Baixe Álgebra Linear UERJ - capitulo3 - eepaco vetorial e outras Notas de estudo em PDF para Geometria Analítica e Álgebra Linear, somente na Docsity!
ESPAÇO VETORIAL REAL DE DIMENSÃO FINITA
Definição
Sejam um conjunto não vazio V , o conjunto dos números reais R e duas operações binárias, adição e multiplicação por escalar.
vu v u
V V V
+ × →
(, ) a
kv k v
V V
⋅ × →
( , ) a
: R
V é um Espaço Vetorial sobre R , ou Espaço Vetorial Real ou um R -espaço vetorial, com estas operações se as propriedades abaixo, chamadas axiomas do espaço vetorial, forem satisfeitas:
EV1. (Associativa) Para quaisquer v , u , w ∈ V , ( v + u )+ w = v +( u + w ). EV2. (Comutativa) Para todo v , u ∈ V , v + u = u + v. EV3. (Elemento Neutro) Existe e ∈ V tal que para todo v ∈ V , e + v = v + e = v. Notação: e = (^0) V EV4. (Elemento Simétrico) Para todo v ∈ V , existe v ' ∈ V tal que v + v ' = v '+ v = (^0) V. Notação: v '=− v Assim, v^ +^ (− u )= v − u EV5. Para quaisquer k^ 1 ,^ k 2 ∈ R e para todo v ∈ V , k^ 1 ⋅^ ( k^2 ⋅ v )=( k 1 k 2 )⋅ v. EV6. Para quaisquer k (^) 1 , k 2 ∈ R e para todo v ∈ V , ( k 1 (^) + k 2 )⋅ v =( k 1 ⋅ v )+( k 2 ⋅ v ). EV7. Para todo k ∈ R e para quaisquer v , u ∈ V , k ⋅ ( v + u )=( k ⋅ v )+( k ⋅ u ). EV8. Para todo v ∈ V , 1 ⋅ v = v.
Os elementos de um espaço vetorial são denominados vetores e os números reais de escalares.
Exemplos :
R^2 com as operações: ( x , y )+( z , t )=( x + z , y + t ) k ⋅( x , y )=( kx , ky ) É um espaço vetorial pois os oito axiomas acima são verificados, cabe lembrar que o elemento neutro da adição (^0) V é o par ordenado ( 0 , 0 ).
R n^ com as operações: ( x 1 (^) , x 2 ,..., xn )+( y 1 , y 2 ,..., yn )=( x 1 + y 1 , x 2 + y 2 ,..., xn + yn ) k ⋅( x 1 , x 2 ,..., xn )=( kx 1 , kx 2 ,..., kxn )
O conjunto das matrizes reais de ordem m × n , com as operações usuais é um espaço vetorial, tal que o elemento neutro da adição é a matriz nula.
4) O conjunto dos polinômios, com coeficientes reais, de grau menor ou igual a n , com as operações
abaixo: p ( x )+ q ( x )=( an + bn ) xn +...+( a 1 + b 1 ) x +( a 0 + b 0 ) k p ( x ) ka x ... ka 1 x ka 0 n ⋅ = n + + + onde p ( x )= an xn +...+ a 1 x + a 0 e q ( x )= bn xn +...+ b 1 x + b 0. É um espaço vetorial, onde o elemento neutro da adição (^0) V é o polinômio 0 x n^ + ...+ 0 x + 0.
5) R^2 com as operações abaixo não é um espaço vetorial.
( x , y )+( z , t )=( x + z , 0 ) k ⋅( x , y )=( kx , ky ) Não possui elemento neutro, pois: Seja (^0) V (^) =( e 1 , e 2 ) tal que ( x , y )+ ( e 1 , e 2 )=( x , y ). Mas, ( x , y )+ ( e 1 , e 2 )=( x + e 1 , 0 ). Assim, ( x , y )= ( x + e 1 , 0 ). Portanto, para todo y ∈ R , y = 0. Logo, não existe elemento neutro.
Subespaço Vetorial Um subespaço vetorial de V é um subconjunto não vazio S ⊆ V com as seguintes propriedades:
Sub1. (^0) V (^) ∈ S. Sub2. Fechamento de S em relação à operação de Adição. Se u ∈ S e v ∈ S então u + v ∈ S. Sub3. Fechamento de S em relação à operação de Multiplicação por Escalar Se u ∈ S ek∈ R então k ⋅ u ∈ S.
Notação: S ≤ V.
Exemplos:
1) S = {( x , 0 , 0 ), x ∈ R }é um subespaço vetorial do R^3 com as operações de adição e multiplicação por
escalar usuais. Um vetor u pertence ao subespaço S quando possui a 2ª^ e 3ª^ coordenadas iguais a zero. Verificando as propriedades de subespaço.
- (^0) V ∈ S? Sim, ( 0 , 0 , 0 )∈ S.
- Se u ∈ S e v ∈ S então u + v ∈ S? Sejam u = ( x 1 , 0 , 0 )∈ S e v =( x 2 , 0 , 0 )∈ S. Então u + v =( x 1 + x 2 , 0 , 0 )∈ S. Logo, S é fechado sob a operação de adição de vetores.
