Simplex-Casos Especiais do Simplex, Notas de estudo de Informática

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Campus - Mossoró

Profª Adricia Fonseca Mendes

Algoritmo Simplex – Casos Especiais

Notas de Aula da Profª Amanda Gondim de Oliveira

Introdução

• Esta seção considera quatro casos especiais que podem

surgir na utilização do método simplex:

• Degeneração
• Múltiplas soluções ótimas
• Soluções Ilimitadas
• Soluções Inviáveis

Degeneração

• Dadas as variáveis de folga x 3 e x 4 , seguem as iterações do simplex:
• Na iteração 0, x 3 e x 4 empatam no critério que determina a variável que sai, o que leva à degeneração na iteração 1 porque a variável básica x 4 assume valor igual a zero.

Degeneração

• Qual a implicação prática da degeneração?

Degeneração

• Observe que 3 retas passam pelo ponto ótimo, consequentemente 1 delas é redundante.
• O fato de saber alguns recursos são supérfluos pode ser valioso durante a implementação da solução.

Múltiplas Soluções Ótimas

• Quando a função objetivo tem direção paralela a uma restrição, a mesma pode assumir o mesmo valor em mais de um ponto de solução, ou seja, Múltiplas soluções ótimas.

Múltiplas Soluções Ótimas

• Observe os coeficientes das variáveis não básicas na equação Z da iteração 1.
• O coeficiente de x é zero, o que indica que x1 pode entrar na base sem alterar o valor de z.

Múltiplas Soluções Ótimas

• A iteração 2 faz exatamente isso, onde x1 entra e x4 sai da base.
• O novo ponto ótimo é C ( x1=3 e x2=1) e z=10.

Múltiplas Soluções Ótimas – 2 ° Exemplo

Portanto, as duas soluções ótimas são (4, 3, O, 6, 0) e (2, 6, 2, O, O), cada uma delas levando a Z = 18. Logo, estas duas são as únicas soluções que são ótimas e todas as demais soluções ótimas são uma combinação convexa dessas duas.

Em que os pesos w1 e w2 são números que satisfazem as relações:

Por exemplo considerando: w1= 1/3 e w2= 2/

Então este ponto é caracterizado como uma combinação convexa das duas soluções ótimas e. Portanto, toda solução ótima no exemplo é uma combinação convexa destas soluções. (^) HILLIER, LIEBERMAN (2006)

Múltiplas Soluções Ótimas

• Na prática, múltiplas soluções ótimas são úteis porque podemos escolher entre muitas soluções sem que o valor da função objetivo sofra deterioração.
• No exemplo, a solução em B mostra que somente a atividade 2 é positiva, já em C ambas as atividades são positivas.
• Se o exemplo representar um mix de produtos, pode haver vantagem em produzir dois produtos em vez de um para enfrentar a concorrência de mercado.
• Nesse caso, a solução em C pode ser mais atraente.

Solução Ilimitada

• Na tabela inicial, x1 e x2 têm coeficientes negativos na equação Z, ou seja, qualquer uma pode melhorar a solução.
• Caso escolhêssemos x2 para entrar na base, qual variável iria sair da base? - Todos os coeficientes são negativos ou zero.
• Não há nenhuma variável que saia e que x possa ser aumentada indefinidamente sem violar nenhuma das restrições.

Solução Inviável

• Problemas de PL podem não ter nenhuma solução viável.
• Os problemas que usam variáveis artificiais, terão as mesmas iguais a zero se o modelo tiver uma região viável.
• Caso contrário, ao menos uma variável artificial será positiva na iteração ótima.

Exercícios

• 2. Max z = 20x1 + 10 x2 + x
• 3x1 – 3x2 + 5x3 ≤
• x1 + x3 ≤
• x1 – x2 + 4x3 ≤
• x1, x2, x3 ≥