Baixe Álgebra Linear UERJ - matrizes e outras Notas de estudo em PDF para Geometria Analítica e Álgebra Linear, somente na Docsity!
MATRIZES
Definição
Conjunto de números reais (ou complexos) dispostos em forma de tabela, isto é, distribuídos em m
linhas e n colunas, sendo m e n números naturais não nulos.
m m mn
n
n
a a ... a
a a ... a
a a ... a
A
1 2
21 22 2
11 12 1
Notação: A = ( aij ) m × n com i = 1 , 2 ,..., m e j = 1 , 2 ,..., n
a (^) ij - elemento genérico da matriz A
i - índice que representa a linha do elemento aij
j - índice que representa a coluna do elemento aij m × n - ordem da matriz. Lê-se “ m por n ”.
Representações: A =( ) A =[ ] A =
Exemplos:
A representação de um tabuleiro de xadrez pode ser feita por meio de uma matriz 8 × 8.
A matriz A = ( aij ) 2 × 3 onde a (^) ij = i^2 + j é
- A matriz abaixo fornece (em milhas) as distâncias aéreas entre as cidades indicadas:
cidade A cidade B cidade C cidade D
cidadeD
cidadeC
cidadeB
cidadeA
Esta é uma matriz 4 × 4 (quatro por quatro).
- A matriz abaixo representa a produção (em unidades) de uma confecção de roupa feminina
distribuída nas três lojas encarregadas da venda.
shorts blusas saias jeans
lojaIII
lojaII
loja I
Esta é uma matriz 3 × 4 (três por quatro) pois seus elementos estão dispostos em 3 linhas e 4 colunas.
Igualdade
Duas matrizes de mesma ordem A = ( aij ) m × n e B = ( b (^) ij ) m × n são iguais quando a (^) ij = bij para todo
i = 1 , 2 ,..., m e para todo j = 1 , 2 ,..., n.
Matrizes Especiais
1. Matriz Linha
Uma matriz A é denominada matriz linha quando possuir uma única linha. Notação: A = ( aij ) 1 × n
Exemplo: ( − 8 3 4 ) 1 × 3
2. Matriz Coluna
Uma matriz A é denominada matriz coluna quando possuir uma só coluna. Notação: A = ( aij ) m × 1
Exemplo: (^131)
×
3. Matriz Nula
Uma matriz A é denominada matriz nula quando todos os seus elementos forem nulos, isto é, aij = 0 para todo i = 1 , 2 ,..., m e para todo j = 1 , 2 ,..., n.
Notação: (^0) m × n
Exemplo: (^00023)
×
4. Matriz Quadrada Uma matriz A é uma matriz quadrada quando possuir o mesmo número de linhas e de colunas, isto é, m = n.
Notação:
= × =
n n nn
n
n
ij nn
a a a
a a a
a a a
A a
1 2
21 22 2
11 12 1
Diagonal Principal : são os elementos da matriz A onde i = j para todo i , j = 1 , 2 ,..., n. Diagonal Secundária : são os elementos da matriz A onde i + j = n + 1 para todo i , j = 1 , 2 ,..., n. Traço : é o somatório dos elementos da diagonal principal da matriz A , denotado por trA.
nn
n
k
trA = (^) ∑ akk = a + a + + a
1
Exemplo:
1019 ×
33
A
Elementos da diagonal principal: 2, 7 e 9. Elementos da diagonal secundária: 4, 7 e 10. trA = 2 + 7 + 9 = 18
- Um laboratório farmacêutico produz um certo medicamento. Os custos relativos à compra e
transporte de quantidades específicas da substância necessárias para a sua elaboração, adquiridas em dois fornecedores distintos são dados (em reais) respectivamente pelas seguintes matrizes.
preço custo preço custo compra transporte compra transporte
substância C
substância B
substância A
substância C
substância B
substância A
Fornecedor 1 Fornecedor 2
A matriz que representa os custos totais de compra e de transporte de cada uma das substâncias A, B e C é dada por:
Propriedades da Operação de Adição
A1. Associativa : para quaisquer matrizes A , B e C de mesma ordem, ( A + B )+ C = A +( B + C ).
A2. Comutativa : para quaisquer matrizes A e B de mesma ordem, A + B = B + A.
Dem.: Considere matrizes de ordem m × n , A + B = C e B + A = D. cij = aij + bij = bij + aij = d ij para todo i = 1 ,..., m e para todo j = 1 ,..., n. Assim, C = D. Logo, a operação de adição é comutativa.
A3. Elemento Neutro : para toda matriz A, A + (^0) m × n = (^0) m × n + A = A.
