analise numerica, Exercícios de Engenharia Física

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MATEM ´ATICA COMPUTACIONAL

Apontamentos das aulas

Filipe J. Romeiras

Departamento de Matem´atica Instituto Superior T´ecnico

Junho de 2008

1. REPRESENTAC¸ ˜AO DE N ´UMEROS E TEORIA DE ERROS

Problema de Engenharia

Modelo matem´atico

M´etodo anal´ıtico aproximado

M´etodo num´erico

Solu¸c˜ao aproximada

Solu¸c˜ao exacta

Solu¸c˜ao aproximada

ZZ ZZ ZZ ZZ~







>

6

6

?

?

Tipos de erro

• Erros inerentes:  modelo matem´atico incompleto;  erros nos dados, parˆametros e constantes matem´aticas;  exemplos: (i) corpo em movimento vertical na atmosfera terrestre sujeito a for¸ca de atrac¸c˜ao gravi- tacional da Terra ea for¸ca de resistˆencia do ar; (ii) a reac¸c˜ao de Belousov-Zhabotinski (oscila¸c˜oes qu´ımicas); (iii) circuitos electr´onicos n˜ao-lineares.
• Erros de m´etodo (ou de truncatura ou de discretiza¸c˜ao):  exemplos: (i) c´alculo do valor aproximado da raiz de uma fun¸c˜ao pelo m´etodo de Newton; (ii) c´alculo do valor aproximado de um integral usando a regra dos trap´ezios composta.
• Erros computacionais:  erros de arredondamento;  erros de “underflow” e “overflow”.
• Erros de programa¸c˜ao.

Erro, erro absoluto, erro relativo (˜x ≈ x ∈ R):

Defini¸c˜ao. Seja x ∈ R o valor exacto de uma grandeza real e ˜x um valor aproximado de x. Definem-se:

Erro de ˜x em rela¸c˜ao a x: e˜x = x − x˜

• Um n´umero real x ∈ R \ { 0 } ´e representado numa base β ∈ N \ { 0 , 1 }, por

x = σ(dmβm^ + dm− 1 βm−^1 + · · · + d 1 β^1 + d 0 β^0 + +d− 1 β−^1 + d− 2 β−^2 + · · · d−nβ−n^ + · · · )

onde

σ ∈ {+, −}, di ∈ { 0 , 1 ,... , β − 1 }, i = m, m − 1 ,... , dm 6 = 0

Simbolicamente escreve-se

x = σ(dmdm− 1... d 1 d 0 .d− 1 d− 2.. .)β

ou x = σ(0.dmdm− 1... d 1 d 0 d− 1 d− 2.. .)β × βm+

Exemplo. 19 = (10011) 2 , 0 .875 = (0.111) 2 , 19 .875 = (10011.111) 2 = (0.10011111) 2 × 2 (101)^2 0 .1 = (0. 11001100.. .) 2 × 2 −(11)^2

Com efeito:

19 = 2 × 9 + 1 = 2 × (2 × 4 + 1) + 1 = 2 × (2 × (2 × 2) + 1) + 1 = 2^4 + 2^1 + 2^0

0 .875 = d− 1 × 2 −^1 + d− 2 × 2 −^2 + d− 3 × 2 −^3 + d− 4 × 2 −^4 +... 1 .750 = d− 1 + d− 2 × 2 −^1 + d− 3 × 2 −^2 + d− 4 × 2 −^3 +... ⇒ d− 1 = 1 0 .750 = d− 2 × 2 −^1 + d− 3 × 2 −^2 + d− 4 × 2 −^3 +... 1 .5 = d− 2 + d− 3 × 2 −^1 + d− 4 × 2 −^2 +... ⇒ d− 2 = 1 0 .5 = d− 3 × 2 −^1 + d− 4 × 2 −^2 +... 1 .0 = d− 3 + d− 4 × 2 −^1 +... ⇒ d− 3 = 1, d− 4 = d− 5 = · · · = 0

• Nota¸c˜ao cient´ıfica

x = σ m βt (base) β ∈ N \ { 0 , 1 }, (sinal) σ ∈ {+, −}, (expoente) t ∈ Z (mantissa) m = (0.a 1 a 2.. .)β ∈ [β−^1 , 1[, ai ∈ { 0 , 1 ,... , β − 1 }, a 1 6 = 0

