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UNIVERSIDADE DO ALGARVE
INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA
LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL
REGIME DIURNO - 1
o SEMESTRE - 1
o ANO - 2012/
DISCIPLINA DE AN ´ALISE MATEM ´ATICA
FOLHA 1
PARTE I
- Para cada um dos conjuntos determine o interior, o exterior, a fronteira e o fecho.
Classifique-os topologicamente.
A =]0, 2]
[3, 5[
{ 6 , 7 } B = {x ∈ R : x
2 < 9 }
C = {x ∈ R : 0 < |x − 3 | ≤ 5 } D = {x ∈ R : x
3 > x}
E = {x ∈ R : x − 1 ≥ x} F = {x ∈ R : |x + 1| ≥ |x|}
G = {x ∈ R : x
3 − 13 x − 12 ≥ 0 } H = {x ∈ R : x
3 − 8 x
2
I =
x ∈ R :
x − 1
x + 3
x
x − 2
J =
x ∈ R :
x^2 + 2x − 3
x − 1
x
2
K =
x ∈ R :
x + 1
x^2 + 2x + 1
2 x
- Considere os conjuntos B e H do ponto anterior. Diga se B
H e B
H s˜ao conjuntos
abertos ou fechados.
- Considere os conjuntos A e B:
A = {x ∈ R : |x − 3 | > 2 |x|} e B =
y ∈ R :
y
y−^1
y−^1
y
Classifique-os topologicamente.
PARTE II
- Determine caso existam, o conjunto dos majorantes, o conjunto dos minorantes, o su-
premo, o ´ınfimo, o m´aximo, e o m´ınimo, dos seguintes conjuntos. Diga justificando se os
conjuntos s˜ao limitados.
(a) A = [1, 4[
(b) B = [− 1 , 5]
(c) C =] − ∞, 2[
(d) D =]5, +∞[
(e) E =]10, 30]
(f) F =] − ∞, 3[
]π, 10[
- Considere o conjunto A = {x ∈ R :
x − 3
x^2 − 9
x + 7
x − 5
∨ x = 8} e o conjunto B =
] − ∞, 4].
(a) Mostre que A =] − 3 , 5[{ 3 }
(b) Para cada um dos conjuntos, indique, justificando com as definic¸ ˜oes:
i. o conjunto dos minorantes
ii. o conjunto dos majorantes
iii. o m´ınimo e o m´aximo
iv. o ´ınfimo e o supremo
v. ´e minorado? ´e majorado? ´e limitado?
(c) Indique uma vizinhanc¸a de centro em 1 que esteja contida no interior do conjunto
A.
(d) ”Designando por ε o raio da vizinhanc¸a que indicou na al´ınea anterior, tem-se que
Vε (1) A, pelo que 1 ponto interior a A. O n´umero 6 ´e ponto exterior a A,
pois, por exemplo, a vizinhanc¸a de 6 de raio , n˜ao tem elementos de A. Apesar
de 3 A, qualquer vizinhanc¸a de 3 tem elementos de A e do seu complementar,
pelo que 3 ´e ponto de A. Tem-se ainda que 3 A′. Como V 0. 1 (8) ∩
A\ { 8 } = , podemos dizer que 8 ponto de acumulac¸ ˜ao de A.”
- Indique quais os seguintes subconjuntos de R s˜ao abertos ou fechados.
a) [2, 3[ b) ]0, 1[
]2, 3[ c) [0, 1]
[2, 3]
{π}
d)]0, 1[
]2, 3[
{π} e) = [2, 8[{ 3 } f) {a 1 , a 2 , ..., an}
g) ∅ h) R
- Para cada um dos conjuntos determine o interior, o exterior, a fronteira e o fecho.
Classifique-os topologicamente.
PARTE I-Resoluc¸ ˜ao
Exerc´ıcio 1
A =]0, 2]
[3, 5[
Interior: int(A) = A˙ =]0, 2[
]3, 5[
Exterior: ext(A) =] − ∞, 0[
]2, 3[
]5, 6[
]6, 7[
]7, +∞[
Fronteira: f r(A) = { 0 , 2 , 3 , 5 , 6 , 7 }
Fecho: ad(A) = A¯ = [0, 2]
[3, 5]
Derivado: A′^ = [0, 2]
[3, 5]
Classificac¸ ˜ao topol´ogica:
A 6 = A˙ ⇒ A n˜ao ´e aberto; A 6 = A¯ ⇒ A n˜ao ´e fechado;
A ´e limitado.J
B = {x ∈ R : x^2 < 9 }
C´alculo Auxiliar
x
2 < 9 ⇔ x
2 − 9 < 0 ⇔ x ∈] − 3 , 3[
B =] − 3 , 3[
Interior: int(B) = B˙ =] − 3 , 3[
Exterior: ext(B) =] − ∞, −3[
]3, +∞[
Fronteira: f r(B) = {− 3 , 3 }
Fecho: ad(B) = B¯ = [− 3 , 3]
Derivado: B
′ = [− 3 , 3]
Classificac¸ ˜ao topol´ogica:
B = B˙ ⇒ B e aberto;´ B 6 = B¯ ⇒ B n˜ao ´e fechado;
B e limitado.´ J
C = {x ∈ R : 0 < |x − 3 | ≤ 5 }
C.A.