A4. Elemento Simétrico :para toda matriz A de ordem m × n existe uma matriz S de mesma ordem
tal que A + S = S + A = (^0) m × n. Sendo A = ( aij ) m × n tem-se S = ( sij ) m × n =−( aij ) m × n.
Notação: S =− A Assim, A + (− A )=(− A )+ A = (^0) m × n. Além disso, A + (− B )= A − B.
A5. Para quaisquer matrizes quadradas A e B de mesma ordem, tr ( A + B )= trA + trB.
Dem: Considere as matrizes de ordem n. tr ( A + B )=( a 11 + b 11 )+...+( ann + bnn )=( a 11 +...+ ann )+( b 11 +...+ bnn )= tr ( A )+ tr ( B )
2. Multiplicação por Escalar
Sejam A = ( aij ) m × n uma matriz e k ∈ R um escalar, define-se a matriz produto por escalar B = k ⋅ A
tal que B = ( b (^) ij ) m × n e bij = k ⋅ aij para todo i = 1 , 2 ,..., m e para todo j = 1 , 2 ,..., n.
Exemplos:
- Sejam e 3 1 7
A = − k.
Então
( 3 ) A
- O quadro abaixo mostra a produção de trigo, cevada, milho e arroz em três regiões, em uma determinada época do ano.
TRIGO CEVADA MILHO ARROZ REGIÃO I (^1200 800 500 ) REGIÃO II (^600 300 700 ) REGIÃO III (^1000 1100 200 )
Com os incentivos oferecidos, estima-se que a safra no mesmo período do próximo ano seja duplicada. A matriz que representa a estimativa de produção para o próximo ano é:
Propriedades da Operação de Multiplicação por Escalar E1. Para toda matriz A e para quaisquer escalares k 1 (^) , k 2 ∈ R , ( k (^) 1 + k 2 )⋅ A = k 1 ⋅ A + k 2 ⋅ A.
E2. Para toda matriz A e para quaisquer escalares k 1 (^) , k 2 ∈ R , ( k 1 (^) ⋅ k 2 )⋅ A = k 1 ⋅( k 2 ⋅ A ).
E3. Para quaisquer matrizes A e B de mesma ordem e para qualquer escalar k ∈ R , k ⋅ ( A + B )= k ⋅ A + k ⋅ B. Dem.: Considere matrizes de ordem m × n , k ⋅ ( A + B )= k ⋅ C = D e k ⋅ A + k ⋅ B = E + F = G. d (^) ij = k ⋅ cij = k ⋅( aij + bij )= k ⋅ aij + k ⋅ bij = eij + fij = g ij , para todo i = 1 ,..., m e para todo j = 1 ,..., n. Assim, D = G. Logo, vale a propriedade.
E4. Para toda matriz A de ordem m × n , 0 ⋅ A = (^0) m × n.
E5. Para toda matriz A de ordem m × n , 1 ⋅ A = A.
E6. Para toda matriz quadrada A e para todo k ∈ R , tr ( k ⋅ A )= k ⋅ trA.
M2. Distributiva da Multiplicação em relação à Adição : para quaisquer matrizes A e B de ordem
m × p , para toda matriz C de ordem p × n e para toda matriz D de ordem l × m , ( A + B )⋅ C = A ⋅ C + B ⋅ C e D ⋅ ( A + B )= D ⋅ A + D ⋅ B.
M3. Elemento Neutro : para toda matriz quadrada A de ordem n , A ⋅ In = In ⋅ A = A
M4. Para quaisquer matrizes quadradas A e B de mesma ordem, tr ( A ⋅ B )= tr ( B ⋅ A ).
M5. Para quaisquer matrizes quadradas A e B de mesma ordem e para todo k ∈ R ,
k ⋅( A ⋅ B )=( k ⋅ A )⋅ B = A ⋅( k ⋅ B )
M6. Para toda matriz quadrada A de ordem n , A. (^0) n × n = (^0) n × n ⋅ A = (^0) n × n
Em geral, não vale a propriedade comutativa para a operação de multiplicação.
Assim, A ⋅ B ≠ B ⋅ A.
Quando A ⋅ B = B ⋅ A , diz-se que A e B são matrizes comutáveis , ou ainda que A e B são matrizes
que comutam entre si.
Por M6, qualquer matriz quadrada comuta com a matriz quadrada nula de mesma ordem.
Exemplos:
- Sejam as matrizes A = ( aij ) 2 × 3 e B = ( bij ) 3 × 2.
