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regra do paralelogramo MULTIPLICAÇÃO DE UM VETOR POR UM ESCALAR
Tipologia: Notas de estudo
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Não perca as partes importantes!
Familiarizar os alunos com formalização matemática dada pela álgebra vetorial
Ao final desta aula, você deverá ser capaz de: Realizar operações elementares com vetores; identificar as propriedades dos vetores.
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aula
(Fonte :http://www.novafisica.net).
a aula passada você viu o que são grandezas vetoriais. Viu que para representá-las utilizamos vetores. Hoje nós vamos discutir como você vai fazer operações com esses vetores. Realizar operações com grandezas escalares é muito fácil. Funciona da mesma forma como aprendemos a fazer contas em matemática. Por exemplo, fazer adição de duas grandezas escalares é simples:
10 kg acrescidos de 5 kg dá 15 kg.
Como já sabíamos fazer 10 + 5 =15 e, nesse caso, só acrescen- tamos a unidade. Mas trabalhar com grandezas vetoriais não é tão simples. Veja por que: considere o caso da adição de dois deslocamentos (duas grandezas vetoriais). Como é possível adicionar grandezas que, além dos respectivos módulos, têm direções e sentidos diferentes? Mais ainda, imagine como efetuar subtrações e multiplicações dessas gran- dezas vetoriais? Não sabe como? Se você nunca aprendeu isso, mesmo sendo mais complicado do que trabalhar com grandezas escalares, hoje você vai ver que não é tão difícil assim.
INTRODUÇÃO
= [( xa + xb ), ( ya + yb )]
Ih, parece complicado? Vamos ver isso graficamente? Ok, vamos supor uma grandeza vetorial: o deslocamento de um carro. Se um carro sofrer um deslocamento e logo a seguir sofrer um deslocamento , a soma desses vetores é um terceiro vetor resultante . Geometricamente, a soma pode ser dada através da constru- ção da regra do paralelogramo ou do triângulo. Pela primeira, dese- nhamos o paralelogramo definido a partir dos vetores v^ r 1 e , isto é, colocamos as origens dos dois vetores coincidentes e construí- mos um paralelogramo; o vetor soma (ou vetor resultante) será dado
pela diagonal do paralelogramo cuja origem coincide com a dos dois vetores (a outra diagonal será o vetor diferença). O módulo do vetor resultante é dado pelo comprimento da diagonal do paralelogramo (indicada na figura). Portanto, v^2 = v 12 + v 22 + 2v 1 v 2 cosp , onde p é o ângulo entre os dois vetores. A direção é aquela da reta que contém a diagonal. O sentido é dado a partir do vértice formado pelos dois vetores. Pela regra do triângulo, desenhamos o início de a partir da extremidade de. O vetor soma começa no início de e termina na extremidade de.
regra do paralelogramo
regra do triângulo
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resulta em um terceiro vetor (resultante), cujas propriedades são inferidas a partir da soma dos vetores , e. Esse último tem módulo e direção iguais ao do vetor , mas tem senti- do oposto. Reduzimos o problema da subtração de dois vetores ao problema da soma de e.
Para facilitar suas contas, você também pode fazer uso das com- ponentes de um vetor, especialmente na adição e subtração de vetores. Por exemplo, na soma de vetores, , o vetor resultante é tal que suas componentes são dadas pela soma das componentes de e. Isto é, vx = v1x + v2x , vy = v (^) 1y + v2y. No caso da subtração, , o vetor resultante tem suas componentes dadas pela subtração das componentes
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MULTIPLICAÇÃO DE UM VETOR POR UM ESCALAR
Podemos multiplicar um vetor por um escalar, ou seja, um número k. Dessa operação resulta um novo vetor: com as seguintes características: a) O módulo do novo vetor é o resultado da multiplicação do valor absoluto de k pelo módulo de. b) A direção do novo vetor é a mesma de. c) O sentido de é o mesmo de se k for positivo e oposto ao de se k for negativo. Quando um vetor é multiplicado por um escalar, não importa a ordem do produto realizado, ou seja, o produto é comutativo. Se é um vetor e k é um número real, então
No caso da multiplicação por dois escalares, você também pode primeiro multiplicar o vetor por um dos escalares e o resultado multiplicar pelo outro ou multiplicar os dois escalares e esse resul- tado multiplicar pelo vetor. Ou seja, se é um vetor, e k 1 e k 2 núme- ros escalares reais, então a seguinte equação é válida:
Também vale a distributividade da multiplicação de um escalar sobre a adição de um escalar. Veja o que isso significa: São válidas as seguintes equações
No caso de uma soma de dois vetores e , juntamente com a multiplicação por um número escalar real k , as seguintes equações são válidas:
ur
PRODUTO DE VETORES
Muitas grandezas físicas podem ser expressas concisamente usando o produto de vetores. Como os vetores não são números comuns, seu produto também não é um produto comum. Existem duas definições de um produto entre vetores: o produto escalar e o produto vetorial.