- Se u ∈ S ek∈ R então k ⋅ u ∈ S? Seja u = ( x 1 , 0 , 0 )∈ S. Então k ⋅ u =( kx 1 , 0 , 0 )∈ S. Logo, S é fechado sob a operação de multiplicação por escalar. O subespaço S poderia ser descrito ainda por {( x , y , z )∈ R 3 | y = 0 e z = 0 }.
- O conjunto S = {( x , y , z )∈ R 3 | x = 0 e y ≥ z }não é um subespaço vetorial do R^3 com as operações usuais.
- (^0) V ∈ S? Sim, ( 0 , 0 , 0 )satisfaz as condições x = 0 e y ≥ z.
- Se u ∈ S e v ∈ S então u + v ∈ S? Sejam u = ( 0 , y , z )∈ S e v =( 0 , t , r )∈ S , com y ≥ z e t ≥ r.
Subespaço Vetorial Gerado e Conjunto Gerador Sejam os vetores v (^) 1 , v 2 ,..., vn ∈ V e [ v 1 (^) , v 2 ,..., vn ]o conjunto de todas as combinações lineares destes vetores. O conjunto [ v 1 (^) , v 2 ,..., vn ] é um subespaço vetorial de V , denominado subespaço vetorial gerado pelos vetores v (^) 1 , v 2 ,..., vn. O conjunto { v 1 (^) , v 2 ,..., vn }é o conjunto gerador do subespaço [ v 1 (^) , v 2 ,..., vn ].
Exemplos:
1) O vetor ( 1 , 2 )∈ R^2 gera o conjunto [( 1 , 2 )]= {( x , 2 x ), x ∈ R }.
k ⋅( 1 , 2 )=( x , y ) ( k , 2 k )=( x , y )
Assim,
k y y x
k x 2 2 O conjunto de todas as combinações lineares do vetor ( 1 , 2 ) é o conjunto de todos os seus múltiplos escalares. Geometricamente, [( 1 , 2 )]é uma reta definida pela equação y − 2 x = 0.
2) [( 1 , 1 , 0 ),( 1 , 2 , 1 )]= {( x , y , z )∈ R 3 | x − y + z = 0 }.
k 1 (^) ⋅( 1 , 1 , 0 )+ k 2 ⋅( 1 , 2 , 1 )=( x , y , z ) ( k (^) 1 , k 1 , 0 )+( k 2 , 2 k 2 , k 2 )=( x , y , z ) ( k (^) 1 + k 2 , k 1 + 2 k 2 , k 2 )=( x , y , z )
Assim,
k z
k k y
k k x
2
1 2
1 2 2
Matriz ampliada
z
y
x
e matriz escalonada
z y x
y x
x
Para se determinar os vetores que são combinações lineares de ( 1 , 1 , 0 )e( 1 , 2 , 1 ) é necessário que o sistema seja possível, isto é, x − y + z = 0. Logo, [( 1 , 1 , 0 ),( 1 , 2 , 1 )]= {( x , y , z )∈ R 3 | x − y + z = 0 }={( y − z , y , z ), y , z ∈ R }. Geometricamente, [( 1 , 1 , 0 ),( 1 , 2 , 1 )]é um plano no R 3 com equação x − y + z = 0.
3) [( 1 , 3 ),( 4 , 2 )]= R^2.
k 1 (^) ⋅( 1 , 3 )+ k 2 ⋅( 4 , 2 )=( x , y ) ( k (^) 1 + 4 k 2 , 3 k 1 + 2 k 2 )=( x , y )
Assim,
k k y
k k x 1 2
1 2 3 2
Matriz ampliada (^)
y
x 3 2
e matriz escalonada (^)
x y
x .
Como o sistema é possível e determinado, nenhuma condição deve ser satisfeita. Logo, [( 1 , 3 ),( 4 , 2 )]= R^2.
4) Encontre a equação do espaço gerado pelos vetores ( 1 , 1 , 2 ),(− 2 , 0 , 1 )e(− 1 , 1 , 3 ).
O espaço gerado é o conjunto de vetores v = ( x , y , z )∈ R^3 que possam ser escritos como combinação linear dos vetores dados, isto é, k 1 (^) ⋅ ( 1 , 1 , 2 )+ k 2 ⋅(− 2 , 0 , 1 )+ k 3 ⋅(− 1 , 1 , 3 )=( x , y , z ).
Assim, 2 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
k k k z
k k k y
k k k x
Matriz ampliada
z
y
x
e matriz escalonada
x y z
y x
x .
Para que o sistema seja possível é necessário que x − 5 y + 2 z = 0. Assim, com esta condição satisfeita, obtém-se vetores ( x , y , z )∈ R^3 que são combinação linear dos vetores dados. Portanto, o espaço gerado é {( x , y , z )∈ R 3 | x − 5 y + 2 z = 0 }, que geometricamente representa um plano em R^3.
Vetores Linearmente Independentes e Linearmente Dependentes Um conjunto de vetores { v (^) 1 , v 2 ,..., vn }⊆ V é linearmente independente (LI) quando k (^) 1 ⋅ v 1 + k 2 ⋅ v 2 +...+ kn ⋅ vn = (^0) V se e somente se k 1 (^) = k 2 =...= kn = 0.
Se existir pelo menos um k^ i ≠ 0 , com^ i^ =^1 ,..., n , então o conjunto é^ linearmente dependente^ (LD).
