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livro de analise usado na ufpi
Tipologia: Manuais, Projetos, Pesquisas
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Não perca as partes importantes!
Prof. Dr. Francinildo Nobre Ferreira Profª. Dra. Adélia Conceição Diniz Prof. Dr. Carlos Alberto Raposo da Cunha Prof. Dr. Guilherme Chaud Tizziotti
.
Reitor Helvécio Luiz Reis Coordenador UAB/NEAD/UFSJ Heitor Antônio Gonçalves Coordenadora do curso Educação Empreendedora Rosângela Maria de Almeida Camarano Leal Coordenador do curso Matemática Carlos Alberto Raposo da Cunha Coordenadores do curso Práticas de Letramento e Alfabetização Gilberto Aparecido Damiano Maria José Netto Andrade Conselho Editorial Adélia Conceição Diniz Alessandro de Oliveira Bernadete Oliviera Sidney Viana Dias Betânia Maria Monteiro Guimarães Frederico Ozanan Neves Geraldo Tibúrcio de Almeida e Silva Gilberto Aparecido Damiano Guilherme Chaud Tizziotti Ignácio César de Bulhões Luiz Fernando de Carvalho Maria do Carmo Santos Neta Maria do Socorro Alencar Nunes Macedo Maria José Netto Andrade Marise Santana da Rocha Rosângela Branca do Carmo Terezinha Lombello Ferreira Edição Núcleo de Educação a Distância - NEAD-UFSJ Conselho Editorial NEAD-UFSJ Capa / Diagramação Luciano Alexandre Pinto
Prezado(a) aluno(a):
É com alegria que estamos iniciando o estudo da disciplina Análise Real. É bom estar com você nesta oportunidade. Vamos aproveitar da melhor forma possível este momento, a fim de que você possa enriquecer seus conhecimentos.
Desde que começou a falar, você aprendeu a contar brinquedos, degraus de escadas, passarinhos etc. Já um pouco mais crescido, aprendeu que os números que você usava para contar: 1, 2, 3, 4 etc eram conhecidos como números naturais e que esse conjunto geralmente é denotado por N. Ou seja,
N = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 ,L}.
Tempos depois, você também aprendeu que, na necessidade da representação de temperaturas abaixo de zero, saldo negativo em bancos, ou outros motivos, surgiu o conjunto dos números inteiros, que geralmente é denotado por Z:
Z = {K , − 4 ,− 3 ,− 2 ,− 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 ,L}.
Posteriormente, conheceu o conjunto dos números racionais, denotado geralmente por Q e representado por:
= ^ ; p,q∈Z,q≠ 0 q Q p.
Você conheceu também o conjunto dos números irracionais, chegando, desse modo, ao conjunto dos números reais, que é a união do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais e que neste texto será denotado por R.
No ensino fundamental você conheceu a raiz quadrada de alguns números, por
exemplo: 2 , 3 , 5 ,... etc. Em outras palavras, admitia-se a existência das raízes quadradas
de números reais não-negativos sem maiores justificativas. Mas você já pensou na justificativa da existência dessas raízes? Você conhece algum processo para calcular valores aproximados para essas raízes?
Nesta disciplina, além de refletirmos sobre essas perguntas, retomaremos, para tratarmos de modo mais preciso, vários conceitos estudados no cálculo diferencial e integral, que certamente você já cursou.
Os conteúdos que abordaremos nesta disciplina são distribuídos em oito Unidades. As Unidades 1 e 4 têm apenas uma aula; as Unidades 3 e 8 duas aulas; as Unidades 2, 6 e 7 três, aulas; e a Unidade 5, quatro aulas. Embora o número de aulas em cada Unidade não seja o mesmo, você terá uma semana (7 dias) para concluir cada Unidade, já incluído nesse tempo a entrega das tarefas.
Certamente, ao cursar esta disciplina, você irá enriquecer seus conhecimentos na área de Matemática, de modo que estará mais capacitado para desenvolver suas atividades profissionais com mais autoconfiança, além de uma melhor base para continuar seus estudos em Matemática.
Unidade 1
Objetivos
Ao final desta Unidade, você será capaz de:
Introdução
Nesta Unidade, inicialmente você recordará alguns conceitos, relacionados ao conjunto dos números reais, e ao final verá a definição de valor absoluto e suas principais propriedades. Os conhecimentos revisados nesta Unidade serão utilizados nas Unidades posteriores.
Embora esta Unidade não esteja dividida em aulas, você deverá dedicar-se a ela os 7 primeiros dias de estudo desta disciplina, já incluída a entrega das tarefas, a fim de que revise e se familiarize com esses conceitos.
Nesta Unidade você revisará:
Além da revisão mencionada, você verá também a definição de valor absoluto de um número real e suas principais propriedades, que serão apresentadas por meio dos exercícios, no final desta Unidade.