PRODUTO ESCALAR
O nome produto escalar decorre do fato de o resultado desse produ- to ser uma grandeza escalar. Muitas vezes este produto é também de- nominado produto interno. O produto escalar, escrito como , dos vetores e terá como resultado um número real dado pela fórmula:
Ou seja, é dado pelo produto dos módulos de cada um dos vetores multiplicado pelo cosseno do ângulo ã formado pelos dois vetores (medimos ãcomo sendo o menor ângulo entre os dois vetores). Isso implica que o produto escalar de dois vetores ortogonais é igual a zero. Claro que se você conhece o resultado do produ- to escalar entre dois vetores pode encontrar o ângulo formado entre os dois. Uma outra definição do produto escalar, inteira- mente equivalente, em termos das componentes dos vetores, é dada por:
Logo o produto escalar entre dois vetores é igual a soma dos produtos escalares entre seus respectivos componentes. Em física, utilizamos o produto escalar para diversas finalida- des, como o cálculo de um potencial elétrico ou o trabalho realiza- do por uma força constante sobre um corpo.
v 1
Para os versores e (^) k ˆ valem as regras i ˆ^ × ˆ j^ = − ˆ j^ × i ˆ = k^ ˆ ˆ j (^) × k^ ˆ^ = − k ˆ × ˆ j (^) = i ˆ k^ ˆ^ × i ˆ^ = − × i ˆ^ k ˆ =ˆ j Como o produto vetorial de um vetor por ele mesmo é igual a zero i ˆ^ × i ˆ^ = ˆ j^ × ˆ j = k^ ˆ^ × k ˆ=^0
Estes são apenas alguns exemplos de regras universais que os vetores obedecem. Se você tem dificuldade em visualizar como funcionam essas regras você não é o único. Vários conceitos sobre vetores parecessem impossíveis de serem visualizados mesmo. Ainda bem que temos a matemática para nos ajudar a resolver muitos problemas de física sem poder ver exatamente como ficam esses vetores! O zero está em negrito para lembrar que este produto fornece um vetor nulo, isto é, aquele que possui componentes nulos e não possui direção definida.
REPRESENTAÇÃO MATRICIAL DO PRODUTO VETORIAL
Utilizando os versores (^) i ˆ ˆ , j e (^) k ˆ , podemos definir o produto vetorial de dois vetores (^) A^ r^ × B r^ , formalmente, como o determinante da matriz constituída pelos versores e pelas componentes dos vetores. Isto é,
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Portanto, as componentes do vetor são:
PROPRIEDADES GERAIS
A partir das definições anteriores, podemos verificar as propri- edades gerais que se seguem. Se e são vetores, valem as propriedades de comutatividade e associatividade. Vejamos quais são elas: Quando fazemos o produto escalar de dois vetores, não importa em qual ordem os vetores são colocados. Se e são vetores, então:
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ATIVIDADES
Como são dois vetores perpendiculares, que teriam mesmo módulo, portanto a direção apontada é a nordeste, resposta (a).
COMENTÁRIO SOBRE AS ATIVIDADES
Vamos analisar cada resposta: A afirmativa (a) é falsa. O vetor resultante pode até ser maior do que ou. Mas na verdade, quando somamos dois vetores podemos inclusive encontrar um vetor nulo, como quando somamos com , o que daria um vetor menor que ambos. E há outros vários exemplos de negação dessa afirmativa. A afirmativa (b) também é falsa, pois o vetor resultante deve apontar na direção que leva em conta também o módulo dos vetores. Somente no caso de dois vetores com módulos iguais é que o resultante irá apontar na direção média. A afirmativa (c) também é falsa, pois o vetor resultante da soma nunca é perpendicular ao plano contendo e , mas deve estar nesse plano. Portanto a resposta correta é a (d)
f) Agora, como já sabemos o valor do produto escalar, podemos usar a equação para encontramos(â
g) Quaisquer dados vetores:
O produto vetorial será o vetor , em que x, y e z são dados pelo determinante
Que leva às relações:
Ou seja x = b.f - c.e y = c.d – a.f z = a.e – b.d
Então, substituindo os valores de u e v do nosso exercício: temos:
u^ r^ × v r
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CONCLUSÃO
A
melhor forma de se lidar com grandezas vetoriais é introduzir um ente conhecido como vetor. Utilizan- do a representação através de vetores poderemos definir a soma, a subtração e as multiplicações de grandezas vetoriais. A representação gráfica permite-nos exe- cutar uma série de operações com vetores. Além da representação geométrica (ou gráfica), a re- presentação analítica, em que utilizamos as componentes do vetor, também nos permite executar operações com vetores. Devemos escolher a forma mais adequada para reali- zarmos as operações com vetores facilitando nossos cálculos.
h) O módulo do produto vetorial é
Considere o paralelogramo da figura:
o ângulo ß formado entre os vetores e. Então, o triângulo limitado pelos vetores e. terá uma área dada por
A área S do paralelogramo será evidentemente igual ao dobro a área deste triângulo, ou seja: S = 2.A = u.v.sen ß Ora, u.v.sen ß é, exatamente, o módulo do produto vetorial , conforme já vimos, a conclusão é que a área do paralelogramo construído a partir dos vetores e , é igual ao módulo do produto vetorial Assim,
u^ r â