A ⋅ B = C =( c (^) ij ) 2 × 2 ≠( dij ) 3 × 3 = D = B ⋅ A.
- Sejam as matrizes A = ( aij ) 2 × 3 e B = ( bij ) 3 × 1.
A ⋅ B = C =( cij ) 2 × 1 e a matriz produto B ⋅ A não é definida.
- Sejam (^)
A e (^)
B.
A B = B ⋅ A
- Sejam (^)
A e (^)
B.
Assim, A B = B ⋅ A
Logo, as matrizes A e B comutam entre si.
Potência de uma Matriz Quadrada de Ordem n.
A = I n 0
A^1 = A A^2 = A ⋅ A ..................................... A k^ = A ⋅ Ak −^1 = Ak −^1 ⋅ A
Toda matriz quadrada A comuta com qualquer potência natural de A.
Exemplos:
- Seja (^)
A.
Então (^)
A A A.
- Sejam o polinômio f ( x )= x^2 + 2 x − 11 e a matriz (^)
A.
Determinando o valor f ( A ): 2 2 1 0 f ( x )= x + 2 x − 11 = x + 2 x − 11 x
2
2 1 0 2 1 f ( A )= A + 2 ⋅ A − 11 ⋅ A = A + 2 ⋅ A − 11 ⋅ I
f ( A )
A matriz A é uma raiz do polinômio, já que f ( A )= (^0) 2 × 2.
Matriz Idempotente Uma matriz quadrada A é idempotente quando A = A 2 .
Exemplo: A matriz
é idempotente. (Verifique!)
4. Transposição
Seja a matriz A = ( a (^) ij ) m × n , define-se a matriz transposta B tal que B = ( bij ) n × m e bij = aji , isto é, é a
matriz obtida a partir da matriz A pela troca de suas linhas pelas colunas correspondentes. Notação: B = At
Propriedades da Operação de Transposição T1. Involução : para toda matriz A, ( A t^ ) t = A.
T2. Para quaisquer matrizes A e B de mesma ordem, ( A + B ) t^ = At + Bt. Dem.: Considere matrizes de ordem m × n , ( A + B ) t^ = Ct = D e A t^ + Bt = E + F = G. d (^) ij = cji = aji + bji = eij + fij = g ij para todo i = 1 ,..., m e para todo j = 1 ,..., n. Assim, D = G.
T3. Para toda matriz A e para todo escalar k ∈ R , ( k ⋅ A ) t^ = k ⋅ At.
T4. Para toda matriz A de ordem m × p e para toda matriz B de ordem p × n , ( A ⋅ B ) t^ = Bt ⋅ At.
T5. Para toda matriz quadrada A , tr ( At^ )= trA.
Verifica-se também que B ⋅ A = In.
Então a matriz inversa da matriz A é (^)
− 1 2
A.
- A matriz
não possui inversa.
Propriedades das Matrizes Invertíveis I1. Involução : A = A − 1 − 1 ( ).
I2.
1 1 1 ( ) − − − A ⋅ B = B ⋅ A. dem.: A ⋅ B ⋅ B ⋅ A = A ⋅ B ⋅ B ⋅ A = A ⋅ In ⋅ A = A ⋅ A = In − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 ( ) ( ) ( ( )) ( ).
Analogamente, B ⋅ A ⋅ A ⋅ B = B ⋅ A ⋅ A ⋅ B = B ⋅ In ⋅ B = B ⋅ B = In − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 ( ) ( ) ( ( )) ( ). Logo, o produto é invertível.
I3.
t t ( A ) ( A ) − 1 − 1 =.
Semelhança de Matrizes Duas matrizes A , B ∈ Matn ( R ) são semelhantes quando existe uma matriz invertível P ∈ Matn ( R )
tal que B P AP − 1 =.
Exemplo: As matrizes (^)
e (^)
são semelhantes.
Considere (^)
P e (^)
3
2 3
1
3
1 3
1 P^1. Assim,
3
2 3
1
3
1 3
1 .
4. Matriz Ortogonal
Uma matriz quadrada A de ordem n invertível é denominada ortogonal quando A −^1 = At.
Exemplo: (^)
cos
cos sen
sen
5. Matriz Normal
Uma matriz quadrada A de ordem n é dita normal quando comuta com sua matriz transposta, isto é, A ⋅ At^ = At ⋅ A.
Exemplo: (^)
Operações Elementares
São operações realizadas nas linhas de uma matriz. São consideradas operações elementares:
OE1. A troca da linha i pela linha j.
L (^) i ↔L j
OE2. A multiplicação da linha i por um escalar k ∈ R não nulo.
