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MTM5801 - H-C´alculo I - 2011/ Prof. Gilles Gon¸calves de Castro
Tabelas-verdade
(Com aplica¸c˜oes para opera¸c˜oes em conjuntos)
Apresentamos alguns elementos da l´ogica matem´atica (ver por exemplo [1] e [2]) e como utilizar tais elementos para fazer algumas demonstra¸c˜oes com teoria de conjuntos (ver por exemplo [3]).
Defini¸c˜ao 1 Uma proposi¸c˜ao ´e um conjunto de palavras ou s´ımbolos que exprimem um pensamento de sentido completo.
Defini¸c˜ao 2 Uma proposi¸c˜ao simples ´e aquela que n˜ao cont´em outra pro- posi¸c˜ao como parte integrante de si mesma.
Exemplos de proposi¸c˜oes simples: p: Pedro ´e estudante. q: O n´umero 25 ´e um quadrado perfeito. r: x ∈ A
Defini¸c˜ao 3 Uma proposi¸c˜ao composta ´e aquela feita pela composi¸c˜ao de duas ou mais proposi¸c˜oes.
Exemplos de proposi¸c˜oes compostas: P: Pedro ´e estudante e Maria ´e professora. Q: Se o n´umero 25 ´e quadrado perfeito ent˜ao a raiz quadrada de 25 ´e um n´umero inteiro. R: x ∈ A ou x ∈ B. Uma tabela-verdade apresenta todos os valores l´ogicos poss´ıveis para uma proposi¸c˜ao simples, a combina¸cao v´arias proposi¸c˜oes simples e o eventual valor l´ogico de um proposi¸c˜ao composta para cada combina¸c˜ao dos valores das proposi¸c˜oes simples que a formam. Na l´ogica cl´assica, trabalhamos com o princ´ıpio do terceiro exclu´ıdo, ou seja, dada uma proposi¸c˜ao qualquer, os ´unicos valores que ela pode assumir ´e V ou F. Se temos apenas uma proposi¸c˜ao simples p, sua tabela-verdade seria:
p V F
Com duas proposi¸c˜oes simples p e q, temos:
p q V V V F F V F F
Note que o n´umero de casos poss´ıveis para n proposi¸c˜oes simples ´e 2n.
Observa¸c˜ao 4 Em alguns casos, j´a sabemos que o valor l´ogico de uma pro- posi¸c˜ao. Nestes casos, na hora de montar a tabela verdade, n˜ao usaremos todos os valores l´ogicos poss´ıveis, mas apenas aquele que a proposi¸c˜ao as- sume. Por exemplo, a proposi¸c˜ao p:x ∈ ∅ ´e sempre falta, ent˜ao sua tabela ver- dade seria:
p F
Para proposi¸c˜oes compostas, usaremos alguns conectivos b´asicos ou com- bina¸c˜oes delas. Vejamos as principais:
Nega¸c˜ao: (s´ımbolo: ¬)
p ¬p V F F V
¬p lˆe-se “n˜ao p”.
Conjun¸c˜ao: (s´ımbolo: ∧)
p q p∧q V V V V F F F V F F F F
p∧q lˆe-se “p e q”.
Observa¸c˜ao 7 Gra¸cas a esse exemplo, ao inv´es de mostrarmos uma afirma¸c˜ao do tipo “se p ent˜ao q”, podemos mostrar sua forma equivalente “se n˜ao q ent˜ao n˜ao p”. Uma demonstra¸c˜ao desse tipo ´e chamada de prova pela contra- positiva.
Agora, vejamos como demonstrar algumas igualdades de conjuntos usando tabela verdade. Lembre que a uni˜ao corresponde ao conectivo “ou” e a in- tersec¸c˜ao corresponde ao conectivo “e”.
Exemplo 8 A ∪ ∅ = A
Seja p: x ∈ A e q: x ∈ ∅ e note que q assume apenas o valor l´ogico F. Nossa igualdade ´e o mesmo que p∨q ´e equivalente a p.
p q p∨q V F V F F F
Exemplo 9 A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
Neste caso as proposi¸c˜oes s˜ao p: x ∈ A, q: x ∈ B e r: x ∈ C. Nossa igualdade se transforma em p∨(q∧r) ´e equivalente a (p∨q)∧(p∨r)
p q r p∨q p∨r q∧r p∨(q∧r) (p∨q)∧(p∨r) V V V V V V V V V V F V V F V V V F V V V F V V V F F V V F V V F V V V V V V V F V F V F F F F F F V F V F F F F F F F F F F F
Referˆencias
[1] Cezar A. Mortari, Introdu¸c˜ao `a L´ogica, Editora Unesp.
[2] Edgar de Alencar Filho, Inicia¸c˜ao `a L´ogica Matem´atica, Editora Nobel.
[3] Elon Lages Lima, Curso de An´alise Volume 1, Projeto Euclide, IMPA.