Defini¸c˜ao. Sejam β ∈ N \ { 0 , 1 }, n ∈ N \ { 0 }, t−, t+^ ∈ Z. Designa-se por sistema de ponto flutuante na base β, com n d´ıgitos na mantissa, e expoentes variando entre t−^ e t+, ao subconjunto dos n´umeros racionais

F = FP(β, n, t−, t+) = {x ∈ Q : x = σ m βt} ∪ { 0 } σ ∈ {+, −}, t ∈ Z, t−^ ≤ t ≤ t+, m = (0.a 1 a 2... an)β ∈ [β−^1 , 1 − β−n], ai ∈ { 0 , 1 ,... , β − 1 }, a 1 6 = 0

Quando apenas for importante referir a base e o n´umero de d´ıgitos da mantissa, usamos a nota¸c˜ao FP(β, n).

Proposi¸c˜ao.

card(FP(β, n, t−, t+)) = 2N + 1, N = (t+^ − t−^ + 1)(β − 1)βn−^1.

Nota. N ´e o n´umero de racionais positivos de F compreendidos entre

L−^ = β−^1 × βt − , L+^ = (1 − β−n) × βt

.

Os restantes elementos de F s˜ao os sim´etricos destes e o n´umero zero.

Exemplo: FP(2, 3 , − 1 , 1), cujos elementos positivos s˜ao:

(0.100) 2 × 2 −^1 =

(0.100) 2 × 20 =

(0.100) 2 × 21 =

(0.101) 2 × 2 −^1 =

(0.101) 2 × 20 =

(0.101) 2 × 21 =

(0.110) 2 × 2 −^1 =

(0.110) 2 × 20 =

(0.110) 2 × 21 =

(0.111) 2 × 2 −^1 =

(0.111) 2 × 20 =

(0.111) 2 × 21 =

Exemplo: Sistemas de ponto flutuante definidos pela Norma IEC559 (International Elec- tronic Comission, 1989).

Formato simples: FP(2, 24 , − 125 , 128)

L−^ = 2−^126 ≈ 0. 118 × 10 −^37 , L+^ = (1 − 2 −^24 ) × 2128 ≈ 0. 340 × 1039 ,

N = 254 × 223 ≈ 0. 213 × 1010

Formato duplo: FP(2, 53 , − 1021 , 1024)

L−^ = 2−^1022 ≈ 0. 223 × 10 −^307 , L+^ = (1 − 2 −^53 ) × 21024 ≈ 0. 180 × 10309 ,

N = 2046 × 252 ≈ 0. 921 × 1019

Arredondamentos

Quest˜ao. Dado um n´umero x ∈ RF e x 6 ∈ F qual o n´umero fl(x) ∈ F que o representa, onde RF = [−L+, −L−] ∪ { 0 } ∪ [L−, L+]?

Defini¸c˜ao. Dado F = FP(β, n, t−, t+), e sendo

x = σ(0.a 1 a 2... anan+1.. .)β × βt,

Dem.: x = σ(0.a 1 a 2... anan+1.. .)β × βt, |x| ≥ β−1+t (i) Arredondamento por corte:

x˜ = flc(x) = σ(0.a 1 a 2... an)β × βt e˜x = x − x˜ = σ(0. 0... 0 an+1.. .)β × βt^ = σ(0.an+1an+2.. .)β × βt−n |e˜x| < βt−n

|δ˜x| = |ex˜| |x| < β^1 −n

(ii) Arredondamento sim´etrico:

(a) 0 ≤ an+1 < β 2 ˜x = fls(x) = σ(0.a 1 a 2... an)β × βt ex˜ = σ(0.an+1an+2.. .)β × βt−n

|e˜x| < β 2

β−^1 βt−n^ =

βt−n

|δx˜| <

β^1 −n

(b) β 2

≤ an+1 < β

x ˜ = fls(x) = σ [(0.a 1 a 2... an)β + β−n] × βt e˜x = σ [(0.an+1an+2.. .)β − 1] × βt−n

|e˜x| ≤

βt−n

|δ˜x| <

β^1 −n

Nota. O majorante do erro relativo depende de β, de n e do tipo de arredondamento, mas n˜ao depende de x.