Exemplos:
1) {( 1 , 3 ),( 4 , 2 )} é LI, pois:
k 1 ⋅ ( 1 , 3 )+ k 2 ⋅( 4 , 2 )=( 0 , 0 ) ( k 1 + 4 k 2 , 3 k 1 + 2 k 2 )=( 0 , 0 )
Assim,
1 2
1 2 k k
k k
Matriz ampliada (^)
e matriz escalonada
^
^.
O sistema é possível e determinado com k 1 (^) = k 2 = 0. Assim, o conjunto é LI. Um dos vetores não é múltiplo escalar do outro. Foi visto que o espaço gerado por {(1,3), (4,2)} é R^2 , ou seja [(1,3), (4,2)] = R^2.
2) {( 1 , 3 ),( 2 , 6 )}é LD, pois:
k 1 ⋅ ( 1 , 3 )+ k 2 ⋅( 2 , 6 )=( 0 , 0 ) ( k 1 + 2 k 2 , 3 k 1 + 6 k 2 )=( 0 , 0 )
Assim, 3 6 0
1 2
1 2
k k
k k
Espaço Vetorial Base Canônica Dimensão R {1} 1 R^2 {(1,0),(0,1)} 2 R^4 {(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)} 4 Mat 2 × 2 ( R )
Polinômios com coeficientes reais de grau menor ou igual a 2
{ 1 , x , x^2 }^3
Operações com Subespaços Vetoriais
- Interseção Sejam S 1 (^) e S 2 subespaços do espaço vetorial real V. O conjunto interseção de S 1 (^) e S 2 , S 1 ∩ S 2 ={ v ∈ V | v ∈ S 1 e v ∈ S 2 }, é também um subespaço vetorial de V.
(Sub1) (^0) V (^) ∈ S 1 ∩ S 2? (^0) V (^) ∈ S 1 ,pois S 1 ≤ V. (^0) V (^) ∈ S 2 ,pois S 2 ≤ V. Assim, (^0) V (^) ∈ S 1 ∩ S 2. (Sub2) Se v ∈ S 1 ∩ S 2 e u ∈ S 1 ∩ S 2 então v + u ∈ S 1 ∩ S 2? v ∈ S 1 ∩ S 2 ∴ v ∈ S 1 e v ∈ S 2 u ∈ S 1 ∩ S 2 ∴ u ∈ S 1 e u ∈ S 2 Então, v^ +^ u ∈ S 1 e^ v + u ∈ S 2. Logo, v + u ∈ S 1 ∩ S 2. (Sub3) Se v ∈ S 1 ∩ S 2 e k ∈ R então k ⋅ v ∈ S 1 ∩ S 2? v ∈ S 1 ∩ S 2 ∴ v ∈ S 1 e v ∈ S 2 Então, k ⋅ v ∈ S 1 e k ⋅ v ∈ S 2. Logo, k ⋅ v ∈ S 1 ∩ S 2.
Exemplos:
1) Sejam S 1 = {( x , 0 , 0 ),com x ∈ R }e S 2 = {( x , y , z )∈ R 3 | y = x + z }.
S 1 (^) ∩ S 2 ={( x , y , z )∈ R 3 |( x , y , z )∈ S 1 e( x , y , z )∈ S 2 }.
Assim,
y x z
z
y 0
Logo, S (^) 1 ∩ S 2 ={( 0 , 0 , 0 )}. Geometricamente, tem-se uma reta e um plano no R^3 que se interceptam na origem.
2) Sejam S 1 = {( x , y , z )∈ R 3 | y = 3 x }e S 2 = {( x , y , z )∈ R 3 | 2 x − y + 3 z = 0 }.
S 1 (^) ∩ S 2 ={( x , y , z )∈ R (^3) | y = 3 x e 2 x − y + 3 z = 0 }.
Assim,
x y z
x y
Logo, S (^) 1 ∩ S 2 ={( 3 z , 9 z , z ), z ∈ R }, ou seja, S 1 (^) ∩ S 2 ={ z ⋅( 3 , 9 , 1 ), z ∈ R }. Geometricamente, a interseção é representada por uma reta que passa pelos pontos (0,0,0) e (3,9,1).
- Soma Sejam S 1 (^) e S 2 subespaços do espaço vetorial real V. O conjunto soma de S 1 (^) e S 2 , S 1 + S 2 ={ v ∈ V | v = s 1 + s 2 ,com s 1 ∈ S 1 e s 2 ∈ S 2 }, é também um subespaço vetorial de V.
Exemplos:
1) Sejam S 1 = {( x , 0 , 0 ), x ∈ R }e S 2 = {( x , y , z )∈ R 3 | y = x + z }.
S 1 (^) + S 2 ={( x , y , z )∈ R 3 |( x , y , z )= s 1 + s 2 ,com s 1 ∈ S 1 e s 2 ∈ S 2 }. Tem-se que, (^ x^ ,^0 ,^0 )∈^ S 1 e( x , x + z , z )∈ S 2 , para quaisquer^ x ,^ z ∈ R. Mas, x ⋅ ( 1 , 0 , 0 )∈ S 1 e x ⋅( 1 , 1 , 0 )+ z ⋅( 0 , 1 , 1 )∈ S 2 , para quaisquer x , z ∈ R. Assim, {(1,0,0)} é base do subespaço S (^) 1 e {(1,1,0),(0,1,1)} é uma base do subespaço S (^) 2. Então, ( x , y , z )∈ S 1 + S 2 quando( x , y , z )= k 1 ⋅(1,0,0)+ k 2 ⋅(1,1,0)+ k 3 ⋅(0,1,1).