L (^) i ← k ⋅L i
OE3. A substituição da linha i por ela mesma mais k vezes a linha j , com k ∈ R não nulo_._
L (^) i ←L i + k ⋅L j
Exemplo:
L 1 ↔ L 3
L 2 ←
L 2
L 2 ← L 2 +(-1)L 1
Matriz Equivalente por Linha
Sejam A e B matrizes de mesma ordem. A matriz B é denominada equivalente por linha a matriz A ,
quando for possível transformar a matriz A na matriz B através de um número finito de operações
elementares sobre as linhas da matriz A.
Exemplo: A matriz
é equivalente a matriz
, pois usando somente operações
elementares nas linhas da primeira matriz foi possível transformá-la na segunda.
Matriz na Forma Escalonada
Uma matriz está na forma escalonada quando o número de zeros, que precede o primeiro elemento não
nulo de uma linha, aumenta linha a linha. As linhas nulas, se existirem, aparecem abaixo das não
nulas.
Exemplos:
L 2 ← L 2 +( − 3 ) L 1
L 3 ← L 3 +( − 1 ) L 1
L 2 ↔ L 3
L 2 ←( − 1 ) L 2
L 3 ← L 3 + 5 L 2
L 1 ← L 1 +( − 2 ) L 2
L 3 ←( − 1 ) L 31
L 2 ← L 2 +( − 1 ) L 3
Justificativa do Método para o Cálculo da Matriz Inversa
Teorema: Uma matriz quadrada A de ordem n é invertível se e somente se a matriz A é equivalente
por linha a matriz I (^) n.
Desta forma, a seqüência de operações elementares que reduz a matriz A na matriz I (^) n , transforma a
matriz I (^) n na matriz − 1 A.
Exemplo: Considere a matriz (^)
A.
A redução da matriz A à matriz identidade é:
L L ( 2 )L
L
L
2 2 1 1 2
Aplicando em I (^) n a mesma seqüência de operações:
L L ( 2 )L
L
L
2 2 1 1 2
Assim, a matriz
é a inversa da matriz A.
2. Cálculo do Determinante
A qualquer matriz quadrada A podemos associar um certo número real denominado determinante da matriz. Notação: det A ou A
É importante observar que: a) Quando trocamos duas linhas de uma matriz A , seu determinante troca de sinal.
b) O determinante da matriz fica multiplicado pelo escalar não nulo k quando todos os elementos de uma certa linha forem multiplicados por k.
c) O determinante não se altera quando utilizamos a operação elementar do tipo L (^) i ← L i + k ⋅L j. (Teorema de Jacobi).
d) O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos da diagonal principal.
O cálculo do determinante de uma matriz quadrada, utilizando-se operações elementares nas linhas da matriz, consiste em encontrar uma matriz triangular equivalente por linha à matriz dada, respeitando-se as propriedades de determinantes acima.
Exemplos:
det =
3 det =
( 3 )det =
( 3 )det
( 3 )det = − ⋅ ⋅ ⋅ − =
det =
( 1 )det =
( 1 )det
det =
det =
( 1 )det
( 2 )det ( 2 ) 111 45 90
( 2 )det = − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =−
Outras informações sobre este tópico encontram-se no Apêndice A.
- Sejam (^)
A e (^)
B. Verifique a igualdade t t t ( A ⋅ B ) = B ⋅ A.
Mostre que se a matriz quadrada A for invertível e A ⋅ B = A ⋅ C então B = C. (Lei do Corte)
Sejam
A e
B. É possível calcular X, na equação A ⋅ X = B?
- Sejam A , B, C e X matrizes quadradas de mesma ordem e invertíveis. Resolva as equações,
considerando X a variável. a) A ⋅ B ⋅ X = C b) C ⋅ A ⋅ Xt^ = C c) A ⋅ X^2 ⋅ C = A ⋅ X ⋅ B ⋅ C d) A ⋅ B −^1 ⋅ X = C ⋅ A e) A^2 ⋅ Xt^ = A ⋅ B ⋅ A
Seja A uma matriz de ordem n tal que a matriz ( A A ) t ⋅ é invertível. A matriz t t A ⋅ A ⋅ A ⋅ A − 1 ( ) é simétrica? E idempotente?
Mostre que a matriz (^)
cos
cos sen
sen é uma matriz ortogonal.
- Determine a, b e c de modo que a matriz
a b c
seja ortogonal.
Mostre que a soma de duas matrizes simétricas é também uma matriz simétrica.
Mostre que o mesmo vale para matrizes anti-simétricas.
