 − 12) + (0 + 3) p(x) + q(x) = 5x^4 − 2 x^3 + 8x^2 − 10 x + 3
Exemplo 9
Soma de polinômios
p(x) = x^3 + 3x^2 + 2x q(x) = 5x^4 − 3 x^3 + 5x^2 − 12 x + 3 p(x).q(x) = (x^3 + 3x^2 + 2x).(5x^4 − 3 x^3 + 5x^2 − 12 x + 3) p(x).q(x) = x^3 (5x^4 − 3 x^3 + 5x^2 − 12 x + 3) + 3x^2 (5x^4 − 3 x^3 + 5x^2 − 12 x + 3) +
- 2x(5x^4 − 3 x^3 + 5x^2 − 12 x + 3) p(x).q(x) = 5x^7 − 3 x^6 + 5x^5 − 12 x^4 + 3x^3 +
- 15x^6 − 9 x^5 + 15x^4 − 36 x^3 + 9x^2 +
- 10x^5 − 6 x^4 + 10x^3 − 24 x^2 + 6x p(x).q(x) = 5x^7 + 12x^6 + 6x^5 − 3 x^4 − 23 x^3 − 15 x^2 + 6x
p(x) = x^3 + 3x^2 + 2x q(x) = 5x^4 − 3 x^3 + 5x^2 − 12 x + 3