Assim,
k z
k k y
k k x
3
2 3
1 2
Sistema possível, logo S 1 (^) + S 2 = R^3.
2) Sejam S 1 = {( x , y , z , t )∈ R 4 | x − y − t = 0 }e S 2 ={( 0 , 0 , z , 0 ), z ∈ R }.
S 1 (^) + S 2 ={( x , y , z , t )∈ R 4 |( x , y , z , t )= s 1 + s 2 ,com s 1 ∈ S 1 e s 2 ∈ S 2 }. Tem-se que, ( y + t , y , z , t )∈ S 1 e( 0 , 0 , z , 0 )∈ S 2 , para quaisquer y , z , t ∈ R. Mas, y ⋅ ( 1 , 1 , 0 , 0 )+ z ⋅( 0 , 0 , 1 , 0 )+ t ⋅( 1 , 0 , 0 , 1 )∈ S 1 e z ⋅( 0 , 0 , 1 , 0 )∈ S 2 , para quaisquer y , z , t ∈ R. ( x , y , z , t )∈ S 1 + S 2 quando( x , y , z , t )= k 1 ⋅(1,1,0,0)+ k 2 ⋅(0,0,1,0)+ k 3 ⋅(1,0,0,1)+ k 4 ⋅(0,0,1,0)
Assim,
k t
k k z
k y
k k x
3
2 4
1
1 3
t
z
y
x
t y x
y x
z
x
Para que o sistema seja possível é necessário que t + y − x = 0. Então, S 1 (^) + S 2 ={( x , y , z , t )∈ R 4 | t + y − x = 0 }.
Matriz de Transição de uma Base para uma outra Base Que relação existe entre as coordenadas de um vetor no antigo referencial e em um novo referencial? Uma matriz permitirá a relação entre estes referenciais, as bases do espaço vetorial. Esta matriz é denominada matriz de transição ou matriz mudança de base. O desenvolvimento a seguir considera duas bases do R^2 , no entanto o mesmo raciocínio pode ser utilizado para qualquer espaço vetorial V n -dimensional. Sejam A = { u 1 , u 2 }e B ={ w 1 , w 2 }bases do R^2. Para qualquer v ∈ R^2 , tem-se: v = a ⋅ u 1 + b ⋅ u 2 (1)
isto é, (^)
b
a [ v ] A.
Como u 1 (^) e u 2 são vetores do R^2 , podem ser escritos como combinação linear dos vetores da base B.
2 12 1 22 2
1 11 1 21 2 u a w a w
u a w a w (2)
Substituindo (2) em (1): v = a ⋅( a 11 ⋅ w 1 + a 21 ⋅ w 2 )+ b ⋅( a 12 ⋅ w 1 + a 22 ⋅ w 2 ) v =( a ⋅ a 11 + b ⋅ a 12 )⋅ w 1 +( a ⋅ a 21 + b ⋅ a 22 )⋅ w 2
Portanto, a ⋅ a 11 + b ⋅ a 12 e a ⋅ a 21 + b ⋅ a 22 são as coordenadas de v em relação à base B.
Assim, (^)
21 22
[ ]^1112
a a b a
a a b a v (^) B.
Podendo ser rescrito como, [ ]. 21 22
11 12
b
a a a
a a v (^) B
A matriz (^)
21 22
11 12 a a
a a acima é denotada por [ I ] AB sendo denominada a matriz de transição da base A
para a base B. As colunas da matriz [ I ] AB são as coordenadas dos vetores da base A em relação à base B. Obtém-se a equação matricial, [ v ] B =[ I ] BA ⋅[ v ] A. Analogamente, [ v ] A = [ I ] BA ⋅[ v ] B para mudança da base B para a base A. Observe que, [ v ] (^) B =[ I ] AB ⋅[ v ] A. Como, [ v ] A = [ I ] BA ⋅[ v ] B. Tem-se que, [ v ] (^) B =[ I ] AB ⋅[ I ] BA ⋅[ v ] B. Como, [ v ] (^) B = In ⋅[ v ] B.
Então, I (^) n =[ I ] BA ⋅[ I ] BA.
Logo, [ I ] BA = ([ I ] BA )−^1.
Exercícios
- Verifique se R^2 é um espaço vetorial, para as operações definidas abaixo.
a) ( , ) ( , )
k x y kx ky
x y zt x z y t ⋅ = − −
b) ( , ) ( , 0 )
k x y kx
x y zt x z y t ⋅ =
c) ( , ) ( 2 , 2 )
k x y kx ky
x y zt x z y t ⋅ =
d) ( , ) ( , )
k x y kx ky
x y zt ⋅ =
e) ( , ) ( , )
k x y kx ky
x y zt xz yt ⋅ =
f) ( , ) ( , )
k x y kx ky
x y zt x z y t ⋅ =
g) ( , ) ( , )
k x y kx y
x y zt x z y t ⋅ =
Considere o conjunto Fun ( R ) de todas as funções f : R → R. Definem-se duas operações binárias + : Fun ( R )× Fun ( R )→ Fun ( R ) tal que ( f + g )( x )= f ( x )+ g ( x ) e ⋅ : R × Fun ( R )→ Fun ( R ) tal que ( k ⋅ f )( x )= k ⋅ f ( x ). Estas operações definem um espaço vetorial?