Defini¸c˜ao. Dado um sistema FP(β, n, t−, t+) define-se a unidade de arredondamento do sistema por

uc = β^1 −n, us =

β^1 −n.

Exemplo. Sistemas definidos pela Norma IEC559.

FP(2, 24, -125, 128): us = 2−^24 ≈ 0. 596046 × 10 −^7

FP(2, 53, -1021, 1024): us = 2−^53 ≈ 0. 111022 × 10 −^15

Opera¸c˜oes aritm´eticas num sistema de ponto flutuante

Defini¸c˜ao. Sendo ◦ : R × R → R uma opera¸c˜ao aritm´etica, ◦ = +, −, ×, ÷, define-se a opera¸c˜ao aritm´etica correspondente num sistema de ponto flutuante F, ◦ : RF ×RF → F, por x ◦ y = fl(fl(x) ◦ fl(y))

Exemplo. Sendo x = π e y =

e considerando um sistema de ponto flutuante FP(10,

6, -10, 10) com arredondamento sim´etrico obt´em-se:

x + y = 0. 628310 × 10 , x − y = 0. 800000 × 10 −^4 ,

x × y = 0. 986934 × 10 , x ÷ y = 0. 100003 × 10

Note-se que:

x = π = 3. 14159265358... , x˜ = 0. 314159 × 10

y =

= 3. 14150943396... , y˜ = 0. 314151 × 10

Algarismos significativos

Defini¸c˜ao. Seja x˜ = σ(0.a 1 a 2... an) 10 × 10 t

uma aproxima¸c˜ao de x pertencente a FP(10, n). Diz-se que o algarismo ai ´e algarismo significativo de ˜x se

|e˜x| ≤

10 t−i.

Nota. (i) Se ai, i ≥ 2, ´e significativo ent˜ao aj , 1 ≤ j < i, s˜ao significativos.

(ii) Se an ´e significativo ent˜ao os n algarismos de ˜x s˜ao significativos.

Nota. Se ˜x ´e obtido de x por arredondamento sim´etrico ent˜ao os n algarismos de ˜x s˜ao significativos.

Exemplo. Sendo π = 3. 14159265358.. ., ent˜ao:

(i) a aproxima¸c˜ao ˜π = 3.141592 tem 6 algarismos significativos;

e˜π ≈ 0. 6535 × 10 −^6 ,

101 −^7 < |eπ˜| <

101 −^6

(ii) a aproxima¸c˜ao ˜π˜ = 3.141593 tem 7 algarismos significativos.

e˜˜π ≈ − 0. 3465 × 10 −^6 ,

101 −^8 < |e˜˜π| <

101 −^7

Exemplo. N´umero de algarismos significativos da representa¸c˜ao de um n´umero real nos sistemas de ponto flutuante definidos pela Norma IEC559 (considerando arredondamento sim´etrico).

Formato simples: FP(2, 24, -125, 128), u ≈ 0. 596046 × 10 −^7 6 ou 7 algarismos significativos

Propaga¸c˜ao de erros (teoria linearizada)

Defini¸c˜ao. Diz-se que f (x) =. h(x), quando x → x∗,

i.e., f ´e igual a h em primeira aproxima¸c˜ao quando x → x∗, se

f (x) = h(x) + o(|h(x)|), quando x → x∗,

onde o s´ımbolo (de Landau) o(|h(x)|), x → x∗, designa uma fun¸c˜ao gen´erica g tal que

xlim→x∗

|g(x)| |h(x)|

Exemplo. 1 − cos x =. x^2 2 , x → 0.

Proposi¸c˜ao. Seja φ : I ⊂ R → R, φ ∈ C^2 (I). Sejam x ∈ I e ˜x ∈ I um valor que aproxima x. Ent˜ao: eφ(˜x) = φ(x) − φ(˜x) =. φ′(x) ex˜ =: eLφ(˜x), quando ex˜ → 0 ,

e, no caso de ser φ(x) 6 = 0, x 6 = 0,

δφ(˜x) =

eφ(˜x) φ(x) =^. p φ(x)δx˜ =:^ δLφ(˜x),^ quando^ δx˜ →^0 ,

onde

pφ(x) = xφ′(x) φ(x)

Chama-se a |pφ(x)| o n´umero de condi¸c˜ao de φ em x.

