Algoritmo Simplex, Notas de estudo de Algoritmos

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Campus - Mossoró

Profª Adricia Fonseca Mendes

Algoritmo Simplex

PRINCÍPIO DO ALGORITMO

SIMPLEX

 Já vimos que a solução ótima de um PPL é um

ponto extremo (solução básica viável).

 Em grandes problemas o número de pontos

extremos pode ser muito grande.

 Como evitar o teste de todas as soluções viáveis

básicas possíveis para garantir a otimização do

sistema?

2

Notas de aula Professor: Rodrigo A. Scarpel

Sujeito a:

• Max z = 3x 1 + 2x - x 1 + x 2 ≤
  • 5x 1 + 2x 2 ≤ - x 1 , x 2 ≥

Início: Forma Padrão

Encontrar uma solução SBF* inicial

A solução é ótima?

Variável que entra

Variável que sai

Utilizar o método Gauss-Jordan e recalcular a solução básica

Sim Fim

Não

*Solução Básica Factível

ø Fim

Tableau Simplex

Na forma tabular, a função de maximização passa a ser

escrita como:

z = 3x 1 + 2x 2 => z-3x 1 - 2x 2 = 0

z x 1 x 2 x 3 x 4

z 0 1 -3 -2 0 0 0

x 3 1 0 1 1 1 0 6

x 4 2 0 5 2 0 1 20

Variável

básica

Nº da

equação

Valor

Coeficientes

z x 1 x 2 x 3 x 4

z 0 1 -3 -2 0 0 0

x 3 1 0 1 1 1 0 6

x 4 2 0 5 2 0 1 20

Variável

básica

Nº da

equação

Valor

Coeficientes

• Neste problema, temos m = 2 restrições e n = 4 variáveis.
• Para termos uma solução básica viável, é preciso pelo menos n –

m = 2 variáveis nulas e que todas as variáveis tenham valores não-

negativos.

• Solução básica factível: x 3 = 6 e x 4 = 20 com z=

Solução: {x 1 , x 2 , x 3 , x 4 } ={0, 0, 6, 20}

Teste de otimalidade:

 Como os coeficientes de x 1 e x 2 são negativos na linha 0, a SBF atual não é ótima, pois um incremento positivo em x 1 e x 2 resultará em SBF adjacente melhor do que a SBF atual.

Início: Forma Padrão

Encontrar uma solução SBF* inicial

A solução é ótima?

Variável que entra

Variável que sai

Utilizar o método Gauss-Jordan e recalcular a solução básica

Sim Fim

Não

*Solução Básica Factível

ø Fim

z (^) x 1 x 2 x 3 x 4 z 0 1 -3 -2 0 0 0 x 3 1 0 1 1 1 0 6 x 4 2 0 5 2 0 1 20

Variável básica

Nº da equação

Coeficientes Valor

Entra

Início: Forma Padrão

Encontrar uma solução SBF* inicial

A solução é ótima?

Variável que entra

Variável que sai

Utilizar o método Gauss-Jordan e recalcular a solução básica

Sim Fim

Não

*Solução Básica Factível

ø Fim

• Escolhe-se a variável que limita mais o crescimento de x 1 , ou

seja, a linha com menor quociente.

z x 1 x 2 x 3 x 4

z 0 1 -3 -2 0 0 0

x 3 1 0 1 1 1 0 6 6/1=

x 4 2 0 5 2 0 1 20 20/5=

Variável

básica

Nº da

equação

Coeficientes

Valor

Entra

Sai

Entra

Sai

z x 1 x 2 x 3 x 4

z 0 1 -3 -2 0 0 0

x 3 1 0 1 1 1 0 6

x 4 2 0 5 2 0 1 20

Variável

básica

Nº da

equação

Coeficientes

Valor

Pivô

• Nova linha pivô

z (^) x 1 x 2 x 3 x 4 z 0 1 -3 -2 0 0 0 x 3 1 0 1 1 1 0 6 x 4 2 0 1 2/5 0 1/5 4 ÷ 5

Variável básica

Nº da equação

Coeficientes Valor

z (^) x 1 x 2 x 3 x 4 z 0 1 -3 -2 0 0 0 x 3 1 0 0 3/5 1 - 1/5 2 (-1)×Eq.2+Eq. x 1 2 0 1 2/5 0 1/5 4

Variável básica

Nº da equação

Coeficientes Valor

• Nova linha da equação 1