Verifique se os seguintes subconjuntos são subespaços de R^3. a) S = {( x , y , z )∈ R^3 | z = 3 } b) S = {( x , y , z )∈ R^3 | x^2 = y } c) S = {( x , y , z )∈ R^3 | x = 2 y } d) S = {( x , y , z )∈ R^3 | x > 0 } e) S = {( x , y , z )∈ R^3 | y = x + z } f) S = {( 0 , y , y ), y ∈ R }
Verifique se o conjunto solução do sistema
x y z
x y z
x y z é um subespaço vetorial de R^3.
Escreva u =( 1 ,− 2 )como combinação linear de ( 1 , 2 )e ( 0 , 3 ).
O vetor v =(− 2 , 1 , 0 )pode ser escrito como combinação linear dos vetores (1,2,0) e (0,1,0)?
Escreva p ( x )= x^2 + x − 1 como combinação linear de 3
q ( x )= x^2 − 2 x e r ( x )= 2 x^2 −^4.
- Encontre uma base e a dimensão para o conjunto solução do sistema
x y z t
x y z t
x y z t .
Mostre que a soma de subespaços é também um subespaço.
Determine o subespaço interseção e o subespaço soma para os casos abaixo, indicando quando a soma é direta. a) S 1 (^) = {( x , y , z )∈ R^3 | x − 2 y + z = 0 }e S 2 ={( x , y , z )∈ R^3 | x + 3 y = 0 } b) S 1 (^) = {( x , y , z )∈ R^3 | x = y }e S 2 ={( x , y , z )∈ R^3 | x + y + z = 0 }
Sejam S 1 (^) = {( x , y , z )∈ R 3 | y = 0 }e S (^) 2 =[(− 1 , 2 , 0 ),( 3 , 1 , 1 )].Determine S 1 (^) ∩ S 2 e S 1 (^) + S 2 , indicando uma base e a dimensão em cada um dos casos.
Seja v =( 1 , 2 , 3 )e a base A ={( 1 , 0 , 3 ),(− 1 , 7 , 5 ),( 2 ,− 1 , 6 )}. Indique [ v ] A.
Considere A ={( 1 , 1 , 1 ),( 0 , 2 , 3 ),( 0 , 2 ,− 1 )} uma base para o R^3. Encontre as coordenadas de v =( 3 , 5 ,− 2 )em relação a esta base.
Seja A ={( − 1 , 1 , 1 ),( 0 , 2 , 3 ),( 0 , 0 ,− 1 )}e ( v ) A =(− 2 , 0 , 3 ). Determine v.
Sendo A ={( − 3 ,− 1 ),( 2 , 0 )}uma base para o R^2 e (^)
[ v ] A. Encontre:
a) As coordenadas de v na base canônica. b) As coordenadas de v na base B ={( 2 , 1 ),( 1 , 5 )}.
- Encontre as coordenadas do vetor ( ) 0 3
∈^2 ×^2 R
v = Mat em relação à base
B.
- Dadas as bases do R^3 , A = {( − 1 , 0 , 2 ),( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 2 )}e B ={( 0 , 0 , 1 ),( 0 ,− 2 , 1 ),( 1 , 0 ,− 1 )}. a) Determine [ I ] AB.
b) Considere
[ v ] A. Calcule [ v ] B.
Considere as bases A = {( − 3 , 0 , 3 ),(− 3 , 2 ,− 1 ),( 1 , 6 ,− 1 )}e B ={(− 6 ,− 6 , 0 ),(− 2 ,− 6 , 4 ),(− 2 ,− 3 , 7 )}. a) Achar a matriz mudança de base de B para A. b) Dado v =( − 5 , 8 ,− 5 ), calcule [ v ] A.
Seja (^)
[ I ] AB e B ={( 1 ,− 2 ),( 2 , 0 )}.Determine a base A.
- Seja
^
^ a^ matriz^ mudança^ de^ base^ de^ B^ para^ A.^ Determinar^ a^ base^ A ,^ sabendo^ que B ={( 1 ,− 1 ),( 0 , 1 )}.
- Sabendo que A = { u 1 , u 2 }e B ={ w 1 , w 2 }são bases do R^2 tais que: (^)
[ v ] A , w 1 (^) = u 1 − u 2 e
w 2 (^) = 2 ⋅ u 1 − 3 ⋅ u 2 , determine [ v ] B.
- Considere A = {( 1 , 1 , 1 ),( 0 , 2 , 3 ),( 0 , 2 ,− 1 )}e B ={( 1 , 1 , 0 ),( 1 ,− 1 , 0 ),( 0 , 0 , 1 )}. Determine as matrizes mudança de base.
Respostas
- Nenhum é espaço vetorial.