Exemplo. φ : R → R, φ(x) = xm, m ∈ N 1

δLφ(˜x) = mδ˜x, δφ(˜x) = mδ˜x −

∑^ m

i=

m i

(−δ˜x)i

Exemplo. δLf ◦g(˜x) = pf (g(x))pg(x)δ˜x.

Proposi¸c˜ao. Seja φ : D ⊂ Rn^ → R, φ ∈ C^2 (D). Sejam x ∈ D e ˜x ∈ D um valor que aproxima x. Ent˜ao:

eφ(˜x) = φ(x) − φ(˜x) =. eLφ(˜x) =

∑^ n

k=

∂φ ∂xk (x) ex˜k , quando

∑^ n

k=

|ex˜k | → 0 ,

e, no caso de ser φ(x) 6 = 0,

∑n k=1 |xk| 6^ = 0,

δφ(˜x) =

eφ(˜x) φ(x) =^. δL φ(˜x) =

∑^ n

k=

pφ,xk (x)δ˜xk , quando

∑^ n

k=

|δ˜xk | → 0 ,

onde

pφ,xk (x) =

xk ∂x∂φk (x) φ(x)

Exemplo. Opera¸c˜oes aritm´eticas (x, y ∈ R)

φ(x, y) δφL(˜x,˜y) δφ(˜x,˜y) − δLφ(˜x,y˜)

x + y x x + y δx˜ + y x + y δ˜y 0

x − y x x − y δx˜ − y x − y δy˜ 0

x × y δx˜ + δy˜ −δ˜xδy˜

x ÷ y δx˜ − δy˜ δy˜(δ˜x − δy˜) 1 − δ˜y

Exemplo. φ : R^2 → R, φ(x, y) = x^2 − y^2 , δLφ(˜x,y˜) =

x^2 − y^2 (x^2 δ˜x − y^2 δ˜y)

Propaga¸c˜ao de erros em algoritmos

Defini¸c˜ao. Uma fun¸c˜ao φ : I ⊂ R → R diz-se uma fun¸c˜ao elementar num sistema F se ∀x ∈ I ∩ F o valor que aproxima φ(x) em F ´e dado por

φ˜(x) = fl(φ(x)).

Proposi¸c˜ao. Seja φ : I ⊂ R → R uma fun¸c˜ao elementar num sistema F. Seja ˜x um valor aproximado de x ∈ I. Ent˜ao:

(1) eφ˜(x) = φ(x) − φ˜(x) = φ(x) − fl(φ(x)) = φ(x)δarr,φ

onde |δarr,φ| ≤ u, e u ´e a unidade de arredondamento de F.

(2) δφ˜(˜x) =^. δLφ ˜(˜x) = δφL(˜x) + δarr,φ, δLφ(˜x) = pφ(x)δ˜x.

Dem.: (2)

eφ˜(˜x) = φ(x) − φ˜(˜x) = φ(x) − φ(˜x) + φ(˜x) − φ˜(˜x) =^. φ′(x)e ˜x +^ φ(˜x)δarr,φ =^. φ′(x)e ˜x +^ φ(x)δarr,φ

Algoritmo 2: δzL ˜ = δφL(˜x) + δL arr

δφL(˜x) = pφ(x)δx˜

δ arrL = pφ(x)δarr, 1 + 2δarr, 2 + δarr, 3 + δarr, 4

Com efeito:

Algoritmo 1:

δL ˜u = pθ(x)δx˜ + δarr,θ, pθ(x) =

xθ′(x) θ(x)

−x sin x cos x δL ˜z = pψ(u)δuL ˜ + δarr,ψ, pψ(u) = uψ′(u) ψ(u)

−u 1 − u

− cos x 1 − cos x δL ˜z = pψ(u) [pθ(x)δ˜x + δarr,θ] + δarr,ψ = pψ(u)pθ(x)δ˜x + pψ(u)δarr,θ + δarr,ψ

