Projeto Institucional
Edital nº 015/2010/CAPES/DED
Fomento ao uso de tecnologias de comunição e informação nos cursos de graduação
Álgebra Linear
Módulo 2
Autovalores e autovetores
Transformações lineares
Formas quádricas
Jossana Ferreira
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Álgebra Linear Módulo 2 - EAD UFRN, Notas de estudo de Engenharia Química
Autovalores, Autovetores, Transformações Lineares e Formas Quádricas
Tipologia: Notas de estudo
2016
1 / 162
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Projeto Institucional Edital nº 015/2010/CAPES/DED Fomento ao uso de tecnologias de comunição e informação nos cursos de graduação
Álgebra Linear
Módulo 2
Autovalores e autovetores
Transformações lineares
Formas quádricas
Jossana Ferreira
Catalogação da publicação na fonte. Bibliotecária Verônica Pinheiro da Silva.
© Copyright 2005. Todos os direitos reservados a Editora da Universidade Federal do Rio Grande do Norte – EDUFRN. Nenhuma parte deste material pode ser utilizada ou reproduzida sem a autorização expressa do Ministério da Educacão – MEC
Governo Federal Presidenta da República Dilma Vana Rousseff Vice-Presidente da República Michel Miguel Elias Temer Lulia Ministro da Educação Aloizio Mercadante Oliva
Reitora Ângela Maria Paiva Cruz Vice-Reitora Maria de Fátima Freire Melo Ximenes Secretária de Educação a Distância Maria Carmem Freire Diógenes Rêgo Secretária Adjunta de Educação a Distância Eugênia Maria Dantas Pró-Reitoria de Graduação Alexandre Augusto de Lara Menezes
Comitê Gestor Presidente Alexandre Augusto de Lara Menezes Coordenação geral Apuena Vieira Gomes Coordenadores Apuena Vieira Gomes/CE Adir Luiz Ferreira/CE Gleydson de Azevedo Ferreira Lima/SINFO Marcos Aurélio Felipe/CE Maria Carmozi de Souza Gomes/PROGRAD Rex Antonio da Costa de Medeiros/ECT
Coordenador de Produção de Materiais Didáticos Marcos Aurélio Felipe Projeto Gráfi co Ivana Lima Revisores de Estrutura e Linguagem Eugenio Tavares Borges Janio Gustavo Barbosa Jeremias Alves de Araújo Kaline Sampaio de Araújo Luciane Almeida Mascarenhas de Andrade Thalyta Mabel Nobre Barbosa Revisoras de Língua Portuguesa Cristinara Ferreira dos Santos Emanuelle Pereira de Lima Diniz Janaina Tomaz Capistrano
Revisora das Normas da ABNT Verônica Pinheiro da Silva Revisora Técnica Rosilene Alves de Paiva Ilustradores Adauto Harley Anderson Gomes do Nascimento Carolina Costa de Oliveira Dickson de Oliveira Tavares Leonardo dos Santos Feitoza Roberto Luiz Batista de Lima Rommel Figueiredo
Diagramadores Ana Paula Resende Carolina Aires Mayer Davi Jose di Giacomo Koshiyama Elizabeth da Silva Ferreira Ivana Lima José Antonio Bezerra Junior Luciana Melo de Lacerda Rafael Marques Garcia
Secretaria de Educação a Distância (SEDIS)
FICHA TÉCNICA
Natal – RN Abril/ 2012
Módulo 2
Autovalores e autovetores
Transformações lineares
Formas quádricas
Jossana Ferreira
Álgebra Linear
Sumário
- Apresentação Institucional
- Aula 12 Autovalores e autovetores
- Aula 13 Diagonalização de matrizes
- Aula 14 Transformações lineares – definição
- Aula 15 Transformações lineares e matrizes
- Aula 16 Transformações lineares inversas
- Aula 17 Transformações lineares e geometria do ^2
- Aula 18 Formas quádricas
- Aula 19 Diagonalização de formas quádricas
- Aula 20 Seções cônicas
Autovalores e autovetores
Aula
Aula 12 Álgebra Linear 9
Apresentação
Os autovalores e autovetores de uma matriz podem revelar muita informação a respeito de sistemas e plantas que estejam por trás dessas matrizes. Esse recurso da Álgebra Linear é bastante utilizado nas engenharias, física, química etc.
Objetivo
Calcular os autovalores e autovetores a partir de matrizes quadradas.
12 Aula 12^ Álgebra Linear
Exemplo 1
Se multiplicarmos a matriz (^) A =
[
]
pelo vetor (^1) =
[
]
temos:
A · 1 =
[ 2 1 1 2
] ·
[ 1 1
]
[ 3 3
]
. É notório que a constante que devemos multiplicar por v 1 para
que a igualdade A. v = ¸. v seja satisfeita é ¸=3: λ = 3 :
[ 2 1 1 2
] ·
[ 1 1
] = 3 ·
[ 1 1
]
[ 3 3
] .
