Probabilidade e Estatistica, Manuais, Projetos, Pesquisas de Matemática

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Universidade Federal do Piauí

Centro de Educação Aberta a Distância

ProbAbiliDADE E

EstAtístiCA i

Juarez rodrigues Martins

© 2013. Universidade Federal do Piauí - UFPI. Todos os direitos reservados. A responsabilidade pelo conteúdo e imagens desta obra é do autor. O conteúdo desta obra foi licenciado tem- porária e gratuitamente para utilização no âmbito do Sistema Universidade Aberta do Brasil, através da UFPI. O leitor se compromete a utilizar oconteúdo desta obra para aprendizado pessoal, sendo que a reprodução e distribuição ficarão limitadas ao âmbito interno dos cursos. A citação desta obra em trabalhos acadêmicos e/ou profissionais poderá ser feita com indicação da fonte. A có- pia deste obra sem autorização expressa ou com intuito de lucro constitui crime contra a propriedade intelec- tual, com sansões previstas no Código Penal.

M386p Martins, Juarez Rodrigues. Probabilidade e estatística I / Juarez Rodrigues Martins.

• Teresina : CEAD/UFPI, 2011. 131 p. ISBN: 978-85-7463-492-

1. Estatística. 2. Probabilidade. 3. Estatística Descritiva. I. Título. C.D.D. - 519.

PRESIDENTE DA REPÚBLICA MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO GOVERNADOR DO ESTADO REITOR DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUÍ PRESIDENTE DA CAPES COORDENADOR GERAL DA UNIVERSIDADE ABERTA DO BRASIL DIRETOR DO CENTRO DE EDUCAÇÃO ABERTA E A DISTÂNCIA DA UFPI

Dilma Vana Rousseff Linhares José Henrique Paim Wilson Nunes Martins José Arimatéia Dantas Lopes Jorge Almeida Guimarães João Carlos Teatini de S. Clímaco Gildásio Guedes Fernandes

COORDENADORES DE CURSOS ADMINISTRAÇÃO ADMINISTRAÇÃO PÚBLICA CIÊNCIAS BIOLÓGICAS FILOSOFIA FÍSICA LETRAS PORTUGUÊS LETRAS INGLÊS MATEMÁTICA PEDAGOGIA QUÍMICA SISTEMAS DE INFORMAÇÃO

Antonella Maria das Chagas Sousa Fabiana Rodrigues de Almeida Castro Maria da Conceição Prado de Oliveira Zoraida Maria Lopes Feitosa Miguel Arcanjo Costa José Vanderlei Carneiro Lívia Fernanda Nery da Silva João Benício de Melo Neto Vera Lúcia Costa Oliveira Davi da Silva Arlino Henrique Magalhães de Araújo

CONSELHO EDITORIAL DA EDUFPI Prof. Dr. Ricardo Alaggio Ribeiro ( Presidente ) Des. Tomaz Gomes Campelo Prof. Dr. José Renato de Araújo Sousa Profª. Drª. Teresinha de Jesus Mesquita Queiroz Profª. Francisca Maria Soares Mendes Profª. Iracildes Maria de Moura Fé Lima Prof. Dr. João Renór Ferreira de Carvalho

TÉCNICO EM ASSUNTOS EDUCACIONAIS EDIÇÃO PROJETO GRÁFICO DIAGRAMAÇÃO REVISÃO ORTOGRÁFICA REVISÃO GRÁFICA

EQUIPE DE DESENVOLVIMENTO Ubirajara Santana Assunção Roberto Denes Quaresma Rêgo Samuel Falcão Silva Cleonildo F. de Mendonça Neto Lígia Carvalho de Figueiredo Aurenice Pinheiro Tavares

