Baixe Álgebra de Boole: Funções Lógicas, Expressões e Tabelas de Verdade e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Elétrica, somente na Docsity!
Álgebra de Boole
A Álgebra de Boole é uma ferramenta matemática muito utilizada na representação e simplificação de funções binárias (ou lógicas), sendo a sua designação resultante do contributo do Matemático George Boole.
Definições
♦ Variável lógica (ou de Boole ou binária) - Variável que tem por domínio 2 valores lógicos distintos, representados pelos valores 0 e 1 (ou outras designações como FALSE(F) e TRUE (T) ou FALSO(F) e VERDADEIRO(V) ). ♦ Função lógica (ou de Boole ou binária) - Função que tem por contradomínio os valores lógicos 0 e 1. ♦ Operadores/Funções lógicos elementares: Intersecção (conjunção ou produto lógico)- AND
F(A, B)=A⋅B=A B
A B f(A, B)^ =^ A B⋅ 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1
União (disjunção ou soma lógica) - OR
F(A, B)=A+ B
A B f(A, B)^ =^ A^ +B 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1
Complemento (negação ou inversão) – NOT
F(A) =A= A'
A (^) f ( A ) =A 0 1 1 0 ♦ Expressões lógicas - É um conjunto de variáveis (literais) e constantes lógicas (0 e 1) ligadas entre si pelos sinais dos operadores lógicos elementares. Constituem uma das formas para descrever funções lógicas (outras formas: tabelas de verdade, mapas de karnaugh, etc..). Exemplos:
f(A, B, C) = A ⋅ B + C A⋅ ⋅B
f(A, B, C) = 0 + A + C B 1⋅ ⋅
♦ Literal – Cada ocorrência de uma variável na sua forma complementada ou não complementada. ♦ Precedência dos operadores:
- a avaliação de uma expressão lógica é realizada da esquerda para a direita;
- sub-expressões entre parêntesis são avaliadas em primeiro lugar;
- dentro das sub-expressões, primeiro avaliam-se os operadores de negação, depois de produto e, finalmente, de adição. Exemplo: X+Y’. Z é avaliado como (X+(Y’. Z)) ♦ Expressões lógicas equivalentes - Quando uma delas só for igual a 1 quando a outra também for igual a 1, e igual a 0 quando a outra também for igual a 0. ♦ Expressões lógicas complementares - Se uma delas for igual a 1 quando a outra for igual a 0,e vice-versa. ♦ Expressões lógicas duais - Quando de uma se pode obter a outra:
- transformando todos os ⋅⋅⋅⋅ em + (produtos em somas);
- transformando todos os + em ⋅⋅⋅⋅ (somas em produtos);
- transformando todos os 0 em 1 ;
- transformando todos os 1 em 0 ;
- e mantendo as ocorrências das variáveis (literais). Exemplo:
1 ⋅ B + C A B + 0⋅ ⋅ é dual de ( 0 +B)⋅(C+A+B)⋅ 1
Não existe nenhuma relação entre os valores lógicos de expressões duais: podem ser ambas iguais a 0, ambas iguais a 1, ou uma igual a 1 e outra igual a 0. Mas as identidades lógicas duais têm a propriedade de que quando uma é verdadeira a outra também o é.
Exemplo:
Identidades duais - se a identidade A + 0 = Ase verifica então também se verifica a identidade A 1⋅ = A.
♦ Uma função lógica é representada de forma inequívoca por uma tabela de verdade, mas admite a representação através de várias expressões lógicas equivalentes. ♦ Uma função lógica pode ser representada por um circuito lógico (diagrama lógico) constituído por portas lógicas. Exemplo: A função F(X,Y,Z) pode ser representada:
- pela expressão X + Y’.Z
- pela tabela de verdade X Y Z F(X,Y,Z) 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1
- pelo diagrama lógico
Postulados e teoremas da Álgebra de Boole
Postulados
A=0 ou A= 0 ⋅ 0 = 0 1 ⋅ 1 = 1 0 ⋅ 1 = 1 ⋅ 0 = 0 0 + 1 = 1 + 0 = 1 1 + 1 = 1 0 + 0 = 0
Teoremas
Dual T1 (^) A ⋅ 0 = 0 A + 1 = 1 0 - elemento absorvente do produto lógico 1 - elemento absorvente da soma lógica T2 (^) A ⋅ 1 = A A + 0 = A 1 - elemento neutro do produto lógico 0 - elemento neutro da soma lógica T3 (^) A ⋅ A = A A + A = A
T4 A ⋅ A = 0 A + A = 1
T
A = A
Lei da idempotência
T6 (^) A ⋅ B = B ⋅ A A + B = B + A Lei da comutatividade T7 A⋅B⋅C = A⋅(B⋅C) = (A⋅B)⋅C A+B+C = A+(B+C) = (A+B)+C Lei da associatividade T8 A⋅B + A⋅C = A ⋅ (B+C) (A+B) ⋅ (A+C) = A + B.C Lei distributiva
T9 A+A⋅B = A A⋅(A+B)=A Lei da absorção
T10 A + A ⋅ B = A + B A ⋅ (A + B) = A ⋅ B Lei do termo “menor”
T11 A ⋅ B + A ⋅ B = A (A + B) ⋅ (A + B ) = A Lei da adjacência
T12 A B + A C + B C =
A B + A C
(A B) (A C) (B C) =
(A B) (A C)
Lei do termo “incluído”
T13 A ⋅ B = A + B A + B = A ⋅ B Lei de DeMorgan
Formas algébricas das expressões lógicas
Por manipulação algébrica, qualquer expressão pode ser transformada numa das formas algébricas a seguir apresentadas.