Uma outra possibilidade é multiplicarmos a matriz (^) A =
[
]
pelo vetor
v 2 =
[
]
. Assim, temos: A · 2 =
[ 2 1 1 2
] ·
[ − 1 1
]
[ − 1 1
] logo, a constan-
te que devemos multiplicar por v (^) 2 para que a igualdade A · v = ¸. v seja satisfeita é ¸=1:
λ = 1 :
[
]
[
]
[
]
[
]
Encontrando os autovalores
No Exemplo 1, conseguimos identificar os autovalores da matriz A , porém, nem sempre essa tarefa é possível de ser alcançada simplesmente analisando a matriz intuitivamente. Para obtermos o procedimento a fim de encontrarmos os autovalores de uma matriz quadrada, vamos partir da própria definição de autovalores:
A v =¸ v
Vamos introduzir a matriz identidade sem alterar a igualdade:
A v =¸ Iv
Vamos agora somar a ambos os lados da equação o termo – Av :
A v – v = ¸I v – A v
0 = ¸I v – A v
Colocando o vetor v em evidência: (¸I– A) v =
Essa equação resulta em um sistema de equações com n equações e n incógnitas, onde n é a ordem da matriz A. Note que o sistema é um sistema homogêneo, portanto, admite a solução trivial (todas as variáveis iguais a zero). No sistema de equações, v é o vetor com as incógnitas e a matriz (¸I –A ) é a matriz dos coeficientes. Sabemos ainda que em um sistema de equações, quando a matriz dos coeficientes apresenta determinante diferente de zero, isso implica em um sistema possível determinado, ou seja, de única solução, e como esse sistema
Aula 12 Álgebra Linear 13
é homogêneo, se apresentar uma única solução, essa solução necessariamente será a trivial, solução que não interessa, pois obteríamos qualquer valor para ¸. Para encontrarmos as soluções não triviais dessa equação, devemos garantir que o determinante da matriz (¸I –A ) seja igual a zero: det (¸I –A )= Essa equação é chamada de equação característica. Ao desenvolvermos a equação característica, nos deparamos com um polinômio em ¸, chamado de polinômio característico. ¸ n + c 1 ¸ n^ -1+ c 2 ¸ n^ -2+ ... + cn -1¸+ cn
Exemplo 2
Encontre os autovalores da matriz (^) A =
[
]
Fazendo det (¸I –A )=
det
( λ
[ 1 0 0 1
] −
[ 2 2 2 2
]) = 0
det
([ λ − 2 − 2 − 2 λ − 2
]) = 0
(¸ – 2)^2 – 4 = 0
¸^2 – 4¸ = 0 → polinômio característico ¸(¸–4) = 0
λ 1 = 0 λ 2 = 4
autovalores de A
Encontre os autovalores da matriz (^) A =
[
]
Aula 12 Álgebra Linear 15
Autoespaço
Note que em toda situação obteremos um sistema possível indeterminado porque defi- nimos no início que det (¸I –A )=0, o que caracteriza um sistema possível indeterminado ou impossível, e como o sistema é sempre homogêneo, logo não pode ser impossível. Portanto, sempre teremos infinitas soluções para os autovetores e, por essa razão, não dizemos que apenas um determinado vetor é autovetor de uma matriz e sim todo espaço gerado por essa base encontrada. Esse espaço solução para os autovalores possíveis é chamado de autoespaço associado a um determinado autovalor.
Encontre os autovetores da matriz (^) A =
[
]
Observação:
O sistema tem soluções não triviais.
Se A é uma matriz triangular ou diagonal, então, os autovalores de A são os elementos da diagonal principal.
Propriedades
Se v é um autovetor associado a um autovalor ¸ de A , então, kv também é um autovetor de A associado ao mesmo autovalor.
Se ¸ é autovalor de A , então, ¸ k^ é um autovalor de Ak.
Se ¸ é autovalor de A , então, ¸–1^ é um autovalor de A–1.
Se ¸ é autovalor de A , então, k ¸ é um autovalor de kA.
- k é um escalar.
16 Aula 12^ Álgebra Linear
Multiplicidade dos autovalores
Multiplicidade algébrica
A multiplicidade algébrica dos autovalores indica a quantidade de vezes que um determi- nado autovalor aparece como solução do polinômio característico.
Multiplicidade geométrica
A multiplicidade geométrica dos autovalores indica a dimensão do autoespaço associado a um determinado autovalor, ou seja, a quantidade de vetores na base do autoespaço.
Exemplo 4
Encontre a multiplicidade algébrica e geométrica da matriz (^) A =
Encontrando os autovalores de A :
det(λI − A) = 0
det
λ 0 − 1 0 λ − 1 0 0 λ − 1
Escolhendo a terceira linha da matriz:
detM = m 31 c 31 + m 32 c 32 + m 33 c 33 = 0 detM = 0 · c 31 + 0 · c 32 + m 33 c 33 = 0
detM = (λ − 1)(−1)3+
λ 0 0 λ
(λ − 1)λ^2 = 0 λ 1 = 1 → M ult. Alg´ebrica = 1 λ 2 = 0 λ 3 = 0
→ M ult. Algebrica´ = 2