- a)b)d) Não c)e)f) Sim
- Não
- ( 1 ,− 2 )= 1 ⋅( 1 , 2 )+(− 34 )⋅( 0 , 3 )
[ v ] A
( v ) A =( 3 ,− 1 , 2 )
Sim, k 1 = − 2 e k 2 = 5
p ( x )=(− 21 )⋅ q ( x )+ 43 ⋅ r ( x )
4 x + 2 y − z = 0
a)d)e) LI b)c) LD
v =( 2 ,− 2 ,− 5 )
a) (^)
[ v ] b) (^)
[ v ] B
12) F,V,V,F,F,V,F,F,V,V,
F,V,F,F,V,F,V,V,F,V,
F,F,F
31
[ v ] B
k = 1 ou k =− 23
a) base : {( 2 , 1 , 1 )}edim= 1 b) base : {( − 2 , 1 , 0 ),( 1 , 0 , 1 )}edim= 2 c) base : {( 1 , 0 , 1 }edim= 1
a)
[ ] 21
21 I (^) B^ A b)
[ v ] B
- base : {( − 2 , 1 , 0 , 0 ),(− 51 , 0 ,− 53 , 1 )} dim = (^2) 26) a)
23 65 121
23 12 45
[ I ] BA b)
21
25
32 [ v ] A
- a) S 1 ∩ S 2 ={(− 3 y , y , 5 y ), y ∈ R } S 1 + S 2 = R^3 b) S 1 ∩ S 2 ={( y , y ,− 2 y ), y ∈ R } S 1 + S 2 = R^3 Nenhum é soma direta.
27) A ={( 1 ,− 2 ),(− 8 , 4 )}
28) A ={( 1 ,− 1 ),( − 32 , 1 )}
[ v ] B
- S 1 ∩ S 2 ={( 27 z , 0 , z ), z ∈ R } base : {( 7 , 0 , 2 )}edim= 1 S 1 + S 2 = R^3 base : {( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 1 )}edim= 3
[ I ] BA e
41 21 41
41 21 41
[ I ] BA
k ⋅ (^0) V + (^0) V Assim, k ⋅ (^0) V (^) + k ⋅ (^0) V = k ⋅ (^0) V + (^0) V. Pela Lei do Corte, k ⋅ (^0) V = (^0) V.
Teo8. Para todo v ∈ V , v ≠ (^0) V e para todo k ∈ R , k ≠ 0 , k ⋅ v ≠ (^0) V. dem.: (RAA) Supondo que v ≠ (^0) V (^) , k ≠ 0 e k ⋅ v = (^0) V v = por EV8. 1 ⋅ v = por hipótese e pela existência de elemento inverso em R. ⋅^ =
(^) k v k
(^1) por EV5.
(^1) ⋅ ( k ⋅ v ) = k
por hipótese.
⋅ (^) V = k
(^1) 0 pela Teo5.
(^0) V Assim, v = (^0) V. Contradição. Logo, k ⋅ v ≠ (^0) V.
Corolário8. Para todo v ∈ V e para todo k ∈ R , se k ⋅ v = (^0) V então k = 0 ou v = (^0) V.
Teo9. Para todo v ∈ V , (−^1 )⋅ v^ =− v. dem.: Considere o vetor v + ( − 1 )⋅ v ∈ V. v + ( − 1 )⋅ v = por EV8. 1 ⋅ v +(− 1 )⋅ v = por EV6. ( 1 + (− 1 ))⋅ v = 0 é o elemento neutro da adição em R. 0 ⋅ v = por EV8. (^0) V Assim, v + ( − 1 )⋅ v = (^0) V. Então, v +( − 1 )⋅ v = v +(− v ) Pela Lei do Corte, ( − 1 )⋅ v =− v.
Teo10. Para todo v ∈ V e para todo n ∈ N −{ 0 }, n ⋅ v = v + v +... + v (soma com n parcelas). Demonstração usando indução em n. Base: Para k = 1. Por EV8, 1 ⋅ v = v. Passo: (Hipótese de Indução) Supor que vale a igualdade para k ∈ N , k > 1 , isto é, 142 4 434 parcelas
k
k ⋅ v = v + v + + v.
Vale a igualdade para k + 1? ( k + 1 )⋅ v = por EV6. k ⋅ v + 1 ⋅ v = por EV8.
k ⋅ v + v = por hipótese de indução. v + v + + v + v = k
parcelas
( ... ) por EV1.
... ( 1 )parcelas
k
v v v
Assim, (^142 ) ( 1 )parcelas
k
k v v v v.
Logo, vale a igualdade para todo n ∈ N −{ 0 }.
Teo11. Todo subespaço vetorial é um espaço vetorial.
Teo12. Se { v (^) 1 , v 2 ,..., vr }⊆ V então [ v 1 (^) , v 2 ,..., vr ]é um subespaço vetorial de V.