Forma soma de produtos e produto de somas
♦ Forma soma de produtos - quando a expressão é constituída por somas lógicas de produtos lógicos (termo produto). Exemplo: F(A,B,C)=ABC+A’B Exprimir F(A,B,C,D)=(A’+BC).(B+C’D) sob a forma soma de produtos. (A’+BC).(B+C’D) ⇔ A’B+A’C’D+BBC+BCC’D ⇔ A’B+A’C’D+BC ♦ Forma produto de somas - quando a expressão é constituída por produtos lógicos de somas lógicas (termo soma). Exemplo: F(A,B,C)=(A+B+C’).(A’+B) Exprimir F(A,B,C,D)=(A’+BC).(B+C’D) sob a forma produto de somas. (A’+BC).(B+C’D) ⇔(A’+B).(A’+C).(B+C’).(B+D)
Formas canónicas
♦ As formas canónicas facilitam o processo de simplificação das expressões lógicas. ♦ mintermo – é um produto em que cada uma das variáveis aparece apenas uma vez, na forma complementada ou não complementada. A cada combinação de valores das variáveis de entrada está associado um mintermo, identificado por m (^) j , onde j é o valor decimal equivalente ao valor binário da combinação para a qual o mintermo tem o valor 1.
X Y Z mintermo símbolo m (^) o m 1 m 2 m 3 m 4 m 5 m 6 m (^7) 0 0 0 X’Y’Z’ m 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 X’Y’Z m 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 X’YZ’ m 2 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 X’YZ m 3 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 XY’Z’ m 4 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 XY’Z m 5 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 XYZ’ m 6 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 XYZ m 7 0 0 0 0 0 0 0 1
♦ Forma canónica soma de produtos (FCSP)- quando a expressão é constituída pela soma lógica dos mintermos para os quais a função toma o valor 1. Exemplo: Dada a tabela de verdade da função F(X,Y,Z) símbolo mintermo X Y Z F F’ m 0 X’Y’Z’ 0 0 0 1 0 m 1 X’Y’Z 0 0 1 0 1 m 2 X’YZ’ 0 1 0 1 0 m 3 X’YZ 0 1 1 0 1 m 4 XY’Z’ 1 0 0 0 1 m 5 XY’Z 1 0 1 1 0 m 6 XYZ’ 1 1 0 0 1 m 7 XYZ 1 1 1 1 0
A forma canónica soma de produtos (FCSP) de F(X,Y,Z) é dada pela expressão F(X,Y,Z)=X’Y’Z’+X’YZ’+XY’Z+XYZ=m 0 +m 2 +m 5 +m (^7) F(X,Y,Z)=∑m(0,2,5,7) (notação reduzida da FCSP) O complemento da função contém os mintermos não incluídos na função original. Para o exemplo anterior, temos F’(X,Y,Z)=X’Y’Z+X’YZ+XY’Z’+XYZ’=∑m(1,3,4,6)
♦ Qualquer expressão lógica de uma função pode ser manipulada de modo a exprimir-se na FCSP. Exemplo: Exprimir F(A,B,C)=A+BC sob a forma canónica soma de produtos.
A+BC
⇔AB+AB’+BC
⇔ABC+ABC’+AB’C+AB’C’+BC
⇔ABC+ABC’+AB’C+AB’C’+ABC+A’BC
⇔ABC+ABC’+AB’C+AB’C’+A’BC
F(A,B,C)= ∑m(3,4,5,6,7)
♦ maxtermo- é uma soma em que cada uma das variáveis aparece apenas uma vez, na forma complementada ou não complementada. A cada combinação de valores das variáveis de entrada está associado um maxtermo, identificado por M (^) j , onde j é o valor decimal equivalente ao valor binário da combinação para a qual o maxtermo tem o valor 0.
