Universidade Federal de Minas Gerais
Escola de Engenharia
Departamento de Engenharia de Estruturas
NOTAS DE AULA
Análise Estrutural I
Estudo das Grelhas Isostáticas
Autor
Prof. Estevão Bicalho Pinto Rodrigues
Segunda Edição – Ano 2006
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Analise de grelhas, Notas de estudo de Engenharia Civil
Estudo de Grelhas Isostáticas
Tipologia: Notas de estudo
2011
1 / 16
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Universidade Federal de Minas Gerais
Escola de Engenharia
Departamento de Engenharia de Estruturas
NOTAS DE AULA
Análise Estrutural I
Estudo das Grelhas Isostáticas
Autor
Prof. Estevão Bicalho Pinto Rodrigues
Segunda Edição – Ano 2006
ESTUDO DAS GRELHAS ISOSTÁTICAS
1-) GENERALIDADES
1.1- Equações de Equilíbrio de um Sistema de Forças no Espaço
Dado um sistema de eixos X, Y e Z, sabemos que um sistema de forças no espaço está em equilíbrio quando a resultante das forças é nula e o momento resultante também é nulo.
Vetorialmente, teremos: F = 0 e M = 0
r r
Se, entretanto, escrevermos as equações das componentes dos vetores segundo os eixos X, Y e Z, teremos:
ΣF X = 0 ΣM X = 0
ΣF Y = 0 e ΣM Y = 0
ΣF Z = 0 ΣM Z = 0
1.2- Sistema de Forças Paralelas no Espaço
Seja, agora, um sistema de forças paralelas ao eixo OZ (ver Figura 1).
a-) GRELHA ENGASTADA
Trata-se de uma grelha com 1 apoio engastado e os demais nós livres, cujas reações de apoio (VAZ , M (^) AX e M (^) AY ) são obtidas através das equações de equilíbrio citadas no item 2.1.
b-) GRELHA SOBRE 3 APOIOS
Nesta grelha, as reações de apoio (VA, VC e VD) são obtidas através das equações de equilíbrio citadas no item 2.1.
Entretanto, os 3 apoios NÃO PODEM estar sobre a mesma reta pois, neste caso, teremos uma forma crítica, uma vez que a grelha não resistirá às forças verticais que não estiverem sobre a reta que une os 3 apoios.
2.3 – Esforços Solicitantes na Grelha
Dada uma grelha no plano XY, se nós reduzirmos as forças atuantes em um dos lados da seção genérica “S” de uma barra ao seu centro de gravidade, obteremos a força cortante Q (que é perpendicular ao plano XY da grelha) e o momento m, situado no plano XY.
Este momento m
r
, que tem direção genérica, sempre poderá ser
decomposto em uma componente T
r
na direção da barra (que dará
torção nesta barra), e em uma componente M
r
, perpendicular ao eixo da barra (que produzirá flexão da barra no plano perpendicular ao da grelha).
Logo, os esforços solicitantes que atuam na grelha são a força cortante Q, o momento torsor T e o momento fletor M.
OBSERVAÇÃO:
No caso de uma estrutura plana ser submetida a um carregamento oblíquo ao seu plano, ele deverá ser decomposto em 2 carregamentos, sendo 1 perpendicular ao seu plano e o outro em seu próprio plano. Para o carregamento perpendicular ao plano, a estrutura deverá ser analisada como grelha. Entretanto, para o carregamento em seu próprio plano, ela deverá ser analisada como pórtico plano e necessitará possuir pelo menos três vínculos no próprio plano, para garantir a sua sujeição completa para este carregamento.
b.1 – barra BC
ΣMXB = 0 → MXB = 0
ΣMY = 0 → -22,5 – 3(2,5)^2 /2 + MYB = 0 → MYB = 14,38 tm
b.2 – barra AB (verificação)
ΣV = 0 → OK
ΣMY = 0 → OK
ΣMX = -9,5*4 + 8 + 30 = 0 → OK
c-) diagramas (lado de referência é a face inferior das barras)
d-) relatório do Programa INSANE
Observação:
Nos exemplos apresentados nestas notas de aula, as barras da grelha encontram-se no PLANO XY (eixo Y horizontal, para direita; eixo X vertical, para baixo) conforme indicado nas figuras ilustrando a geometria das grelhas em planta. O carregamento transversal é perpendicular a este plano, ou seja, o carregamento tem a direção do eixo Z.
Entretanto, no Programa INSANE , as barras da grelha encontram-se no Plano XZ (eixo X horizontal, para a direita; eixo Z vertical, para cima), e o carregamento transversal é perpendicular a este plano, ou seja, o carregamento tem a direção do eixo Y.
3.2 – Grelha sobre 3 Apoios
Para a grelha a seguir, determinar: as reações de apoio, o equilíbrio de barras e nós e os diagramas dos esforços solicitantes:
a-) reações de apoio
***** ΣM (^) YAC^ = 0 -4VF + 33 + 5 + 8*4 = 0 V (^) F = 11,5 t
***** ΣM (^) XA^ = 0 11,513 – 83 +8VC –164 = 0 V (^) C = -7,688 t
***** ΣV = 0 V (^) A + 11,5 – 7,688 – 16 – 8 = 0 V (^) A = 20,18 t
b-) equilíbrio de barras e nós
b.1 – barra DE
ΣMY = 0 → 3*3 + MEY’^ = 0 → MEY’^ = -9 tm
ΣMXE^ = 0 → 8*3 – MEX’^ = 0 → MEX’^ = 24 tm
b.2 – barra EF
ΣMY = 0 → MEY’’^ = 0
ΣMXE^ = 0 → 11,5*7 – MEX’’^ = 0 → MEX’’^ = 80,5 tm
b.3 – barra BE
ΣMXB^ = 0 → 104,5 + 3,5*3 - MBX’^ = 0 → MBX’^ = 115 tm
ΣMYB^ = 0 → -3,5*4 + 9 + 5 – MBY’^ = 0 → MBY’^ = 0
b.4 – barra AB
ΣMY = 0 → MBY’’^ = 0
ΣMXB^ = 0 → -20,1883 + 61,5 – MBX’’^ = 0 → MBX’’^ = -51,564 tm
b.5 – barra BC
ΣMY = 0 → MBY’’’^ = 0
ΣMXB^ = 0 → -7,6885 – 102,5 – MBX’’’^ = 0 → MBX’’’^ = -63,44 tm
c-) diagramas (lado de referência é a face inferior das barras)
d-) relatório do Programa INSANE