Teo13. Sejam { v (^) 1 , v 2 ,..., vr }⊆ V e v ∈ V. Se v é uma combinação linear dos vetores v (^) 1 , v 2 ,..., vr então [ v 1 (^) , v 2 ,..., vr , v ]= [ v 1 , v 2 ,..., vr ]. dem.: ( ⊆ )[ v 1 (^) , v 2 ,..., vr , v ]⊆[ v 1 , v 2 ,..., vr ]? v = k 1 ⋅ v 1 +...+ kr ⋅ v r com k (^) 1 ,..., kr ∈ R. (1) Seja u ∈ [ v 1 ,..., vr , v ]qualquer. Então u = l 1 ⋅ v 1 +... + lr ⋅ vr + lr + 1 ⋅ v com l 1 (^) ,..., lr + 1 ∈ R. (2) Substituindo (1) em (2), u = l 1 ⋅ v 1 +... + lr ⋅ vr + lr + 1 ⋅( k 1 ⋅ v 1 +...+ kr ⋅ vr ) = por EV7. = l 1 (^) ⋅ v 1 +... + lr ⋅ vr +( lr + 1 ⋅( k 1 ⋅ v 1 )+...+ lr + 1 ⋅( kr ⋅ vr )) = por EV5 e EV = l (^) 1 ⋅ v 1 +... + lr ⋅ vr +( lr + 1 k 1 )⋅ v 1 +...+( lr + 1 kr )⋅ vr = por EV = l (^) 1 ⋅ v 1 +( l (^) r + 1 k 1 )⋅ v 1 +...+ lr ⋅ vr +( lr + 1 kr )⋅ vr = por EV = ( l (^) 1 + lr + 1 k 1 )⋅ v 1 +...+( lr + lr + 1 kr )⋅ vr = pelo fechamento da multiplicação e da adição em R. = m (^) 1 ⋅ v 1 +...+ mr ⋅ v r com m 1 (^) ,..., mr + 1 ∈ R. Assim, u = m 1 ⋅ v 1 +...+ mr ⋅ vr com m 1 (^) ,..., mr + 1 ∈ R. Logo, u ∈ [ v 1 ,..., vr ]. ( ⊇) [ v 1 (^) , v 2 ,..., vr ]⊆[ v 1 , v 2 ,..., vr , v ] (exercício)
Teo14. Sejam { v^^ 1 , v 2 ,..., vr }⊆ V e { u (^) 1 , u 2 ,..., us }⊆ V. [ v 1 (^) , v 2 ,..., vr ]= [ u 1 , u 2 ,..., us ] se e somente se cada um dos vetores do conjunto {^ v 1^ , v 2 ,..., vr } é uma combinação linear dos vetores u (^) 1 , u 2 ,..., u s e cada um dos vetores do conjunto { u 1 (^) , u 2 ,..., us } é uma combinação linear dos vetores v (^) 1 , v 2 ,..., vr.
Teo15. Seja v ∈ V , v ≠ (^0) V , { v } é linearmente independente.
Teo16. Seja { v (^) 1 , v 2 ,..., vr }⊆ V. Se v (^) i = (^0) V , para algum i = 1 ,..., r então { v 1 (^) , v 2 ,..., vr }é linearmente dependente. dem.: k (^) 1 ⋅ v 1 +...+ ki ⋅ (^0) V +...+ kr ⋅ vr = (^0) V Para qualquer ki ∈ R , ki ⋅ (^0) V = (^0) V. Logo, o conjunto { v 1 (^) , v 2 ,..., vr }é LD.
Teo17. Seja { v (^) 1 , v 2 ,..., vr }⊆ V. O conjunto { v 1 (^) , v 2 ,..., vr } é linearmente dependente se e somente se pelo menos um destes vetores é combinação linear dos demais. dem.: (→) Considere { v 1 (^) , v 2 ,..., vr }linearmente dependente. k (^) 1 ⋅ v 1 + k 2 ⋅ v 2 +...+ ki ⋅ vi +...+ kr ⋅ vr = (^0) V Então existe um k (^) i ∈ R , ki ≠ 0 , com i ∈[ 1 , r ]. Pelo EV4 e o Teo7,
Teo19. Sejam { v^^ 1 , v 2 ,..., vr }⊆ V um conjunto linearmente independente e k^ 1 ,...,^ kr , l 1 ,..., lr ∈ R. Se k (^) 1 ⋅ v 1 +... + kr ⋅ vr = l 1 ⋅ v 1 +...+ lr ⋅ vr então k (^) i = li , para todo i = 1 ,..., r.
Corolário19. Seja { v (^) 1 , v 2 ,..., vn }⊆ V. Se { v (^) 1 , v 2 ,..., vn }é uma base de V então todo vetor v ∈ V pode ser escrito de forma única como combinação linear dos vetores v (^) 1 , v 2 ,..., vn da base.
Teo20. Seja { v (^) 1 , v 2 ,..., vr }⊆ V. O conjunto { v 1 (^) , v 2 ,..., vr }é linearmente independente se e somente se nenhum destes vetores é combinação linear dos demais.
Corolário20a. Seja { v , u }⊆ V. O conjunto { v , u }é linearmente independente se e somente se um vetor não é múltiplo escalar do outro.
Corolário20b. Seja { v (^) 1 , v 2 ,..., vr }⊆ V um conjunto linearmente independente e v ∈ V. Se v ∉ [ v 1 , v 2 ,..., vr ]então { v 1 (^) , v 2 ,..., vr , v } é um conjunto linearmente independente.
Teo21. Seja { v (^) 1 , v 2 ,..., vr }⊆ V. Se { v 1 (^) , v 2 ,..., vr }é linearmente independente então qualquer um de seus subconjuntos é linearmente independente.