0 < |x − 3 | ≤ 5 ⇔ |x − 3 | > 0 ∧ |x − 3 | ≤ 5
⇔ x − 3 6 = 0 ∧ x − 3 ≤ 5 ∧ x − 3 ≥ − 5
⇔ x 6 = 3 ∧ x ≤ 8 ∧ x ≥ − 2
C = [− 2 , 8] \ { 3 }
Interior: int(C) = C˙ =] − 2 , 8[{ 3 }
Exterior: ext(C) =] − ∞, −2[
]8, +∞[
Fronteira: f r(C) = {− 2 , 3 , 8 }
Fecho: ad(C) = C¯ = [− 2 , 8]
Derivado: C′^ = [− 2 , 8]
Classificac¸ ˜ao topol´ogica:
C 6 = C˙ ⇒ C n˜ao ´e aberto; C 6 = C¯ ⇒ C n˜ao ´e fechado;
C ´e limitado.J
D = {x ∈ R : x^3 > x}
C.A.
x
3 > x ⇔ x
3 − x > 0
⇔ x(x
2 − 1) > 0
⇔ x(x + 1)(x − 1) > 0
x −∞ − 1 0 1 ∞
x − − − 0 + + +
(x + 1)(x − 1) + 0 − − − 0 +
x(x + 1)(x − 1) − 0 + 0 − 0 +
D =] − 1 , 0[
]1, +∞[
Interior: int(D) = D˙ =] − 1 , 0[
]1, +∞[
Exterior: ext(D) =] − ∞, −1[
]0, 1[
Fronteira: f r(D) = {− 1 , 0 , 1 }
Exterior: ext(F ) =
]
[
Fronteira: f r(F ) =
Fecho: ad(F ) = F¯ =
[
[
Derivado: F
′
[
[
Classificac¸ ˜ao topol´ogica:
F 6 = F˙ ⇒ F n˜ao ´e aberto; F = F¯ ⇒ F e fechado;´
F n˜ao ´e limitado.J
G = {x ∈ R : x^3 − 13 x − 12 ≥ 0 }
C.A. x^3 − 13 x − 12 ≥ 0
Regra de Ruffini
x^3 − 13 x − 12 = (x + 1)(x^2 − x − 12)
= (x + 1)(x + 3)(x − 4)
x^2 − x − 12 = 0 ⇔ x =
1 ±
12 − 4 × 1 ×(−12) 2
⇔ x = − 3 ∨ x = 4
x^3 − 13 x − 12 ≥ 0 ⇔ (x + 1)(x^2 − x − 12) ≥ 0
⇔ (x + 1)(x + 3)(x − 4) ≥ 0
x −∞ − 3 − 1 4 +∞
x + 1 − − − 0 + + +
(x + 3)(x − 4) + 0 − − − 0 +
(x + 1)(x + 3)(x − 4) − 0 + 0 − 0 +
G = [− 3 , −1]
[4, +∞[
Interior: int(G) = G˙ =] − 3 , −1[
]4, +∞[
Exterior: ext(G) =] − ∞, −3[
] − 1 , 4[
Fronteira: f r(G) = {− 3 , − 1 , 4 }
Fecho: ad(G) = G¯ = [− 3 , −1]
[4, +∞[
Derivado: G′^ = [− 3 , −1]
[4, +∞[
Classificac¸ ˜ao topol´ogica:
G 6 = G˙ ⇒ G n˜ao ´e aberto; G = G¯ ⇒ G e fechado;´
G n˜ao ´e limitado.J
H = {x ∈ R : x^3 − 8 x^2 + 15x < 0 }
C.A.