Admitiremos o conjunto dos números reais, denotado por R, e introduziremos algumas definições e propriedades, nesse conjunto, de modo resumido. Para maiores detalhes, inclusive para as demonstrações, consulte Lima (2007). Assumiremos o conjunto dos números reais R como um corpo, ou seja, um conjunto no qual são definidas duas operações, chamadas adição, denotada por +, e multiplicação, denotada por “.”, que satisfazem certos axiomas. Geralmente, omitimos o ponto ao escrevermos a multiplicação. Em outras palavras, consideraremos as operações:
xy x y
: (^) e xy xy
e admitiremos que elas satisfaçam os seguintes axiomas:
1.1) Associatividade: ( x + y)+z=x+(y+z)e(xy)z=x(yz),∀x,y,z∈R.
1.2) Comutatividade: x + y=y+xexy=yx, ∀x,y∈R.
1.3) Elementos neutros: existem dois elementos distintos em R, 0 e 1, tais que x + 0 =xex. 1 =x,∀x∈ R.
1.5) Distributividade: x ( y+ z)=xy+xz,∀x,y,z∈R.
Desses axiomas, seguem todas as propriedades familiares com os números reais. Como exemplos, podemos citar:
As demonstrações dessas propriedades seguem da definição de corpo ordenado e das propriedades de corpo. Para maiores detalhes, consulte Lima (2007).
Dados a , b∈ R,a<b, adotaremos as seguintes notações clássicas para intervalos: intervalo
aberto ( a, b), intervalo fechado [ a, b], intervalo semiaberto ou semifechado [ a, b),(a,b].
Um outro exemplo de corpo ordenado é o corpo Q dos números racionais com a relação de
ordem dos números reais.
Uma outra propriedade relativa ao conjunto dos números reais é que ele é um corpo ordenado completo, que definiremos após introduzirmos alguns conceitos.
Um conjunto X ⊂ Rdiz-se limitado superiormente (respectivamente inferiormente); quando existe uma constante real b tal que (^) x ≤ b, ∀x∈X,nesse caso, dizemos que b é uma
cota superior para o conjunto X. Quando existe a ∈ Rtal que a ≤ x, ∀x∈X, nesse caso,
dizemos que X é limitado inferiormente e que a é uma cota inferior para X. Quando X é limitado superior e inferiormente, dizemos que X é limitado.
Exemplos 1.
a) O conjunto X =( − 2 , 4 ]∪[ 6 , 10 )é um conjunto limitado. Sendo − 2 uma cota inferior e 10
uma cota superior para X.
b) O conjunto N dos números naturais é limitado inferiormente por 0, mas não é limitado superiormente.
c) O conjunto Z dos números inteiros não é limitado nem inferiormente, nem superiormente.
Seja X ⊂ Rum conjunto não-vazio limitado superiormente. O supremo do conjunto X , que denotaremos por sup X, é definido como a menor das cotas superiores de X. Em outras
palavras, b é o supremo do conjunto X quando:
i) b é cota superior para X,
ii) se (^) c for uma cota superior para X ,então (^) b ≤ c.
Observação 1.
A condição (ii) pode ser formulada do seguinte modo: se c > a, então existe x ∈ X,tal que
Exemplos 1.
a) Se X ⊂ R é o intervalo aberto X =(− 3 , 4 ), então inf X =− 3. Observe que nesse
exemplo inf X ∉X. b) Se X ⊂ R é o intervalo semiaberto X =[− 3 , 4 ), então inf X =− 3. Nesse caso,
inf X ∈ X. c) Considere o corpo ordenado dos números racionais Q e o conjunto
A = {x^ ∈Q; 0 <x< 1 }.
O conjunto A é limitado inferiormente e inf A = 0. Nesse caso, também temos que inf A ∉A.
Um outro conceito muito importante relativo ao corpo dos números reais R é que ele é um corpo ordenado completo. Isso significa dizer que todo subconjunto X ⊂ R não-vazio, limitado superiormente, possui um supremo. Esse resultado é conhecido como axioma do supremo ou Postulado de Dedekind. Em diversas demonstrações ao longo do texto, faremos uso desse axioma.
O conjunto dos números reais R pode ser definido como um corpo ordenado em que se verifica o axioma do supremo.
O corpo Q dos números racionais é ordenado; entretanto, não é completo. Neste texto, não
entraremos em detalhes quanto à justificativa dessa afirmação. Para mais informações, consulte Ávila (1999) e Figueiredo (1974).
Na Unidade 7, usaremos as seguintes propriedades do supremo e do ínfimo, que serão utilizadas para demonstrar diversas propriedades relativas à integral de Riemann:
I) Sejam A, B⊂R, tal que a ≤ b, ∀a∈Ae∀b∈B, então:
i) sup A ≤infB;
II) Sejam A , B⊂R, conjuntos limitados e c ∈ R, então:
são limitados os conjuntos A + B={x +y; x,y∈R}e c. A= {c .x;x∈R};
sup( A + B)=supA+supBe inf( A + B)=infA+infB;
se c ≥ 0 , sup( c .A)= c.supAe inf(c .A)= c.infA;
se c < 0 , então sup(c .A)= c.infAe inf(c .A)= c.supA.
Nosso objetivo agora é introduzir a definição de valor absoluto, que será utilizada em seguida, para demonstrar propriedades relacionadas a esse conceito. Essas propriedades serão usadas nas Unidades posteriores.
O valor absoluto (ou módulo) de um número real a , denotado por a^ , é definido do
seguinte modo:
ase a a asea. (1.1)