Este livro é destinado aos alunos aprendizes que participam do Programa de Educação a Distância da Universidade Aberta do Piauí (UAPI), vinculada ao consórcio formado pela Universidade Federal do Piauí (UFPI), Universidade Estadual do Piauí (UESPI) e Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Piauí – IFET, com apoio do Governo do Estado do Piauí, através da Secretaria de Educação. Este material é composto de quatro unidades, contendo subunidades, estruturadas de modo sequencial, que discorrem sobre a Estatística Básica; Fundamentos de Análise Combinatória; Principais Conceitos de Probabilidades e seus principais Teoremas e Variáveis Aleatórias. Na Unidade 1, apresentamos os principais conceitos de Estatística e distribuições de frequências. Exemplificamos o rol, dados brutos, passos para a construção de uma tabela de distribuição de frequências, além de uma lista de exercícios no final da unidade. Na Unidade 2, apresentamos as Medidas de posição, também conhecidas como Medidas de tendência central e as separatrizes. As principais Medidas de Tendência Central são: a média aritmética e a média ponderada, a moda e a mediana, como também as separatrizes, como: a mediana, que também é considerada uma medida separatriz, os quartis, os decis e os centis. Na Unidade 3, apresentamos as Medidas de dispersão ou variabilidades; divididas em Dispersão absoluta e Dispersão relativa. As principais Medidas de Dispersão Absoluta são: Amplitude total, desvio médio, a variância e o desvio padrão. As principais Medidas de Dispersão Relativas são: Coeficiente de dispersão de Pearson e o Coeficiente de dispersão de Thorndike.

UNiDADE 1 DistribUiÇÃo DE FrEQUÊNCiAs Conceitos Básicos de Estatística................................... Distribuição de Frequências.........................................

UNiDADE 2 MEDiDAs DE PosiÇÃo Média........................................................................... Moda............................................................................ Mediana....................................................................... Quartis – decis – centis................................................

UNiDADE 3 MEDiDAs DE DisPErsÃo Medidas de dispersão absoluta................................... Medidas de dispersão relativa.....................................

UNiDADE 4 FUNDAMENtos DE ANÁlisE CoMbiNAtÓriA, PriNCiPAis CoNCEitos ProbAbilístiCos E sEUs PriNCiPAis tEorEMAs E VAriÁVEl AlEAtÓriA Fundamentos de Análise Combinatória..................... Probabilidade.............................................................

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Distribuição de Frequência 11

DistribUiÇÃo DE FrEQUÊNCiA

Conceitos Básicos de Estatística

Estatística

No plural, Estatísticas indicam qualquer coleção consistente de dados numéricos, reunidos com o objetivo de fornecer informações acerca de uma atividade qualquer. Por exemplo, as estatísticas demográficas referem-se aos dados numéricos sobre nascimentos, falecimentos, matrimônios, desquites, etc. No singular, Estatística indica a atividade humana especializada ou um corpo de técnicas ou ainda uma metodologia desenvolvida para a coleta, a classificação, a apresentação, a análise e interpretação de dados quantitativos, e a utilização desses dados para a tomada de decisões. Nos dias atuais, ela já é considerada como a ciência que estuda os processos de obtenção, organização e análise de dados sobre uma população, e os métodos de tirar conclusões ou fazer predições com base nesses dados.

Estatística descritiva

É aquela que se preocupa com a organização e descrição de dados experimentais.

Estatística indutiva ou inferencial

É aquela que se preocupa com a análise e interpretação de dados experimentais.

Distribuição de Frequência 13

Variável

É uma característica ou dado associado a cada elemento da população ou amostra. A Variável apresenta diferentes valores, e, em geral, é denotada por letras maiúsculas: X - peso, Y- altura. Qualitativa - é aquela que resulta de uma classificação por tipos ou atributos, como nos exemplos: População: moradores de uma cidade. Variável: cor dos olhos (pretos, castanhos, verdes, etc.). População: estudantes de um Estado. Variável: escolaridade (1º Grau completo, 2º Grau completo, Superior, Pós- Graduação). Quantitativa - é aquela que pode assumir valores numéricos, os quais podem ser obtidos através de uma contagem ou mensuração. Discreta: seus valores são obtidos por um processo de contagem. Por exemplo, quantidade de aluno por sala, quantidade de falhas por peça em determinada linha de produção. Contínua: seus valores são obtidos por um procedimento de mensuração, podendo assumir quaisquer valores, em um intervalo dos números reais, como, por exemplo: temperatura, altura, peso, etc.