x^3 − 8 x^2 + 15x < 0 ⇔ x(x^2 − 8 x + 15) < 0
⇔ x(x − 3)(x − 5) < 0
x^2 − 8 x + 15 = 0 ⇔ x =
8 ±
√ 82 − 4 × 1 × 15 2
⇔ x = 3 ∨ x = 5
x −∞ 0 3 5 +∞
x − 0 + + + + +
(x − 3)(x − 5) + + + 0 − 0 +
x(x − 3)(x − 5) − 0 + 0 − 0 +
H =] − ∞, 0[
]3, 5[
Interior: int(F ) = F˙ =] − ∞, 0[
]3, 5[
Exterior: ext(H) =]0, 3[
]5, +∞[
Fronteira: f r(H) = { 0 , 3 , 5 }
Fecho: ad(H) = H¯ =] − ∞, 0]
[3, 5]
Derivado: H′^ =] − ∞, 0]
[3, 5]
Classificac¸ ˜ao topol´ogica:
H = H˙ ⇒ H ´e aberto; H 6 = H¯ ⇒ H n˜ao ´e fechado;
H n˜ao ´e limitado.J
I n˜ao ´e limitado.J
J =
x ∈ R :
x^2 + 2x − 3
x − 1
x
2
C.A.
x
2
x − 1
x
2
x
2
x − 1
x
2
x^2 + 5x − 6
2(x − 1)
(x + 6)(x − 1)
2(x − 1)
x + 6
2
> 0 ∧ x 6 = 1
⇔ x + 6 > 0 ∧ x 6 = 1
⇔ x > − 6 ∧ x 6 = 1
x^2 + 5x − 6 = 0 ⇔ x =
− 5 ±
52 − 4 × 1 ×(−6) 2
⇔ x = − 6 ∨ x = 1
J =] − 6 , +∞[{ 1 }
Interior: int(J) =] − 6 , +∞[{ 1 }
Exterior: ext(J) =] − ∞, −6[
Fronteira: f r(J) = {− 6 , 1 }
Fecho: ad(J) = J¯ = [− 6 , +∞]
Fecho: J′^ = [− 6 , +∞]
Classificac¸ ˜ao topol´ogica:
J = J˙ ⇒ J ´e aberto; J 6 = J¯ ⇒ J n˜ao ´e fechado;
J n˜ao ´e limitado.J
K =
x ∈ R :
x + 1
x^2 + 2x + 1
2 x
C.A.
x + 1
x^2 + 2x + 1
2 x
x + 1
x^2 + 2x + 1
2 x
2 x^2 + 2x − x^2 − 2 x − 1
2 x(x^2 + 2x + 1)
x
2 − 1
2 x(x^2 + 2x + 1)
x − 1
2 x(x + 1)
x −∞ − 1 0 1 +∞
x − 1 − − − − − 0 +
x − − − 0 + + +
x + 1 − 0 + + + + +
x − 1
2 x(x + 1)
− s/s + s/s − 0 +
K = ]− 1 , 0[
]1, +∞[
Interior: int(K) = K˙ = ]− 1 , 0[
]1, +∞[
Exterior: ext(K) = ]−∞, −1[
]0, 1[
Fronteira: f r(K) = {− 1 , 0 , 1 }
Fecho: ad(K) = K¯ = [− 1 , 0]
[1, +∞[
Derivado: K
′ = [− 1 , 0]
[1, +∞[
Classificac¸ ˜ao topol´ogica:
K = K˙ ⇒ K e aberto;´ K 6 = K¯ ⇒ K n˜ao ´e fechado;
K n˜ao ´e limitado.J
Exerc´ıcio 2
Fecho: ad(A) = A¯ = [− 3 , 1]
Derivado: A′^ = [− 3 , 1]
Classificac¸ ˜ao topol´ogica:
A = A˙ ⇒ A e aberto;´ A 6 = A¯ ⇒ A n˜ao ´e fechado;
A ´e limitado.J
B =
y ∈ R :
y
y−^1
y−^1
y
C.A.
y
y−^1
y
− 1
y
⇔ y
2 <
y^2
⇔ y^2 −
y^2
y^4 − 1
y^2
⇔ y^4 − 1 < 0 ∧ y 6 = 0
⇔ (y^2 − 1)(y^2 + 1) < 0 ∧ y 6 = 0
⇔ y^2 − 1 < 0 ∧ y 6 = 0
B =] − 1 , 1[{ 0 }
Interior: int(B) = B˙ =] − 1 , 1[{ 0 }
Fronteira: f r(B) = {− 1 , 0 , 1 }
Fecho: ad(B) = B¯ = [− 1 , 1]
Derivado: B′^ = [− 1 , 1]
Classificac¸ ˜ao topol´ogica:
B = B˙ ⇒ B e aberto;´ B 6 = B¯ ⇒ B n˜ao ´e fechado;
B ´e limitado.J