Algoritmo 2:

δL ˜u 1 = δx˜ + δarr, 1

δL ˜u 2 = pu 2 (u 1 )δLu ˜ 1 + δarr, 2 , pu 2 (u 1 ) = u 1 cos u 1 u 2 δL ˜u 3 = 2 δL ˜u 2 + δarr, 3

δL ˜z = δuL ˜ 3 + δarr, 4 = 2 [pu 2 (u 1 ) (δ˜x + δarr, 1 ) + δarr, 2 ] + δarr, 3 + δarr, 4

2 pu 2 (u 1 ) = pφ(x)

Exemplo. No caso dos dois algoritmos para o c´alculo de z = x^21 − x^22 obtˆem-se os seguintes erros relativos:

Algoritmo 1: δzL ˜ = δφL(˜x) + δL arr

δφL(˜x) =

z

x^21 δ˜x 1 − x^22 δx˜ 2

δ arrL = x^21 z δarr,θ 1 − x^22 z δarr,θ 2 + δarr,ψ

Algoritmo 2: δzL ˜ = δφL(˜x) + δL arr

δφL(˜x) =

z

x^21 δ˜x 1 − x^22 δx˜ 2

δ arrL = δarr,θ 1 + δarr,θ 2 + δarr,ψ

Condicionamento e estabilidade num´erica

• Qualquer problema matem´atico pode ser descrito da seguinte forma:

Seja D o conjunto de dados do problema e seja S o conjunto de todas as solu¸c˜oes (resultados) poss´ıveis do problema. Seja f : D → S a aplica¸c˜ao que a cada elemento de D associa um elemento de S, a solu¸c˜ao do problema.

Defini¸c˜ao. Um problema diz-se est´avel ou bem posto se a pequenos erros relativos dos dados correspondem pequenos erros relativos dos resultados. Caso contr´ario o problema diz-se inst´avel ou mal posto. Em certos casos esta no¸c˜ao pode ser concretizada. Diz-se que o problema ´e est´avel para um dado x ∈ D se existir uma constante K ≥ 0 tal que ´e satisfeita a seguinte desigualdade:

1 max≤j≤m |δz˜j^ |^

· ≤ K 1 max≤i≤n |δx˜i |, x˜ ∈ Vx,

onde ˜z = f (˜x), f : Rn^ → Rm, e Vx ⊂ D ´e uma vizinhan¸ca de x. Nestes casos diz-se ainda que o problema ´e bem condicionado se K ´e pequeno e mal condicionado se K ´e grande.

Exemplo. Vimos que para z = f (x), z˜ = f (˜x), f : Rn^ → R,

δ˜z =^. δzL ˜ =

∑^ n

i=

pf,xi δx˜i.

O problema ´e pois mal posto para x ∈ D se algum dos n´umeros de condi¸c˜ao pf,xi tender para infinito para esse x. Caso isto n˜ao aconte¸ca podemos definir

K =

∑^ n

i=

|pf,xi |.

• A resolu¸c˜ao num´erica deste problema significa que existe uma outra aplica¸c˜ao f∗ : D → S, que a cada elemento de D associa um elemento de S, a solu¸c˜ao num´erica do problema. Neste caso para al´em dos erros dos dados temos de considerar os erros de arredondamento.

Defini¸c˜ao. Um algoritmo diz-se numericamente (ou computacionalmente) est´avel se a pequenos erros relativos dos dados e a pequenos valores da unidade de arredondamento correspondem pequenos erros relativos nos resultados do algoritmo. Caso contr´ario o algo- ritmo diz-se numericamente (ou computacionalmente) inst´avel. Em certos casos esta no¸c˜ao pode ser concretizada. Diz-se que o algoritmo ´e numericamente est´avel para um dado x ∈ D se existir uma constante K ≥ 0 tal que ´e satisfeita a seguinte desigualdade:

max 1 ≤j≤m |δ˜zj |

· ≤ K

max 1 ≤i≤n |δ˜xi | + u

, x˜ ∈ Vx,

onde ˜z = f˜∗(˜x) e Vx ⊂ D ´e uma vizinhan¸ca de x. (Recorde-se que a unidade de arredon- damento ´e um majorante de todos os erros relativos de arredondamento.)