Tabelas ou séries

Consiste em dispor os dados em linhas e colunas, distribuídos de modo ordenado, segundo algumas regras práticas obedecendo à resolução nº 886/66, de 26 de setembro de 1966, do Conselho Nacional de Estatística. De acordo com o fenômeno, local e época, classificam-se em: a) Série temporal (histórica ou cronológica): os dados são observados segundo a época de sua ocorrência. Ex: óbitos infantis no Piauí de 2001 a 2004. b) Série geográfica (espaciais, territoriais ou de localização): os dados são observados, segundo o local onde ocorreram. Ex: óbitos no Piauí, segundo microrregiões, em 2004. c) Série especificada (categórica): os dados são agrupados, segundo a modalidade (espécie) de ocorrência. d) Série mista ou de dupla entrada: é a fusão de duas ou mais séries simples. Ex: óbitos infantis no Piauí, segundo microrregiões, no período de 2001 a 2004.

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Somatório

Indicado pela letra grega sigma maiúscula (∑), facilita a indicação e a formulação de medidas, bem como algumas operações algébricas desenvolvidas pela Estatística.

Define-se genericamente: n ∑ Xi = X 1 +X 2 +...+X (^) n. i =

Parâmetro

Trata-se de medida numérica que descreve uma característica da população.

Estimador

É uma medida numérica, que descreve uma característica da amostra.

Distribuição de Frequência

Dados brutos ou tabela primitiva

São os dados apresentados desordenadamente, ou seja, da forma que foram coletados; ou ainda tabela, cujos elementos não foram numericamente organizados. Vamos supor que fizemos uma coleta de dados relativos às

Como você pode organizar os dados de uma forma mais eficiente e com maior quantidade de informações?

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aparelhos defeituosos, rejeitados pela seção encarregada do controle de qualidade. Os dados, fornecidos por essa seção referem-se ao período de 1971 a 1974.

Tabela 1.3 – Empresa X - Número Mensal de Aparelhos Defeituosos

Abaixo estão os valores da Variável nº mensal de aparelhos defeituosos, dispostos em uma tabela de distribuição de frequências.

Tabela 1.4 – X – Número Mensal de Aparelhos Defeituosos

Fonte:Toledo (1985).

Fonte: Toledo (1985)

n = 48

Distribuição de Frequência 17

Na primeira coluna está o índice i, onde aparecem os números correspondentes à ordem dos valores da variável. Na segunda coluna está Xi, correspondente aos valores da variável; e na última coluna está fi, correspondente às frequências, que são os resultados numéricos provenientes da contagem. A soma das frequências é sempre igual ao número total de valores observados.

k ∑ fi = n. i =

Onde, k é o extremo superior do intervalo de valores do índice i, fi é o número de observações de um valor, n é o número total de valores observados.

Distribuição de frequências de dados agrupados em classes

Primeiramente, iremos estudar os elementos de uma distribuição de frequências; posteriormente, os passos para a sua construção. São estes os principais elementos:

Frequência simples absoluta – é o número de observações correspondentes a uma classe. Essa frequência é simbolizada por (fi).

• Amplitude total – é a diferença entre o maior e o menor valor observado da Variável em estudo. Essa amplitude é indicada por (At).
• Classe – é cada um dos grupos de valores em que se subdivide a amplitude total do conjunto de valores observados da variável. Essa classe é indicada por (k).