Teo22. Seja { v (^) 1 , v 2 ,..., vr }⊆ V. Se [ v (^) 1 , v 2 ,..., vr ]= V então existe uma base A de V tal que A ⊆ { v 1 , v 2 ,..., vr }. dem.: Se { v 1 (^) , v 2 ,..., vr }é LI então A = { v 1 , v 2 ,..., vr }é uma base de V. Se { v 1 (^) , v 2 ,..., vr }é LD, Então, pelo Teo17, existe vi ∈{ v 1 , v 2 ,..., vr }, com i ∈ [ 1 , r ], tal que: vi ∈ [ v 1 , v 2 ,..., vr ]. Pelo Teo13, [ v 1 (^) ,..., vi − 1 , vi + 1 ,... vr ]=[ v 1 , v 2 ,..., vr ]. Como, por hipótese, [ v (^) 1 , v 2 ,..., vr ]= V. Assim, [ v (^) 1 ,..., vi − 1 , vi + 1 ,... vr ]= V. Se { v 1 (^) ,..., vi − 1 , vi + 1 ,... vr }é LI então A = { v 1 ,..., vi − 1 , vi + 1 ,... vr }é uma base de V. Caso contrário este processo continua até a obtenção de um certo conjunto A ⊆ { v 1 , v 2 ,..., vr }LI e tal que [ A ] = V. Assim, A é uma base do espaço vetorial V.
Corolário22a. Seja { v (^) 1 , v 2 ,..., vr }⊆ V. Se { v 1 (^) , v 2 ,..., vr } gera o espaço vetorial V então qualquer conjunto de vetores de V com mais do que r elementos é linearmente dependente.
Corolário22b. Seja { v (^) 1 , v 2 ,..., vr }⊆ V. Se {^ v 1^ , v 2 ,..., vr } gera V então qualquer conjunto de vetores de V linearmente independente tem no máximo r elementos.
Teo23. Seja { v (^) 1 , v 2 ,..., vr }⊆ V. Se { v 1 (^) , v 2 ,..., vr }é linearmente independente então pode-se estender o conjunto { v 1 (^) , v 2 ,..., vr }a um conjunto B base de V. dem.: Se [ v (^) 1 , v 2 ,..., vr ]= V então B = { v 1 , v 2 ,..., vr }é uma base de V. Se [ v (^) 1 , v 2 ,..., vr ]⊂ V , Então, seja v ∈ V tal que v ∉[ v 1 , v 2 ,..., vr ]. Pelo Corol20b, { v (^) 1 , v 2 ,..., vr , v }é LI. Se [ v (^) 1 , v 2 ,..., vr , v ]= V então B = { v 1 , v 2 ,..., vr , v }é uma base de V.
Caso contrário este processo continua até a obtenção de um certo conjunto B tal que { v (^) 1 , v 2 ,..., vr }⊆ B , B é LI e [ B ]= V. Assim, B é uma base do espaço vetorial V.
Teo24. Sejam dim V^^ = n e { v (^) 1 , v 2 ,..., vn }⊆ V. O conjunto { v 1 , v 2 ,..., vn } é uma base de V se é linearmente independente ou se gera o espaço vetorial V.
Teo25. Seja { v 1 (^) , v 2 ,..., vn }uma base do espaço vetorial V e { u (^) 1 , u 2 ,..., um }⊆ V. i) Se m > n então o conjunto { u 1 (^) , u 2 ,..., um }é linearmente dependente. ii) Se m < n então o conjunto { u 1 (^) , u 2 ,..., um }não gera o espaço vetorial V.
Teo26. Todas as bases de um espaço vetorial possuem o mesmo número de vetores.
Teo27. Para quaisquer subespaços vetoriais S e U de V , S ∩ U ≠∅ e S + U ≠∅. dem.: S ≤ V ∴ (^0) V (^) ∈ S. U ≤ V ∴ (^0) V ∈ U. Assim, (^0) V ∈ S ∩ U e (^0) V (^) + (^0) V = (^0) V ∈ S + U. Logo, S ∩ U ≠∅e S + U ≠∅.
Teo28. Para quaisquer subespaços vetoriais S e U de V , S ∩ U é um subespaços vetorial de V.
Teo29. Para quaisquer subespaços vetoriais S e U de V , S + U é um subespaço vetorial de V.
Teo30. Seja S é um subespaço vetorial de V tal que S ≠ { 0 (^) V }. Então dim S ≤ dim V.
Teo31. Se V é a soma direta dos subespaços vetoriais S e U então todo vetor v ∈ V é escrito de maneira única na forma v = s + u , com s ∈ S e u ∈ U. dem.: (escrita) Como V = S + U Então, para todo v ∈ V , v = s + u para algum s ∈ S e u ∈ U. (unicidade) (RAA) Supondo que existam s , s '∈ S , s ≠ s 'e u,u' ∈ U,u ≠ u ' tais que v = s + u e v = s ' + u '. Assim, s + u = s ' + u '. Pelas propriedades do EV, s + ( − s ')= u '+(− u ). Como S ≤ V , s +(− s ')∈ S , e, analogamente, como U ≤ V , u '+(− u )∈ U. Assim, s + ( − s ')∈ S ∩ U e u '+(− u )∈ S ∩ U. Por hipótese, S ∩ U ={ 0 (^) V }. Então, s + ( − s ')= (^0) V (^) e u '+(− u )= (^0) V. Assim, s = s ' e u '= u. Contradição. Logo, vale a unicidade.