2. M´ETODOS ITERATIVOS

Normas vectoriais

Defini¸c˜ao. Seja E um espa¸co vectorial sobre R (ou C). Uma fun¸c˜ao N : E → R diz-se uma norma se verificar as seguintes condi¸c˜oes:

(1) N (x) ≥ 0 , ∀x ∈ E; N (x) = 0 ⇔ x = 0.

(2) N (αx) = |α|N (x), ∀x ∈ E, ∀α ∈ R (ou C).

(3) N (x + y) ≤ N (x) + N (y), ∀x, y ∈ E. (Desigualdade triangular)

Nota¸c˜ao. ‖x‖N = N (x)

Exemplo. Normas em Rn^ (ou Cn). Seja x = (x 1 , x 2 ,... , xn) ∈ Rn.

(1) Norma da soma ‖x‖ 1 =

∑^ n

i=

|xi|

(2) Norma Euclidiana

‖x‖ 2 =

( (^) n ∑

i=

|xi|^2

(3) Norma do m´aximo ‖x‖∞ = max 1 ≤i≤n |xi|

(4) Norma-p, p ≥ 1

‖x‖p =

( (^) n ∑

i=

|xi|p

) 1 /p

Nota. A desigualdade triangular para a norma-p,

‖x + y‖p ≤ ‖x‖p + ‖y‖p, ∀x, y ∈ Cn, ∀p ≥ 1 ,

´e conhecida por desigualdade de Minkowski.

Defini¸c˜ao. Um espa¸co vectorial no qual est´a definida uma norma diz-se um espa¸co normado.

Defini¸c˜ao. Sejam E um espa¸co normado com a norma N e X um subconjunto de E. Ent˜ao f : E → R diz-se uma fun¸c˜ao cont´ınua em X se e s´o se

∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x, y ∈ X : N (x − y) < δ ⇒ |f (x) − f (y)| < ε.

Proposi¸c˜ao. Uma norma N num espa¸co vectorial E ´e uma fun¸c˜ao cont´ınua de E em R.

Defini¸c˜ao. Diz-se que duas normas N e M num espa¸co vectorial E s˜ao equivalentes se existirem constantes positivas C 1 e C 2 tais que

C 1 M (x) ≤ N (x) ≤ C 2 M (x), ∀x ∈ E.

Teorema. Todas as normas num espa¸co vectorial de dimens˜ao finita s˜ao equivalentes.

Exemplo. Sendo x ∈ Cn:

(1) ‖x‖∞ ≤ ‖x‖ 1 ≤ n‖x‖∞

(2) ‖x‖∞ ≤ ‖x‖ 2 ≤

n‖x‖∞

(3) ‖x‖ 2 ≤ ‖x‖ 1 ≤

n‖x‖ 2

Com efeito:

(1) ‖x‖∞ = |xm| ≤

i

|xi| = ‖x‖ 1 ≤ n|xm| = n‖x‖∞

(2) ‖x‖^2 ∞ = |xm|^2 ≤

i

|xi|^2 = ‖x‖^22 ≤ n|xm|^2 = n‖x‖^2 ∞

(3) ‖x‖^22 =

i

|xi|^2 ≤

i

|xi|

= ‖x‖^21

‖x‖ 1 =

i

1 · |xi| ≤

i

i

|xi|^2

n‖x‖ 2

(onde se usou a desigualdade de Cauchy-Schwarz)

Defini¸c˜ao. Sendo x, y ∈ Cn^ define-se o seu produto interno < x, y > por

< x, y >= y∗x =

∑^ n

i=

xi ¯yi.

Proposi¸c˜ao. Sendo x, y, z ∈ Cn, α ∈ C, A ∈ Mn(C).

(1) < x, y + z >=< x, y > + < x, z >;

(2) < αx, y >= α < x, y >; < x, αy >= ¯α < x, y >;

(3) < x, y >= < y, x >;

(4) < x, x >≥ 0; < x, x >= 0 ⇔ x = 0;

(5) ‖x‖ 2 = (< x, x >)^1 /^2 ;