Para se determinar o nº de classes há diversos métodos. A regra de Sturges é um dos métodos que estabelece o número de classes, que é igual a: k = 1 + 3,3. log n k= é o nº de classes n = nº total de observações

Truman L. Kelley, em The Grouping Data for Graphic Portrayal,

PArA rEFlEtir

É verdade que essas fórmulas não nos levam a uma decisão final; esta vai depender, na realidade, de um julgamento pessoal, que deve estar ligado à natureza dos dados, da unidade usada para expressá- los, do objetivo que se tem em vista, procurando, sempre que possível, evitar classe com frequência nula ou com frequência relativa muito exagerada.

Distribuição de Frequência 19

• Frequência simples absoluta (fi) é o número de repetições de um valor individual ou de uma classe de valores da variável. A soma das frequências simples absoluta em uma tabela é chamada frequência total e corresponde ao número total de observações.
• Frequência simples relativa (fri) é aquela que representa a proporção de observações de um valor individual ou de uma classe, com relação ao número total de observações. Para calcular a frequência relativa, basta dividir a frequência absoluta da classe ou do valor individual pelo número total de observações.
• Frequência acumulada “abaixo de” (Fi abaixo) é a soma da frequência simples absoluta de uma classe ou de um valor individual de uma variável com as frequências simples absolutas das classes ou dos valores individuais anteriores. Toda vez que se procura saber quantas observações existem até uma determinada classe ou valor individual recorre-se à frequência acumulada “abaixo de”.
• Frequência relativa acumulada “abaixo de” (Fri) é aquela que se obtém dividindo a frequência acumulada de uma classe ou de um valor individual de uma variável pela frequência total da distribuição.
• Frequência acumulada “acima de” (Fi acima) é aquela que representa o número de observações existentes além do valor de uma variável ou de uma classe; e obtém-se somando a frequência simples absoluta da classe ou do valor individual de uma variável às frequências simples absolutas das classes ou dos valores individuais posteriores.
• Frequência relativa acumulada “acima de” (Fri acima) é aquela que se obtém dividindo a frequência acumulada “acima de” de uma classe ou de um valor individual de uma variável pela frequência total da distribuição.
• Passos para a construção de uma distribuição de frequências de dados agrupados em classes:

1º) Primeiramente, pegam-se os dados brutos e constrói-se o rol; 2º) Calcula-se a amplitude total das amostras(At); 3º) Calcula-se o nº de classes, usando uma das regras estudadas

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anteriormente; aqui será usada a Regra de Sturges; 4º) Calcula-se a amplitude do intervalo de classe (Ac); 5º) Constrói-se uma tabela que contenha uma coluna para i (ordem das classes), e outra para os intervalos, para as frequências simples absoluta, para o ponto médio das classes(xi), para as frequências simples relativas(fri), frequências acumuladas “abaixo e acima de” e as frequências acumuladas relativas “abaixo e acima de”. Agora temos uma tabela de frequências que contêm todas as informações da variável em estudo. Vejamos o exemplo referente à Estatura de 40 Alunos do Curso de Sistema de Informação da UAPI (tabela 1.5).

Cálculo da amplitude total da Amostra: At = Li(máximo) – li(mín) = 173 – 150 = 23 cm Cálculo do nº de classes (i) pela Regra de Sturges: i = 1 + 3,3. logn, como n= 40, temos: i = 1 + 3,3. log i = 1 + 3,3. 1, i = 1 + 5, i = 6, aproximamos para i ≅ 6 Cálculo da amplitude de classe (Ac) Ac = 23/6 = 3,8333... aproximamos para Ac ≅ 4 , isto é, 6 classes de intervalos iguais a

Podemos agora dar a distribuição de frequências das estaturas dos 40 alunos do Curso de Sistema de Informação da UAPI à seguinte representação tabular técnica:

Tabela 1.5 - Estaturas de 40 Alunos do Curso de Sistema de Informação da UAPI

sAibA MAis

Os intervalos de classe devem ser escritos, de acordo com a Resolução 886/66 do IBGE, em termos de desta quantidade até menos aquela, empregando, para isso, o símbolo ← (incluso de li e exclusão de Li). Ex: no intervalo 154←158 é um intervalo fechado à esquerda e aberto à direita, tal que: 154≤ x < 158.