Se A e B são matrizes simétricas que comutam entre si então a matriz 2 B ⋅ A também é simétrica? Justifique.
Toda matriz ortogonal é também uma matriz normal? Justifique.
O produto de duas matrizes ortogonais é uma matriz ortogonal? Justifique.
Em uma pesquisa onde foram consideradas 3 marcas de refrigerante, Gelato, Delícia e Suave, o
elemento a (^) ij da matriz abaixo indica a possibilidade de uma pessoa que consuma o refrigerante i passar a consumir o refrigerante j. O elemento da diagonal principal representa a possibilidade de uma pessoa que consuma um determinado refrigerante permaneça consumindo o mesmo refrigerante.
Gelato Delícia Suave
Suave
Delícia
Gelato
a) Qual a possibilidade de uma pessoa que consumia o refrigerante Gelato passar a consumir o refrigerante Suave? E a de quem consumia Suave passar a consumir Gelato? b) Escreva a matriz que indica a possibilidade de se mudar de marca após duas pesquisas.
- Verifique se a matriz
é invertível. Em caso afirmativo, indique a matriz inversa.
- Para que valores de a a matriz
1 1 a
admite inversa?
- Dada a matriz
A. Indique a matriz ( A | I 3 )e determine A −^1.
- Dada a matriz
A^1. Indique a matriz A.
- Determinar o valor de a a fim de que a matriz
1 2 a
seja invertível.
- Calcule o determinante das matrizes
e
- Sabendo que A é uma matriz quadrada de ordem n e que det A = 5 , determine:
a) det( 3 ⋅ A ) b) t det A c) det( − A ) d) 2 det A
- Encontre todos os valores de a para os quais 0 0 3
det (^) =
a
a .
Apêndice A - Determinante
Permutações
Seja um conjunto finito A qualquer, uma permutação em A é qualquer função bijetora f : A → A.
Sendo n a cardinalidade do conjunto, existem n! permutações possíveis.
Exemplos:
- Seja A = { a , b }e as bijeções abaixo:
a a a a
b b b b
A notação usual é:
a b
a b
b a
a b
Nesta notação matricial, a primeira linha indica os elementos originais e a segunda os elementos reorganizados.
- Seja A ={ 1 , 2 , 3 }.
1 2 3 2 1 3
,^
e^
são três das seis permutações possíveis em^ A.
- Seja A = { a , b , c , d }.
b c d a
a b c d é uma das 24 permutações possíveis.
Se A for um conjunto munido de uma relação de ordem, as permutações podem ser classificadas como
permutações pares e permutações ímpares. Uma permutação é par quando o número de elementos -
dentre os elementos reorganizados - “fora de ordem” for par e é ímpar quando este número for ímpar.
Exemplos:
- Seja A ={ 1 , 2 , 3 }com a ordem numérica usual, isto é, 1 ≤ 2 ≤ 3.
1 2 3 2 1 3
e^
são permutações ímpares e^
é par.
- Seja A = { a , b , c , d }com a ordem lexicográfica (alfabética) usual.
b c d a
a b c d é uma permutação ímpar.
Além disto, às permutações pares é associado o sinal positivo e às ímpares o sinal negativo.
O Determinante
Dada uma matriz quadrada A de ordem n é possível fazer corresponder um certo número denominado
determinante da matriz A.
Notação: det A A det( aij ) n × n
Considere, por exemplo, uma matriz quadrada de ordem 3,
31 32 33
21 22 23
11 12 13
a a a
a a a
a a a A , e as permutações
possíveis no conjunto de índices {1, 2, 3}.
A partir da permutação ímpar
associa-se o produto “ − a 11 a 23 a 32 ” , tal que os índices linha
correspondem a primeira linha da representação da permutação, os índices coluna são obtidos da
segunda linha e o sinal negativo da classificação da permutação.
O determinante de uma matriz de ordem 3 é obtido a partir de todas as seis permutações possíveis no
conjunto de índices {1, 2, 3} classificadas e sinalizadas.
Assim, o determinante é dado por:
det A = a 11 a 22 a 33 − a 11 a 23 a 32 − a 12 a 21 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 − a 13 a 23 a 31
Genericamente, para uma matriz de ordem n , o determinante é o número obtido do somatório dos
produtos sinalizados de elementos a (^) ij da matriz, combinados de acordo com as permutações do
conjunto de índices {1, 2,..., n }.
Exemplos:
- det( 6 )= 6
det (^) = 11 22 − 12 21 = − − =−
−^
a a a a
2
det = a a a − a a a − a a a + a a a + a a a − a a a