X Y Z maxtermo símbolo Mo M 1 M 2 M 3 M 4 M 5 M 6 M 7 0 0 0 X+Y+Z M 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 X+Y+Z’ M 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 X+Y’+Z M 2 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 X+Y’+Z’ M 3 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 X’+Y+Z M 4 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 X’+Y+Z’ M 5 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 X’+Y’+Z M 6 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 X’+Y’+Z’ M 7 1 1 1 1 1 1 1 0
♦ Forma canónica produto de somas (FCPS)- quando a expressão é constituída pelo produto lógico dos maxtermos para os quais a função toma o valor 0. Exemplo: Dada a tabela de verdade da função F(X,Y,Z) símbolo maxtermo X Y Z F F’ M 0 X+Y+Z 0 0 0 1 0 M 1 X+Y+Z’ 0 0 1 0 1 M 2 X+Y’+Z 0 1 0 1 0 M 3 X+Y’+Z’ 0 1 1 0 1 M 4 X’+Y+Z 1 0 0 0 1 M 5 X’+Y+Z’ 1 0 1 1 0 M 6 X’+Y’+Z 1 1 0 0 1 M 7 X’+Y’+Z’ 1 1 1 1 0
A forma canónica produto de somas (FCPS) de F(X,Y,Z) é dada pela expressão F(X,Y,Z)=(X+Y+Z’).(X+Y’+Z’).(X’+Y+Z).(X’+Y’+Z) =M 1 .M 3 .M 4 .M 6 F(X,Y,Z)=∏M(1,3,4,6) (notação reduzida da FCPS) O complemento da função contém os maxtermos não incluídos na função original. Para o exemplo anterior, temos F’(X,Y,Z)=(X+Y+Z).(X+Y’+Z).(X’+Y+Z’)(X’+Y’+Z’) =∏M(0,2,5,7)
♦ Qualquer expressão lógica de uma função pode ser manipulada de modo a exprimir-se na FCPS. Exemplo: Exprimir F(A,B,C)=A’. (B’+C) sob a forma canónica produto de somas. A’. (B’+C) ⇔(A’+B).(A’+B’).(B’+C) ⇔(A’+B+C).(A’+B+C’).(A’+B’+C).(A’+B’+C’).(B’+C) ⇔(A’+B+C).(A’+B+C’).(A’+B’+C).(A’+B’+C’).(A+B’+C).(A’+B’+C) ⇔(A’+B+C).(A’+B+C’).(A’+B’+C).(A’+B’+C’).(A+B’+C) F(A,B,C)= =∏M(2,4,5,6,7)
Formas mínimas
Forma em que o número de termos e número de literais é mínimo. Constitui o ponto de partida para a implementação em circuitos lógicos com portas lógicas discretas, porquanto conduzem, normalmente, à implementação mais simples.
♦ Forma mínima soma de produtos (FMSP)- quando a expressão é constituída por uma soma de produtos tal que o somatório do número de produtos e do número de literais é mínimo.
♦ Forma mínima produto de somas (FMPS)- quando a expressão é constituída por um produto de somas tal que o somatório do número de somas e do número de literais é mínimo.
e o valor 0 para as combinações 000, 011, 100, 101 e 111 Recorrendo à definição de mintermo e maxtermo, facilmente se obtém da tabela a expressão lógica da função na forma canónica soma de produtos: F(A,B,C)=A’B’C+A’BC’+ABC’=m 1 +m 2 +m 6 =∑m(1,2,6) ou na forma canónica produto de somas: F(A,B,C)=(A+B+C).(A+B’+C’).(A’+B+C).(A’+B+C’).(A’+B’+C’)=M 0 .M 3 .M 4 .M 5 .M 7 =∏M(0,3,4,5,7)
Determinação da tabela de verdade a partir de uma expressão lógica
1º Método – Avaliação da expressão recorrendo a cálculos intermédios
F(X,Y,Z)=X+YZ’
Var. entrada Cálculos intermédios F(X,Y,Z) X Y Z Z’ Y.Z’ X+YZ’ 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 Para expressões mais complexas, este método pode tornar-se moroso e é bastante susceptível a erros.
2º Método – Interpretação/leitura da expressão lógica
Quando as expressões lógicas estão na forma soma de produtos ou produtos de somas, é possível efectuar-se uma interpretação/leitura da expressão que permita a obtenção da tabela de verdade de uma forma expedita. Exemplo: F(X,Y,Z)=X+YZ’ A expressão encontra-se na forma soma de produtos, logo podemos concluir que a função F toma o valor 1: quando X=1 ou quando Y. Z’= ⇔X=1 ; ∀ Y ; ∀ Z ⇔∀ X ; Y=1 ; Z’= (Nº termo= 4;5;6;7) ⇔∀ X ; Y=1 ; Z= (Nº termo= 2;6)
Nº termo X Y Z F(X,Y,Z) 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 2 0 1 0 1 3 0 1 1 0 4 1 0 0 1 5 1 0 1 1 6 1 1 0 1 7 1 1 1 1 F(X,Y,Z)=X+YZ’ ⇔(X+Y).(X+Z’) A expressão encontra-se na forma produto de somas, logo podemos concluir que a função F toma o valor 0: quando X+Y=0 ou quando X+Z’= ⇔X=0 ; Y=0 ; ∀ Z ⇔X=0 ; ∀ Y ; Z’= (Nº termo= 0;1) ⇔X=0 ; ∀ Y ; Z= (Nº termo= 1;3) Nº termo X Y Z F(X,Y,Z) 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 2 0 1 0 1 3 0 1 1 0 4 1 0 0 1 5 1 0 1 1 6 1 1 0 1 7 1 1 1 1
